1.08.02. Сложение колебаний
Уровень 1.
Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A1 = 10 см и A2 = 6 см складываются в одно колебание с амплитудой A = 14 см. Найти разность фаз Δφ складываемых колебаний (в градусах). [60]
Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз Δφ складываемых колебаний (в градусах). [120] [240]
Уровень 2.
Определить 1) амплитуду A (√2 = 1,4, в мм) 2) и начальную фазу φ (в градусах) результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления и периода x1 = A1sin(ωt), и x2 = A2sin(ω(t + τ)), где A1 = A2 = 1 см; ω = π с–1, τ = 0,5 с. 1) [14] 2) [45]
Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: x1 = A1sin(ωt), и x2 = A2cos(ωt), где A1 = 1 см; A2 = 2 см; ω = 1 с–1. Определить 1) амплитуду A (√5 = 2,2, в мм) результирующего колебания 2) и начальную фазу φ (в градусах, ответ округлите до целого значения). Найти уравнение этого движения. 1) [22] 2) [27] [26]
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T1 = T2 = 1,5 с и амплитудами A1 = A2 = 2 см. Начальные фазы колебаний φ1 = π/2 и φ2 = π/3. Определить 1) амплитуду A (в мм, ответ округлите до целого значения) 2) и начальную фазу φ (в градусах) результирующего колебания. 1) [39] [38] 2) [75]
Два камертона звучат одновременно. Частоты ν1 и ν2 их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период T биений. [2]
1.08.03. Динамика гармонических колебаний. Маятники
Уровень 1.
Материальная точка массой m = 100 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид x = Acos(ωt), где A = 10 см, ω = 5 с–1. Найти силу F (в мН), действующую на точку, в двух случаях: l) в момент, когда фаза ωt = π/3, 2) в положении наибольшего смещения точки. 1) [125] 2) [250]
Колебания материальной точки массой m = 0,1 г происходят согласно уравнению x = Acos(ωt), где A = 5 см; ω = 20 с–1. Определить 1) максимальное значение возвращающей силы Fmax (в мН) 2) и максимальное значение кинетической энергии Tmax (в мкДж). 1) [2] 2) [50]
Найти 1) возвращающую силу F (в мкН) момент t = 1 с 2) и полную энергию E (в мкДж) материальной точки, совершающей колебания по закону x = Acos(ωt), где A = 20 см; ω = 2π/3 с–1. Масса m материальной точки равна 10 г. π = 3,14. Полученный ответ округлите до целого значения. 1) [4382] [4383] 2) [876] [877]
Грузик массой m = 250 г, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с периодом T = 1 с. Определить жесткость k пружины. Полученный ответ округлите до целого значения. [10] [9]
Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A = 4 см. Определить полную энергию E колебаний гири, если жесткость k пружины равна 5 кН/м. [4]
Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5. Полученный ответ умножьте на 100. [225]
Уровень 2.
К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на x = 9 см. Каков будет период T (в мс) колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить? π = 3,14, g = 9,8 м/с2. Полученный ответ округлите до целого значения. [602] [601]
Математический маятник длиной ℓ = 2 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a = 2,5 м/с2. Определить период T (в мс) колебаний маятника. π = 3,14, g = 10 м/с2. [2512]
Уровень 3.
Колебания материальной точки происходят согласно уравнению x = Acos(ωt), где A = 8 см, ω = π/6 с–1. В момент, когда возвращающая сила F в первый раз достигла значения –5 мН, потенциальная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти 1) этот момент времени t 2) и соответствующую ему фазу ωt (в градусах). 1) [2] 2) [60]
С
истема
из трех грузов, соединенных стержнями
длиной ℓ
= 30 см (рис. 1.8.1), колеблется относительно
горизонтальной оси, проходящей через
точку O
перпендикулярно плоскости чертежа.
Найти период T
колебаний системы (в мс, ответ округлите
до целого значения). Массами стержней
пренебречь, грузы рассматривать как
материальные точки. π = 3,14, g
= 9,8 м/с2.
[1903] [1904]
Однородный диск радиусом R = 30 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период T (в мс, ответ округлите до целого значения) его колебаний? π = 3,14, g = 9,8 м/с2. [1346] [1345]
Уровень 4.
На концах тонкого стержня длиной ℓ = 30 см укреплены одинаковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня. Определить 1) приведенную длину L (в см) 2) и период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь. π = 3,14, g = 9,8 м/с2. 1) [50] 2) [1419] [1418]
На стержне длиной ℓ = 30 см укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузином колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить 1) приведенную длину L (в см) 2) и период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь. π = 3,14, g = 9,8 м/с2. 1) [25] 2) [1003] [1004]
Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний обруча. π = 3,14, g = 9,8 м/с2. [1554] [1553]
Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить 1) приведенную длину L (в см) 2) и период T (в мс, ответ округлите до целого значения) колебаний такого маятника. π = 3,14, g = 9,8 м/с2. 1) [36] 2) [1204] [1203]
И
з
тонкого однородного диска радиусом R
= 20 см вырезана часть, имеющая вид круга
радиусом R
= 10 см, так, как это показано на рис. 1.8.2.
Оставшаяся часть диска колеблется
относительно горизонтальной оси O,
совпадающей с одной из образующих
цилиндрической поверхности диска. Найти
период T
(в мс, ответ округлите до целого значения)
колебаний такого маятника. π = 3,14, g
= 9,8 м/с2.
[1137] [1138]
Математический маятник длиной ℓ1 = 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной ℓ2 = 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a (в см) от центра масс стержня до оси колебаний. В ответе запишите оба варианта подряд без пробелов и знаков препинания (например, 4060 или 6040). [1030] [3010]
Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной ℓ = 120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние a от центра масс стержня. При каком значении a период T колебаний имеет наименьшее значение? Ответ запишите в мм и округлите до целого значения. [346] [347]
Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленным на нем маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить период T гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 1.8.3. Длина ℓ стержня равна 1 м. Шарик рассматривать как материальную точку. π = 3,14, g = 9,8 м/с2. Ответ запишите в мс и округлите до целого значения.
а
)
[1891] [1892] б) [1638] [1637] в) [1337] [1338] г) [1532] [1533]
Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами m и 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку O на стержне. Определить частоту ν гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображенных на рис. 1.8.4. Длина ℓ стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки. π = 3,14, g = 9,8 м/с2. Ответ запишите в мс и округлите до целого значения.
а)
[386] [387] б) [537] [538] в) [653] [652] 
г)
[582] [583]
Тело массой m = 4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом T1 = 0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, период T2 колебаний стал равными 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции I тела относительно оси колебаний. Ответ умножьте на 1000. [64]
Ареометр массой m = 50 г, имеющий трубку диаметром d = 1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период T (в мс) этих колебаний. π = 3,14, g = 9,8 м/с2, плотность воды ρ = 1000 кг/м3. Ответ округлите до целого значения. [1601] [1602]
В открытую с обоих концов U-образную трубку с площадью поперечного сечения S = 0,4 см2 быстро вливают ртуть массой m = 200 г. Определить период T (в мс) колебаний ртути в трубке. π = 3,14, g = 9,8 м/с2, плотность ртути ρ = 13600 кг/м3. Ответ округлите до целого значения. [860] [861]
Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находится лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период T колебаний бревна равен 5 с. Определить длину ℓ (в мм) бревна. π = 3,14, g = 9,8 м/с2, плотность воды ρ = 1000 кг/м3. Ответ округлите до целого значения. [6212] [6213]