4. Динамика

Динамика является важнейшим разделом теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в зависимости от действующих на них сил. В динамике на основании объективных законов и процессов устанавливаются количественные соотношения между мерами действия на материальные объекты и мерами их движения. Мерами действия между объектами являются силы, момент силы, импульс силы и работа силы, а мерами механического движения – количество движения, момент количества движения (кинетический момент) и кинетическая энергия.

4.1 Законы Ньютона – Галилея

В основе динамики лежат законы Ньютона – Галилея и принцип независимости действия сил. В соответствии с первым законом постулируется существование такой системы отсчета, в которой изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно или покоится. Такая система координат называется инерциальной и является основной.

В соответствии со вторым законом Ньютона для свободной материальной точки можно записать:

(4.1)

Здесь – соответственно масса и ускорение точки, - действующая на неё сила. Если на точку действует несколько сил, то под - понимают их равнодействующую. Выражение (4.1) называется основным уравнением динамики.

4.2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Первая и вторая задачи динамики.

Принимая во внимание то, что ускорение точки есть вторая производная по времени от её радиуса – вектора, а сила может зависеть от времени, положения и скорости точки, равенство (4.1) можно записать в виде:

(4.2)

Это выражение называют дифференциальным уравнением движения свободной точки в векторной форме.

Записывая его в проекциях на декартовые оси, получаем дифференциальные уравнения точки в скалярной форме.

(4.3)

а в проекциях на оси естественного трехгранника имеем:

(4.4)

Из уравнений (4.4) следует, что равнодействующая (так же как и ускорение точки ) лежит в соприкасающейся плоскости.

Если точка несвободная, то силу целесообразно записывать в виде:

Где - соответственно равнодействующие активных сил и реакций связи.

Как видно из дифференциальных уравнений движения, в динамике материальной точки можно решить две задачи.

Первая (прямая) задача динамики.

Даны уравнения движения точки, например в координатной форме:

(4.5)

Требуется найти действующие на неё силы. Решение этой задачи сводится дифференцированию выражений (4.5) по времени.

Вторая (обратная) задача динамики.

Даны силы, действующие на точку

(4.6)

требуется найти закон движения точки. Решение этой задачи значительно сложнее. Оно сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при соответствующих начальных условиях. Число начальных условий равно порядку системы дифференциальных уравнений, в общем случае (4.6) – шести:

Задача D1 посвящена второй задаче динамики.