4.10 Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

В основе этой теоремы, как и рассмотренных выше теорем, лежит второй закон Ньютона. Проектируя равенство 4.1 на касательную ось получим:

Касательное ускорение запишем в формуле:

где ds – элементарное перемещение точки (рис. 4.2).

В результате найдем, что

, или , или (4.37)

Здесь - кинетическая энергия, - элементарная работа силы F_кτ (рис. 4.2). Элементарная работа силы также может быть представлена в виде

(4.38),

где - дифференциал радиуса-вектора точки,

Работа на конечном перемещении точки может быть вычислена как предел интегральной суммы.

Рис. 4.2.

(4.39)

или (4.40)

Единицей измерения работы в СИ является – 1 джоуль (1 дж.=1 кН). Величина

(4.41)

есть мощность силы . Единица измерения мощности в СИ – ватт

(1 Вт= 1 дж/с).

Равенство (4.37) есть выражения теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. Можно записать выражение теоремы в конечном виде.

(4.42)

Теорема. Изменения кинетической энергии точки на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

4.11. Теорема об изменении кинетической энергии системы

Для k-ой точки системы можно записать

, (к = 1,2,…,4)

Где - элементарные работы приложенных к точке внешних и внутренних сил. Суммируя это выражение по k=1,2,3…, n, найдем , что

или

(4.43)

Равенство (4.43.) выражает теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. Проинтегрировав это равенство в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна в положение, где , получим

(4.44)

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных в системе внешних и внутренних сил.

Частные случаи.

1.Неизменяемая система. В случае неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равно нулю или

(4.45)

2. Система с идеальными связями. В этом случае и поскольку ,

(4.46)

Здесь - суммы работ активных сил и реакций связей. Примеры вычисления работы.

1. Работа силы тяжести

где Р – вес системы, - вертикальное перемещение центра масс системы.

2. Работа силы упругости пружины

где с – коэффициент жесткости пружины, λ – удлинение пружины.

3. Работа силы трения

где f – коэффициент трения, N – нормальная реакция поверхности.

4. Работа сил и пар сил, приложенных к вращающемуся телу. Элементарная работа момента силы или момента пары относительно оси вращения равна

где - вращающий момент.

При повороте на конечный угол

и в случае постоянного момента

В этом случае мощность определяется по формуле

В задаче Д3 используется теорема об изменении кинетической энергии системы.