Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета
Предмет:
Теоретические основы электротехники
Файл:

Алехин электротехника

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
28.02.2024
Размер:
9.47 Mб
Скачать
☆

210

Для расчета постоянных интегрирования надо найти iсв ( 0 ) и

 

diсв ( t )

 

 

 

 

 

 

в послекоммутационной

схеме с учетом законов коммута-

 

dt

 

 

 

t 0

 

 

 

ции.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендуется решать задачу относительно iL ( t ) или uC ( t ) .

 

 

Е с л и м ы и щ е м i( t )

iL ( t ) , то:

 

 

 

 

iLсв ( 0 ) iL ( 0

)

iLпр ( 0 )

(11.18)

легко определить по первому закону коммутации.

Для расчета производной свободного тока в индуктивности используем формулу:

L

diL ( t )

uL ( t ).

dt

 

 

 

Для производной свободного тока в индуктивности получим:

 

diLсв ( t )

 

uLсв ( 0 )

uL ( 0 ) uLпр

( 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(11.19)

 

dt t 0

 

L

 

L

 

 

 

 

 

 

 

Полное и принужденное значение напряжения на индуктивности

найдем в послекоммутационной схеме в момент t

0 .

 

 

 

Е с л и м ы и щ е м uC ( t ) , то:

 

 

 

 

 

 

uCсв ( 0

) uC ( 0 )

uCпр ( 0

)

 

 

(11.20)

легко получить по второму закону коммутации.

Производная свободного напряжения на емкости выражается через

полный и принужденный ток в емкости в момент t

0

:

 

 

 

C

duCсв ( t )

iCсв ( t )

iC ( t )

iСпр ( t ) ,

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

duCсв ( t )

 

iC ( 0

) iСпр ( 0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(11.21)

 

 

dt t 0

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.8.Переходные процессы в цепях первого порядка

Вк л юч е н и е п о с то я н н о й ЭД С в RL - ц е п ь

Вцепях первого порядка имеется только один накопительный элемент. В схеме рис.8.10 L=1 Гн, R=2 Ом, E=4 В. Ключ K замыкается в мо-

мент t 0 .

Найти ток в цепи после коммутации.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

211

По с ле д о ва те л ьн о с ть р а с ч е т а п е ре х о д н о г о п р о ц е с с а

кла с с и ч е с к и м м е то д о м

 

 

 

 

 

 

i(t)

 

 

K

t=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

Рис. 11.12

uL(t)

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Расчет режима до коммутации

t

0

,

определение независи-

мых НУ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iL ( 0 )

0 iL ( 0 ).

 

 

 

 

 

 

2. Расчет принужденного режима, ключ замкнут t

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iLпр

 

E

 

 

2A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Составляем дифференциальное уравнение цепи после коммутации

 

t 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iR

 

L

di

 

E ,

2i

1

di

 

 

4 В .

(11.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Составляем характеристическое

 

уравнение

цепи.

Заменяем

 

d

p :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pL

 

R

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим корень характеристического уравнения:

 

 

 

 

 

 

p

 

R

2

1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

L

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- коэффициент затухания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Записываем выражение для свободного тока:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A e p1t

 

 

A e

 

 

A e t

A e 2t .

 

 

 

 

 

 

i ( t )

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

св

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5. Расчет постоянной интегрирования А1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 iсв ( 0 )

iL ( 0 ) iLпр ( 0 )

0

 

 

E

 

E

2 A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

212

6. Свободная составляющая тока в цепи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

e

 

 

 

t

2e 2t A .

 

 

 

 

 

i

( t )

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lсв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Находим полный ток:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

E

e

 

 

t

 

 

 

E

(1 e

 

 

 

t ) 2(1 e 2t )A

i ( t )

i ( t ) i ( t )

 

 

 

 

L

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

L

пр

св

R

R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: полный ток i ( t )

2(1

 

e 2t )A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.9. Постоянная времени цепи

 

 

Величина, обратная коэффициенту затухания α, называется постоян-

ной времени цепи

1

 

 

 

L

 

Гн

 

 

 

В с

Ом с

с .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

Ом

 

 

А Ом

 

 

Ом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем полный ток:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

E

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i( t )

 

 

 

 

 

e

 

 

 

2 2e

 

 

А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свободный ток: i

( t )

E

e

 

cв

 

R

 

 

icв ( 0 )

t

t

2e A ,

E

R

2А.

Мы видим, что постоянная времени

 

это

 

 

время, в течение кото-

рого свободный процесс затухает в e - раз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производную к свободному току при t

0

:

 

 

diсв

 

 

 

d

 

 

E

 

 

 

t

 

E

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

e

 

) (

) (

)

 

 

 

 

 

 

dt t 0

 

 

dt

 

R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2e

)

 

0

( 2 )(

 

 

t

0

tg .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис.11.13 показана схема моделирования и графики свободного и

полного тока. На графике свободного тока в момент t

0 под углом

проведена касательная. Из рисунка видно, что касательная к свободному току отсекает на оси времени отрезок равны . Это правило используют для определения постоянной времени цепи.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

213

В таблице 11.1 рассчитаны значения экспоненциальных функций

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

e

) и

e

 

для разных значений времени.

Мы видим,

что при

t

3

свободный

ток

i ( 3 )

E

e 3

E

( 0,05 ), полный ток

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i( 3 )

 

 

E

(1

e

3 )

E

(1 0,05 )

 

0,95i

и

переходной

процесс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

пр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

считается установившимся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 11.1

 

 

t

0

τ

2 τ

3 τ

4 τ

 

5 τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0,63

0,86

0,95

0,98

 

0,99

1

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

1

0,368

0,14

0,05

0,02

 

0,01

e

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем напряжения на резисторе и индуктивности: t

uR ( t ) Ri( t ) E Ee ,

 

 

 

di

 

d

 

E

 

E

 

t

 

E

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(

)e

u

L

( t ) L

L

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

dt R

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

t

L E e L R

R

t

 

t

 

 

 

 

Ee

По второму закону Кирхгофа uR ( t ) uL ( t ) E . На рис.11.14 по-

казаны результаты моделирования напряжений на резисторе и индуктивности.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

214

Вы в о д ы

Вцепи первого порядка полный переходной ток (напряжение) меня-

ется по экспоненциальному закону от начального значения ( t 0 ) до установившегося значения.

11.10.Включение в RL-цепь гармонической ЭДС

Всхеме рис.11.15 в момент t 0 к RL - цепи подключается гармо-

ническая ЭДС e( t ) Em sin( t

). Требуется найти ток после ком-

мутации.

 

i(t)

K

t=0

 

 

 

 

 

 

R

 

e(t)

 

uL(t)

L

 

 

Рис. 11.15

 

 

Р е ш е н и е

 

1. Расчет режима до коммутации iL ( 0 ) 0

iL ( 0 ).

2. Расчет принужденного режима символическим методом: Находим:

E E e j

 

 

 

 

E

 

E e j

 

 

e j( ) ,

, I

 

 

m

 

m

I

 

 

 

 

 

 

 

m

m

 

 

 

m

Z

 

Ze j

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

215

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где: Z

 

 

R2

( L )2

,

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим мгновенное значение принужденного тока:

 

 

 

iпр ( t )

Im sin( t

 

 

 

), iпр ( 0 )

 

Im sin(

).

3.

Составляем дифференциальное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iR

L

di

 

E

 

sin( t

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Характеристическое уравнение:

pL

R

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

корень характеристического уравнения:

p

 

R

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Ae p1t

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Свободный ток: i

 

( t )

 

Ae

 

L

Ae

.

 

 

 

 

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Находим постоянную интегрирования:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

iсв ( 0

 

)

i( 0

 

)

 

iпр ( 0 )

 

0

 

Im sin(

 

 

)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Находим полный ток:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i( t ) I

m

sin( t

 

 

)

I

m

sin(

 

 

)e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свободный ток зависит от фазы ЭДС при t

0 . Если

 

0, то

iсв ( t )

0 . В общем случае iсв ( 0

)

 

iпр ( 0

)

i( 0

) 0 .

 

В Mathcad рассчитаны графики для ω=10 1/с, τ=1 с, (

) 45o

(рис.11.16).

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

216

П е р е н а п р я ж е н и е в R L - ц е п и

 

 

, то i( t )

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

I

m

cos( t )

I

m

e

. Если по-

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стоянная времени – большая, амплитудное значение принужденного процесса будет складываться с большим значением свободного тока и

полный переходной ток будет близок к значению 2Im . Возникает опасное перенапряжение в цепи.

11.11. Включение в RC-цепь постоянной ЭДС

 

i(t)

K

t=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uC(t)

 

C

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

Рис. 11.17

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В схеме рис.11.17 постоянная ЭДС E подключается к RC-цепи. На

емкости имеются ненулевые начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UC ( 0 ) UC ( 0 ) U0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решаем задачу для uC ( t ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Расчет режима до коммутации UC ( 0

)

UC ( 0 ) U0 .

2. Расчет принужденного режима:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iCпр

0, E iCпр R uCпр , E uCпр .

3. Дифференциальное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e( t )

iR

 

u ( t );i

 

 

i

 

C

duC

;

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

duC

uC

e( t ).

(11.23)

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Характеристическое уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RCp 1

0;

p1

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

 

 

 

 

 

 

217

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

Свободная составляющая: u

( t )

Ae p1t

 

Ae

 

RC

Ae

.

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

св

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC Ом Ф

 

 

Ом А с

с .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

5. Находим постоянную интегрирования A:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A uCсв ( 0 )

 

uC ( 0 ) uCпр

 

U0

 

E .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

6. Свободная составляющая:

u

( t )

(U

0

E )e .

 

 

 

 

 

 

 

 

Cсв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Полный переходной процесс:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

u ( t )

u

( t ) u

( t )

E (U

 

E )e

 

 

 

C

 

Cпр

 

 

Cсв

 

 

 

 

 

0

 

 

.

 

График полного переходного процесса uC ( t ) показан на рис.11.18а:

uC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

ucпр

 

 

 

 

 

 

i(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E-U0

 

 

 

 

 

 

uC(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

β

E-U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

4

 

 

5 t

0

 

 

 

 

 

2

3

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11.18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производную к переходному процессу при t

 

0 :

 

duC ( t )

1

 

 

 

 

 

t

 

 

E

 

U0

 

 

 

 

E

U

0

e

 

( t 0 )

 

 

tg .

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ы в о д : касательная к переходному процессу при t

0 отсекает

на линии принужденного режима отрезок равный .

 

 

 

 

 

Ток в цепи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

duC ( t )

 

1

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i( t )

C

C

 

 

E

U

0

e

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График тока показан на рис.11.18б.

 

 

 

 

 

Напряжение на резисторе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

R

( t )

 

Ri( t )

E U

0

e

E u ( t )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

В ы в о д ы : uC ( t ) меняется аналогично iL ( t ) меняется аналогично uL ( t ) в RL – цепи.

t

E U0 e . R

в RL – цепи; i( t )

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

e( t )

218

11.12. Дифференцирующие и интегрирующие цепи

i(t) uR(t)

e(t) R

C uC(t)

Рис. 11.19

На рис.11.19 показана схема RC - цепи, в которой действует источник напряжения произвольной формы. По второму закону Кирхгофа запишем уравнение для напряжений в цепи:

e( t ) uR ( t ) uC ( t ) iR uC RC

duC

uC .

(11.24)

dt

 

 

 

И н те г р и р ующ а я R C - ц е п ь

Пусть постоянная цепи RC достаточно велика. В этом случае большими должны быть резистор и емкость ( R ,C ). Но для гармонических составляющих сигналов емкостное сопротивление будет малым

1

( XC R ). Значит входное напряжение e( t ) будет приложено к

C

резистору:

e( t ) uR ( t ) RC

duC

.

(11.25)

 

 

dt

 

Выходной сигнал снимаем с емкости:

 

1

t

 

uC ( t )

e( t )dt .

(11.26)

 

RC

 

0

 

Врезультате получили интегрирующую цепь.

Прим ер 1 1 . 1

Провести моделирование и найти напряжение на емкости в цепи (рис.11.20) с параметрами: R1 10кОм , С 100 нФ . На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс.

На рис.11.20 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на емкости приближенно соответствует интегралу входного напряжения.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

219

 

Д и ф ф е р е н ц и р ующ а я R C - ц е п ь

Теперь

рассмотрим случай, когда постоянная времени мала

( RC

). При этом малыми должны быть R и C . Тогда сопротивле-

1

ние емкости велико ( XC R ) и входной сигнал будет приложен

C

к емкости:

e( t ) uC ( t ) .

(11.27)

Выходной сигнал снимаем с сопротивления:

uR ( t ) RC

duC

 

de

.

(11.28)

dt

dt

 

 

 

 

Врезультате получили дифференцирующую цепь.

Прим ер 1 1 . 2

Провести моделирование и найти напряжение на резисторе в цепи (рис.11.21) с параметрами: R1 1кОм , С 100 нФ . На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс.

На рис.11.21 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на резисторе приближенно соответствует производной входного напряжения.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности