Задача к2

Прямоугольная пластина (рис. К2.0 – К2.4) или круглая пластина радиуса R = 60 см (рис. К2.5 – К2.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону  = f₁(t), заданному в таблице К4. Положительное направление отсчета угла  показано на рисунках дуговой стрелкой. На рисунках 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рисунках 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0 – 4) или по окружности радиуса R (рис. 5 – 9) движется точка М; закон её относительного движения, т.е. зависимость s = AM = f₂(t) (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан отдельно для рис. 0 – 4 и для рис. 5 – 9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от т. А).

Н

Таблица К4

айти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Указания. Задача К2 – на сложное движение точки. Для её решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t₁ = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. 5 – 9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 c и угол между радиусами СМ и CA в этот момент.

Рассмотрим пример решения этой задачи.

Рис. К2.0

Рис. К2.1

Рис. К2.2

Рис. К2.3

Рис. К2.4

Рис. К2.5

Рис. К2.6

Рис. К2.7

Рис. К2.9

Рис. К2.8

П

Рис. К2

ример К2. Круглая пластина радиуса R = 60 см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины по закону  = f₁(t). Положительное направление отсчета угла  показано на рис. К2 стрелкой. Ось вращения расположена на расстоянии ОС = l от центра пластины. По дуге окружности радиуса R движется точка М по закону Начало относительного движения в точке А, положительное направление отсчета s – от А к М.

Дано: R = 0,5 м;  = t² – 0,5t³; ; ( – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить: в момент времени t₁ = 1 с.

Решение

1

Рис. К2

Рассмотрим движение точки М как сложное, считая её движение по дуге окружности относительным, а вращение плиты – переносным движением. Исследование задачи проведем в следующей последовательности.

Найдем положение точки М₁ в относительном движении и определим угловую скорость и угловое ускорение плиты при t₁ = 1 c. Имеем дуговую координату

,

которой соответствует центральный угол

Знак (–) свидетельствует о том, что дуговую координату s₁ или центральный угол ₁ в момент времени t₁ = 1 c. Необходимо отложить против хода часовой стрелки, т.е. точка М₁ находится слева от точки А. Здесь и далее индекс "1" при символах означает, что соответствующая величина вычислена при t₁ = 1 с.

Имеем угловую скорость и угловое ускорение плиты:

, = 21 – 1,51 = 0,5 с^–1.

, = 2 – 31 = –1 с^–2.

Направления соответственно показаны на рис. К2

2 Определение абсолютной скорости. В момент времени t₁ = 1 с по формуле (3.31) имеем:

При определении относительной скорости мысленно остановим переносное движение.

Знак (–) показывает, что вектор направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты s.

При определении переносной скорости мысленно остановим относительное движение, т.е. будем считать, что точка находится в положении М₁, жестко связана с плитой и вместе с плитой вращается вокруг точки О.

где , = 0,51,01  0,5 м/с.

Модуль абсолютной скорости в момент времени t₁ = 1 c найдем по теореме косинусов:

.

Угол , в свою очередь, определим по теореме синусов:

Отсюда  = 1736.

Тогда

3 Определение абсолютного ускорения. В момент времени t₁ = 1 c по формуле (3.34) имеем:

Найдем касательную составляющую относительного ускорения:

Касательное ускорение есть постоянная величина и, как показывает знак (–), направлено в противоположную сторону . Нормальное ускорение относительного движения равно

,

которое направлено к центру кривизны относительной траектории, т.е. к центру окружности радиуса R.

Касательная и нормальная составляющие ускорения переносного движения точки определяются соответственно по формулам:

Причем направлено по касательной к траектории переносного движения, к дуге окружности радиуса OM₁ = h₁ = 1,01 м; а – к центру этой окружности, т.е. к точке О.

Вычислим модуль Кориолисова ускорения:

где  – угол между векторами . Из рис. К2 очевидно, что  = 90.

Таким образом = 20,51,571 = 1,57 м/с².

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу Жуковского. При этом будем учитывать, что лежит в плоскости, перпендикулярной т.е. в плоскости диска. Тогда поворотом вектора на 90 по ходу переносного вращения получим направление Кориолисова ускорения (рис. К2).

Модуль абсолютного ускорения получаем следующим образом. С началом в точке М₁ выбираем абсолютную систему координат. Учитывая, что все векторы полученных выше ускорений лежат в одной в плоскости, в плоскости диска, достаточно выбрать двумерную систему координат. Причем оси этой системы рационально направить по взаимоперпендикулярным векторам слагаемых ускорений. Поэтому ось М₁х направляем к центру окружности радиуса R, по направлению векторов , ось М₁у – по касательной к этой окружности, по направлению вектора Затем все слагаемые ускорения спроектируем на эти оси. Вычислив алгебраические суммы одноименных проекций векторов ускорений, определим соответствующие проекции искомого вектора на эти оси.

Модуль направления вектора абсолютного ускорения точки определяется по формулам:

Таким образом, абсолютная скорость точки М₁ при t₁ = 1 c имеет модуль = 2,05 м/с и образует угол с осью М₁у (с касательной)

.

При этом абсолютное ускорение имеет модуль а_а1 = 7,64 м/с² и образует с осью М₁х угол  = 2240.