Алехин электротехника

u

L

( t ) L

di ( t )

L

d( Ime j I e j t )

j LI

m

e

j

I e

j t

dt

dt

LI

m

e j( I

90o )e j t

U

m

e j t

U

m

e j U e j t

.

(5.28)

i ( t ) диффе-

Здесь мы учли, что в комплексной функции времени

ренцируется по времени только e j t

и что множитель j

e j90o .

Из (5.28) получаем следующие выражения для гармонического тока

и напряжения на индуктивности:

для комплексных амплитуд:

U

mL

j LIm

Z L Im ;

(5.29)

для амплитуды напряжения:

UmL

LIm ;

(5.30)

для фаз:

je

j

e

j900

e

j

e

j( 900 )

e

j

I

I

I

U

;

(5.31)

I

900

.

(5.32)

U

В формуле (5.29) комплексным сопротивлением индуктивности

называют

Z

L

j L

Le j90o

jX

L

;

(5.33)

реактивным сопротивлением индуктивности (индуктивным сопро-

тивлением) называют

X L

L .

(5.34)

71

Индуктивное

сопротивление

измеряется

в

омах:

L

1

Ом с

Ом

с

uL ( t ) LIm sin( t

I 90o ) .

(5.35)

U

mL

+ j

+90

o

U

I

m

I

+ 1

Рис.5.9

В а ж н о е п р а в и л о : напряжение на индуктивности опережает

ток на 90о и амплитуда

U

mL

LI

m

.

П рим ер 5 . 6

В схеме рис.5.10а

с источником гармонического тока Jm 1А на

u ( t ) U

mC

e j U e j t .

(5.37)

c

i ( t )

C

d

U

e j U e j t

j CU

e j U e j t

I

e j I e j t . (5.38)

mC

mC

m

dt

Разделим (5.38) на e j t :

j CUmCe

j U

j CUmC

Ime

j I

Im .

(5.39)

Из (5.39)

получаем следующие выражения для гармонического тока

и напряжения на емкости:

для комплексных амплитуд:

U mC

1

I

j

1

Im

Z C Im ;

(5.40)

m

j C

C

для амплитуды напряжения и тока:

UmC

1

Im ;

(5.41)

C

для фаз:

I

90o .

(5.42)

U

В формуле (5.40) комплексным сопротивлением емкости называют

Z c

j

1

jXC ;

(5.43)

C

реактивным сопротивлением

емкости

(емкостным сопротивлени-

ем) называют

XC

1

.

(5.44)

C

Емкостное сопротивление измеряется в омах:

1

с Ом

Ом .

C

с

С

увеличением

частоты

реактивное сопротивление

емкости

u ( t )

1

I

sin( t

90o ) .

(5.45)

C

C

m

I

на 90о и амплитуда UmC

1

Im .

C

П рим ер 5 . 7

В схеме рис.5.13а

с источником гармонического напряжения

Um 1В на частоте f

159,155 Гц рассчитать мгновенное значение

тока в емкости C 1 мФ .

Выполнить моделирование схемы рис.5.13а и

74

i(t)

R

L

R

L

e(t)

u(t)

C

uC(t)

Рис.5.14

Для сигнала произвольной формы уравнение

по второму закону

Кирхгофа записывают так:

uR uL uC e(t) u( t )

(5.46).

di

1

t

iR L

idt u( t ) .

(5.47)

dt

C

e(t) Emsin( t

E )

Umsin( t

U ),

(5.48)

U

m

Ume

j U

j

Z

Ze

.

(5.51)

I

m

Ime

j I

Um

Z

Z

R

2

X

2

;

(5.52)

Im

аргумент комплексного сопротивления:

arctg

X

;

(5.53)

I

U

R

75

Z

Z cos

jZ sin

(5.54)

Активное сопротивление цепи R

является действительной частью

комплексного сопротивления и всегда положительно.

Реактивное сопротивление цепи

X

X L

XC

L

1

явля-

c

ется мнимой частью комплексного сопротивления.

Реактивное

сопротивление индуктивно-

X

L

сти X L

L

0 .

ω

=

L

X

Реактивное

сопротивление

емкости

XC =1/ω C

XC

1

0 .

c

ωo

ω

Реактивное

сопротивление

цепи

Рис.5.15

X

X L

XC

может

быть

положительным

или отрицательным.

arctg

X

arctg

X L

XC

.

R

R

Причем выполняется условие: (

90o

90o ).

Если X L XC , реактивное сопротивление X

0 и имеет индук-

тивный характер, то 0o

90o .

76

Если X L

XC , реактивное сопротивление X 0 и имеет емкост-

ной характер, то

90o

0o .

I m

R

jω L

I m

E m

Em

Um

-j1/ω C

Z

а)

б)

Рис.5.17

Em включен последовательно с активным сопротивлением R ,

комплекс-

ным сопротивлением индуктивности

Z L j L и комплексным сопро-

тивлением емкости ZC

j

1

.

C

В схеме рис.5.17б использовано общее комплексное сопротивление

цепи Z R j L

j

1

.

Комплексную амплитуду тока

в схеме

C

рис.5.17б находим по формуле:

Im

Em

.

Z

77

противление равно модулю комплексного сопротивления цепи.

Находим комплексное сопротивление (КС):

Z R j( X L

XC )

4 j( 5 2 )

4 j3 Ом.

Находим модуль КС и полное сопротивление цепи:

Z

16

9

5Ом

Z .

Найдем также аргумент КС:

arctg

X

arctg

3

370 .

R

4

Запишем КС в показательной форме: Z

5e j370 .

5.11. Векторная диаграмма тока и напряжения

в неразветвлённой цепи

Напомним, что векторной диаграммой называется совокупность

векторов напряжения и токов, построенных из начала комплексной плос-

I

m

-j1/ω

кости с соблюдением взаимной ориента-

C

ции. Для построения векторной диаграммы

надо сначала рассчитать комплексные ам-

U mC

плитуды всех токов и напряжений в цепи,

E m

jωL

U mL

которые и определяют положения векто-

R

ров токов и напряжений на комплексной

плоскости.

Пусть

в

цепи

рис.5.19

задано

UmR

e( t )

Em sin( t

E ).

Выполним

Рис.5.19

расчет символическим методом.

Переходим

к

комплексной

амплитуде

напряжения: E

m

E e j E .

m

Рассчитываем реактивные сопротивления:

Z

R

jX

R

j( X L

Xc )

Ze j .

(5.55)

arctg

X

.

Модуль КС:

Z

R2

X 2 , аргумент

R

Находим комплексную амплитуду тока:

Em

Eme

j E

Um

j(

)

j

I m

e

E

Ime

I . (5.56)

Z

Ze j

Z

Начальная фаза тока: I

E

.

U

mR

I

m

R I

m

R e j I ; U

mL

jX

L

I

m

LI

m

e j( I 900 )

;

1

1

j( I

0

U mC

j

I m

Ime

90 )

.

c

c

+j

1В

1А

UmL

Em

UmL UmC

+90o

φ

UmR

ImR

ψI

-90o

+1

UmC

ния E 0 . По формуле (5.56) запишем:

Im

Um

Um

Um

.

(5.57)

Z

2

2

2

1 2

R

( X L

XC )

R

( L

C )

Получили зависимость амплитуды тока от частоты, которую назы-

вают амплитудно-частотная характеристика тока (АЧХ).

Фазо-частотная характеристика тока

(ФЧХ) – это зависимость

фазы тока от частоты:

L

1

I

= arctg

C

.

(5.58)

R

X L XC , 0 L

1

.

(5.58)

0C

0

1

.

(5.59)

LC

XЭ X L XC 0 ,

(5.60)

arctg

X Э

0 ;

(5.61)

R

Z R .

(5.62)

Um

Imрез

.

(5.63)

R

П рим ер 5 . 9

В последовательной цепи рис. 5.21

R1 20Ом ,

L1 10 мГн ,

C1 47 нФ . Амплитуда генератора напряжения равна 1

В. Найти резо-