1.05.05. Центр масс

Уровень 1.

На гладкой поверхности удерживают в состоянии неустойчивого равновесия куб, стоящий на ребре. Куб отпускают, и он падает плашмя на одну из граней. На сколько сантиметров сместится к этому моменту ребро, на котором он стоял, если сторона куба 32 см? [16]

Н а рис. 1.5.17 изображен тонкий однородный стержень, на концах которого прикреплены маленькие шарики. Массы стержня и шариков указаны на рисунке. Определить координату X_C центра масс такой системы в случаях а, б и в. Длину ℓ стержня принять во всех случаях равной 1,2 м. Шарики рассматривать как материальные точки. Полученный ответ умножьте на 100.

1) [70] 2) [0] 3) [18]

Уровень 2.

Т рехатомная молекула состоит из двух одинаковых атомов массой m₁ и одного атома массой m₂. Межъядерное расстояние d и валентный угол α считать известными (рис. 1.5.18). Определить координаты X_C и Y_C центра масс молекулы. Расчеты выполнить для молекул: 1) H₂O (d = 95,8 пм; α = 104º); 2) SO₂ (d = 143 пм; α = 118º). m(O) = 26,6·10^-27 кг, m(H) = 1,67·10^-27 кг, m(S) = 53,2·10^-27 кг. Полученный ответ запишите в нанометрах и округлите до целого значения. 1) [52] [51] 2) [37] [36]

На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека M = 60 кг, масса доски m = 20 кг. Найти, на какое расстояние: 1) передвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски [150]; 2) переместится человек относительно пола. Длина ℓ доски равна 2 м. Ответ записать в см. [50]

Уровень 3.

Тележка длиной 5 м стоит на гладких рельсах. На противоположных концах тележки стоят два мальчика. Масса тележки 75 кг, массы мальчиков 45 кг и 30 кг. Мальчики меняются местами. На сколько сантиметров переместится при этом тележка? [50]

Человек захотел спуститься по веревочной лестнице из свободно висящего аэростата массой 400 кг. Какой минимальной длины веревочную лестницу он должен привязать к гондоле аэростата, чтобы, ступая на последнюю ступеньку, он коснулся земли? Масса человека 80 кг. Расстояние от земли до аэростата в начальный момент времени 10 м. [12]

Уровень 5. Интегрирование.

Тонкую однородную проволоку изогнули так, как это изображено на рис. 1.5.19. Определить координаты X_C и Y_C центра масс для каждого случая (а, б, в, г). При расчетах принять R = 1 м. π = 3,1416. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения.

X_C: б) [389] [388] в) [1638] [1637] г) [1000]

Y_C: а) [637] [636] б) [583] [584] в) [517] [518] г) [ 453] [454]

Из плоской, тонкой, однородной пластины вырезали фигуры, изображенные. на рис. 1.5.20. Определить координаты X_C и Y_C центра масс для каждой фигуры (а, б, в, г). При расчетах принять R = 1 м. π = 3,1416. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения.

X_C: б) [276] [275]

Y_C: а) [424] [425] б) [477] [478] в) [223] [224] г) [349] [348]

1.06. Силы в механике

1.06.01. Силы тяготения. Гравитационное поле. Спутники

Уровень 1.

Центры масс двух одинаковых однородных шаров находятся на расстоянии r = 1 м друг от друга. Масса m каждого шара равна 1 кг. Определить силу F гравитационного взаимодействия шаров. Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). Полученный ответ умножьте на 10¹³. [667]

Как велика сила F взаимного притяжения двух космических кораблей массой m = 10 т каждый, если они сблизятся до расстояния r = 100 м? Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). Полученный ответ умножьте на 10⁹. [667]

Радиус R планеты Марс равен 3,4·10⁶ м, ее масса М = 6,4·10²³ кг. Определить напряженность g гравитационного поля на поверхности Марса. Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [369] [370]

Планета Нептун в k = 30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Определить период T обращения (в годах) Нептуна вокруг Солнца. Полученный ответ округлите до целого значения. [164] [165]

Ближайший спутник Марса находится на расстоянии r = 9,4·10⁶ м от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью ʋ = 2,1 км/с. Определить массу M Марса. Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). Полученный ответ умножьте на 10^-21 и округлите до целого значения. [621] [622]

Вычислить значения 1) первой (круговой) 2) и второй (параболической) космических скоростей вблизи поверхности Луны. Масса Луны M = 7,33·10²² кг, радиус Луны R = 1,74·10⁶ м. Полученный ответ округлите до целого значения. 1) [1676] [1677] 2) [2371] [2370]

Найти 1) первую 2) и вторую космические скорости вблизи поверхности Солнца. Масса Солнца M = 1,98·10³⁰ кг, радиус Солнца R = 6,95·10⁸ м. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. 1) [436] [435] 2) [616] [617]

Найти 1) первую 2) и вторую космические скорости вблизи поверхности Венеры. Масса Венеры M = 4,84·10²⁴ кг, радиус Венеры R = 6,20·10⁶ м. Полученный ответ округлите до целого значения. 1) [7216] [7215] 2) [10205] [10204]

Найти 1) первую 2) и вторую космические скорости вблизи поверхности Марса. Масса Марса M = 0,639·10²⁴ кг, радиус Марса R = 3,390·10⁶ м. Полученный ответ округлите до целого значения. 1) [3546] [3545] 2) [5015] [5014]

Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния, которое практически можно считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость ʋ будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца равно среднему расстоянию (R = 1,49·10¹¹ м) Земли от Солнца? Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). Масса Солнца M = 1,98·10³⁰ кг. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [42] [43]

Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую можно считать параболической. С какой скоростью ʋ движется комета, когда она проходит через перигей (ближайшую к Солнцу точку своей орбиты), если расстояние r кометы от Солнца в этот момент равно 50 Гм? Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). Масса Солнца M = 1,98·10³⁰ кг. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [73] [72]

Уровень 2.

Во сколько раз уменьшится сила тяготения между однородным шаром и материальной точкой, соприкасающейся с шаром, если материальную точку удалить от поверхности шара на расстояние, равное двум диаметрам шара? [25]

Во сколько раз уменьшится сила тяготения между двумя одинаковыми однородными шарами, если вначале шары соприкасались друг с другом, а затем один из шаров отодвинули на расстояние, равное диаметру шаров? [4]

Два шара радиусами 20 см и 30 см соприкасаются друг с другом. Во сколько раз уменьшится сила тяготения между шарами, если один из шаров отодвинуть на расстояние 100 см? [9]

Расстояние между планетой Нептун и Солнцем в 30 раз больше, чем расстояние между Землей и Солнцем, а масса Нептуна в 15 раз больше массы Земли. Во сколько раз сила притяжения Солнца к Земле больше, чем Солнца к Нептуну? [60]

На какой высоте (в км) над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на земной поверхности? Радиус Земли 6400 км. [19200]

Сколько процентов составляет ускорение свободного падения на поверхности Марса от ускорения свободного падения на Земле, если радиус Марса составляет 0,5 радиуса Земли, а масса Марса – 0,1 массы Земли? [40]

Радиус некоторой планеты в √2 раз меньше радиуса Земли, а ускорение силы тяжести на поверхности планеты в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли. Во сколько раз масса планеты меньше массы Земли? [6]

Масса некоторой планеты в 4,5 раза больше массы Земли, а ее радиус – в 2 раза больше, чем радиус Земли. На сколько процентов первая космическая скорость для этой планеты больше, чем для Земли? [51]

Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора на высоте от поверхности планеты, равной ее радиусу. Найдите линейную скорость (в км/с) спутника. Радиус планеты 7200 км. Ускорение свободного падения на поверхности планеты 10 м/с². [6]

Период обращения некоторой планеты по круговой орбите вокруг Солнца равен 27 годам. Во сколько раз расстояние от этой планеты до Солнца больше, чем от Земли до Солнца? [9]

Во сколько раз увеличится радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, если период его обращения увеличить в 27 раз? [9]

На некоторой планете запущен спутник связи, т. е. спутник, все время находящийся над одной точкой планеты. Во сколько раз высота этого спутника над поверхностью планеты больше ее радиуса, если известно, что другой спутник, вращающийся вокруг планеты на малой высоте, делает за время планетарных суток 8 полных оборотов? [3]

Радиус Земли в n = 3,66 раза больше радиуса Луны; среднян плотность Земли в k = 1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения g_л на поверхности Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного падения g считать известным. g = 9,81 м/с². Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [161] [162]

Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность ρ = 3 г/см³. Определить ускорение свободного падения g на поверхности планеты. Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). π = 3,14. Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [21] [20]

Луна движется вокруг Земли со скоростью ʋ₁ = 1,02 км/с. Среднее расстояние ℓ Луны от Земли равно 60,3R (R – радиус Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью ʋ₂ должен двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью. Полученный ответ округлите до целого значения. [7921] [7920]

Зная среднюю скорость ʋ₁ движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), определить, с какой средней скоростью ʋ₂ движется малая планета, радиус орбиты которой в n = 4 раза больше радиуса орбиты Земли. Полученный ответ умножьте на 10^-3. [15]

Космическая ракета, ставшая искусственной планетой, обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние r_min ракеты от Солнца равно 0,97 а.е., наибольшее расстояние r_max равно 1,31 а.е. (среднего расстояния Земли от Солнца). Определить период T вращения (в годах) искусственной планеты. Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [122] [121]

Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите, почти совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Солнце (рис. 1.6.2). Определить время t, в течение которого будет падать ракета. Полученный ответ запишите в сутках и округлите до целого значения. [65] [64]

Р акета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 1.6.3). Среднее расстояние r планеты Марс от Солнца равно 1,5 а.е. В течение какого времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом? Полученный ответ запишите в сутках и округлите до целого значения. [255] [256]

О пределить массу M Земли по среднему расстоянию r от центра Луны до центра Земли и периоду T обращения Луны вокруг Земли (T = 27,3 сут = 2,36·10⁶ с и r = 3,84·10⁸). Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). π = 3,14. Полученный ответ умножьте на 10^-23 и округлите до целого значения. [60] [61]

Один из спутников планеты Сатурн находится приблизительно на таком же расстоянии r от планеты, как Луна от Земли, но период T его обращения вокруг планеты почти в n = 10 раз меньше, чем у Луны. Определить отношение масс Сатурна и Земли. [100]

Радиус R малой планеты равен 100 км, средняя плотность ρ вещества планеты равна 3 г/см³. Определить параболическую скорость ʋ₂ у поверхности этой планеты. Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). π = 3,14. Полученный ответ округлите до целого значения. [129] [130]

Уровень 3.

Радиус некоторой планеты в 10 раз больше, чем радиус Земли, а средняя плотность вещества планеты в 2 раза меньше средней плотности Земли. Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности планеты больше, чем на поверхности Земли? [5]

Масса некоторой планеты в 16 раз больше, чем масса Земли, а средняя плотность вещества планеты в 2 раза больше средней плотности Земли. Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности планеты больше, чем на поверхности Земли? [4]

Имеется шар массой М и радиусом R и материальная точка массой т. Во сколько раз уменьшится сила тяготения между ними, если в шаре сделать сферическую полость радиусом 5R/6? Материальная точка лежит на прямой, проведенной через центры шара и полости, на расстоянии R от центра шара и на расстоянии 5R/6 от центра полости. [6]

Космический корабль движется по круговой орбите радиусом 13000 км около некоторой планеты со скоростью 10 км/с. Каково ускорение силы тяжести на поверхности этой планеты, если ее радиус 10000 км? [13]

Определить силу F взаимного притяжения двух соприкасающихся железных шаров диаметром d = 20 см каждый. Удельная плотность железа ρ = 7870 кг/м³. Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). π = 3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁸ и округлите до целого значения. [181] [182]

На какой высоте h над поверхностью Земли напряженность g_h гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли равен 6371 км. g = 9,8 м/с². Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. [14] [13]

Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту h = 3200 км и начала падать. Какой путь s пройдет ракета за первую секунду своего падения? Радиус Земли R = 6400 км, g = 9,8 м/с². Полученный ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [218] [217]

Масса Земли в n = 81,6 раза больше массы Луны. Расстояние ℓ между центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R радиус Земли). На каком расстоянии r (в единицах R) от центра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность гравитационного поля Земли и Луны равна нулю (точка либрации)? Полученный ответ округлите до целого значения. [54] [55]

Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на высоте h = 3,6·10⁶ м. Определить линейную скорость ʋ спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными. Радиус Земли R = 6400 км. g = 9,8 м/с². Полученный ответ округлите до целого значения. [6336] [6335]

Период T вращения искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считан орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h над поверхностью Земли движется спутник. Радиус Земли R = 6371 км. g = 9,8 м/с². π = 3,14. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [1685] [1686]

Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить 1) радиус R 2) и высоту h орбиты спутника. Радиус Земли R = 6371 км. g = 9,8 м/с². π = 3,14. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. 1) [42226] [42227] 2) [35855] [35856]

Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом e = 0,5. Во сколько раз линейная скорость спутника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)? [3]

Указание. Применить закон сохранения момента импульса. Формула эксцентриситета e = c/a, c – расстояние от центра орбиты до Земли, a – большая полуось орбиты.

Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с эксцентриситетом e = 0,6. Во сколько раз линейная скорость кометы в ближайшей к Солнцу точке орбиты больше, чем в наиболее удаленной? [4]

Указание. Применить закон сохранения момента импульса. Формула эксцентриситета e = c/a, c – расстояние от центра орбиты до Солнца, a – большая полуось орбиты.

Тело массой m = 1 кг находится на поверхности Земли. Определить изменение Δmg силы тяжести для двух случаев: 1) при подъеме тела на высоту h = 5 км; 2) при опускании тела в шахту на глубину h = 5 км. Землю считать однородным шаром радиусом R = 6,37·10⁶ м и плотностью ρ = 5,5 г/см³. Гравитационная постоянная G = 6,67·10^-11 м³/(кг·с²). π = 3,1416. Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. 1) [154] [153] 2) [77] [76]

Определить работу A, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой m = 1 кг упадет на поверхность Земли: 1) с высоты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными. Радиус Земли R = 6371 км, g = 9,81 м/с². Полученный ответ умножьте на 10^-6 и округлите до целого значения. 1) [31] [32] 2) [62] [63]

На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость ʋ ракеты равна первой космической скорости? Радиус Земли R = 6371 км. Полученный ответ умножьте на 10^-3. [6371]

Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью ʋ₀ = 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными. g = 9,81 м/с². Радиус Земли R = 6371 км. Полученный ответ округлите до целого значения. [6124] [6123]

Ракета пущена с Земли с начальной скоростью ʋ₀ = 15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние ракеты от Земли бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учитывать. g = 9,81 м/с². Радиус Земли R = 6371 км. Полученный ответ округлите до целого значения. [10000] [10001]