Добавил:

89135606891 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Алехин электротехника

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2024

Размер:

9.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3724 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

e( t )

220

И н те г р и р ующ а я R L – ц е п ь

	i(t)	uL(t)
	i(t)
e(t)		L
e(t)		uR(t)
		uR(t)
		R

Рис. 11.22

На рис.11.22 показана схема RL - цепи, в которой действует источник напряжения произвольной формы. По второму закону Кирхгофа запишем уравнение для напряжений в цепи:

e( t ) uL ( t )	uR ( t ) L			di	iR .	(11.29)
				dt

Пусть постоянная времени		L	достаточно большая.			При этом
		R

индуктивность должна быть большой,			а сопротивление малым ( L ,
R ) и индуктивное сопротивление на составляющих частотах сигнала
будет больше активного ( X L L		R ).

Тогда входное напряжение будет приложено к индуктивности:

e( t ) uL ( t ) L	di	,	(11.30)
	dt

ток в цепи приближенно равен:

	1	t
i		e( t )dt .	(11.31)
i	L	e( t )dt .	(11.31)
	L	0

Выходной сигнал снимаем с сопротивления и получаем интеграл входного напряжения:

	R t		1	t
uR ( t ) iR		e( t )dt		e( t )dt .	(11.32)
	L 0
				0

П рим ер 1 1 . 3

Провести моделирование и найти напряжение на резисторе в цепи (рис.11.23) с параметрами: R1 1Ом, L 10 мГн . На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

221

На рис.11.23 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на резисторе приближенно соответствует интегралу входного напряжения.

Д и ф ф е р е н ц и р ующ а я R L - ц е п ь

Рассмотрим случай,

когда в

цепи рис.8.20 постоянная времени

мала. При этом X L

R и входное напряжение будет при-

ложено к резистору:

e( t ) uR ( t ) iR .

(11.33)

Выходное напряжение будем снимать с индуктивности и получим

производную входного напряжения:

L de

(11.34)

R dt

П рим ер 1 1 . 4

Провести моделирование и найти напряжение на индуктивности в

цепи (рис.11.24) с параметрами: R1

100Ом, L1

10 мГн.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

222

На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс.

На рис.11.24 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на индуктивности приближенно соответствует производной входного напряжения.

11.13.Переходные процессы в цепях второго порядка

Ра зр я д е м к о с ти в R L C - ц е п и

На рис.11.25 показана схема цепи второго порядка, содержащей два накопительных элемента: индуктивность и емкость. До коммутации к цепи

подключен источник постоянного напряжения e( t ) E const . Емкость заряжена до напряжения uC ( 0 ) E . Ток в цепи равен нулю. В момент

коммутации ключ K переключается на перемычку и в RLC-цепи происходит разряд емкости. Требуется рассчитать изменение напряжения на емко-

сти uC ( t ).

Ре ш е н и е

1.Расчет режима до коммутации:

uC ( 0 ) uC ( 0 ) E ; iL ( 0 ) iL ( 0 ) 0.

2. Расчет принужденного режима.

В схеме после коммутации отсутствуют источники энергии. Вся накопленная в емкости до коммутации энергия выделится в резисторе. Поэтому:

uCпр ( t ) 0, iLпр ( t )	0 .
3. Дифференциальное	уравнение в послекоммутационной схеме

(t≥0).

По второму закону Кирхгофа:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

		223
Ri L	di	u	0 .	(11.35)
Ri L		u	0 .	(11.35)
	dt	C
	dt

Подставим в (11.35) выражение для тока:

i C	duC	.	(11.36)

	dt

Получим дифференциальное уравнение для напряжения на емкости:

0 ,

(11.37)

dt2

или:

d 2u

0 .

(11.38)

dt2

4. Характеристическое уравнение:

0 .

(11.39)

Обозначим

частота незатухающих колеба-

ний.

Получим:

2 p

(11.40)

Корни характеристического уравнения:

2 .

(11.41)

1,2

В о з м о ж н ы 3 с л у ч а я п е р е х о д н о г о п р о ц е с с а

в ц е п и в т о р о г о п о р я д к а :

1-й случай – апериодический переходной процесс.

В этом случае корни p1

и p2 – вещественные, отрицательные и разные.

Для этого должно быть:

2 2

0 ,

2 0L

2 2

(11.42).

В RLC -цепи величину

называют характеристическим со-

противлением.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

224

В этом случае напряжение на емкости ищем в следующем виде:

u	( t ) B e p1t	B e p2t .	(11.43)
Cсв	1	2

Переходной процесс описывается двумя экспоненциальными функциями с действительными отрицательными и разными показателями.

Такой переходной процесс не совершает периодических колебаний и называется апериодическим.

П рим ер 1 1 . 5

			3
В схеме рис.11.26 L=1 мГн, С=1 нФ,	L	10	3	103	Ом.

	C	10	9
	C	10	9

Ключ замыкается в момент t 200 мкс . Провести моделирование для случая R 4 кОм 2 на интервале времени от 180 мкс до 240 мкс.

Получили апериодический переходной процесс uC ( t ) .

2-й случай – критический переходной процесс.

В этом случае корни p1 p2 - вещественные, отрицательные и равные.

При этом:	R	0	1	, R 2	L	2 .

	2L				C
			LC
			LC

Решение дифференциального уравнения ищем в виде:

u	( t ) ( B	B t )e t	(11.44)
Cсв	1	2

С учетом начальных условий получим полное решение:

u	t	E 1	t e t	u t .	(11.45)
Cсв				С
П рим ер 1 1 . 6 .
В схеме рис.11.27		ключ замыкается в момент t			200 мкс . Прове-
сти моделирование для случая R			2кОм	2 на интервале времени от

180 мкс до 240 мкс.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

225

График критического переходного процесса аналогичен апериодическому, но характер изменения более быстрый.

3-й случай – колебательный переходной процесс

Колебательный переходной процесс возникает в RLC - цепи с малыми потерями. Для этого должны выполняться условия:

				;	R		1			; R	2 .					(11.46)
				;						; R	2 .					(11.46)
				0	2L			LC
					2L			LC

В формуле для			корней: p								2	2		подкоренное вы-
					1,2							0
ражение 2	2	0 будет			отрицательным. Мы получим два комплекс-
	0
но-сопряженных корня:

		p				j	2		2			j			,	(11.47)
		1,2					0						c

где	2		2 - угловая частота свободных колебаний.
c		0

Решение для свободного процесса можно найти двумя способами:

1 - й с п о с о б .
Ищем решение в виде:
u	t B e p1t	B e p2t	B e	j c t	B e
Cсв	1	2	1		2

С учетом начальных условий проводим расчет B1 , ными числами и находим решение uCсв t .

2 - й с п о с о б . Ищем решение в виде:

u	t B e t sin t	.
Cсв	c

j c t . (11.48)

B2 с комплекс-

(11.49)

Здесь B; ψ – неизвестные постоянные интегрирования, которые требуется найти.

Составим систему из двух уравнений для расчета B и . При t 0 :

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

226

uCсв

uC 0

uCпр 0

B sin

(11.50)

Найдем производную:

duCсв

B e

t sin t

B e

t cos t

iCсв t

C .

При t

iL 0

0, iCпр

0 .

(11.51)

Следовательно:

iCсв

0 и

B sin

c B cos

0 .

(11.52)

Из уравнения (8.49):

(11.53)

sin

Подставим это выражение в (8.51):

E	c E ctg
Далее получим:
ctg			, tg



		c

Находим постоянную интегрирования:

				arctg		c
				arctg
Выполним преобразования:
		c			c
sin	sin arctg	c

						2
			1		c
			1

0 .

c .

c			c	.
				.
2	2	0
	c

Находим вторую неизвестную постоянную интегрирования:

B	E	E	0	,
B	sin	E		,
	sin
			c

где:

(11.54)

(11.55)

11.56)

(11.57)

	2	2	- резонансная частота незатухающих колебаний;
0		c

	2	2 - частота свободных колебаний.
св	0

Полный колебательный переходной процесс получили в виде:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

					227
u	t	E	0	e	t sin t	,	(11.58)
u	t	E		e	t sin t	,	(11.58)
C			c		с
			c
где: arctg	c	.
где: arctg		.

П рим ер 1 1 . 7
В схеме рис.11.28		ключ замыкается в момент t					200 мкс . Прове-
сти моделирование для случая R					500Ом	2 на интервале времени

от 180 мкс до 240 мкс.

Вывод: Свободная составляющая имеет характер затухающих колебаний с частотой с . Амплитуда свободных колебаний убывает по экс-

поненциальному закону e t .

11.14. Декремент колебаний

Декрементом колебаний называется отношение двух мгновенных

значений напряжения или тока в моменты t

и t

TC :

E 0 e

t sin t

e Tc .

(11.59)

e t Tc

sin t

Логарифмическим декрементом колебаний называют логарифм де-

кремента колебаний:

(11.60)

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

					228
Подставим в (11.60)		R		и преобразуем к виду:
Подставим в (11.60)				и преобразуем к виду:
		L
						R								.	(11.61)



	0 L				1					R2
	0 L				1				4L2 2
									4L2 2
										0
В RLC - цепях применяют понятие добротности колебательного кон-
тура:
			Q			0 L
													.		(11.62)
							R				R		.		(11.62)
Используя добротность, получим еще одно выражение для логариф-
мического коэффициента затухания:
	1											.			(11.63)

			Q
									1	2
										2
					1

								2Q
								2Q

11.15. Примеры расчета переходных процессов классическим методом

П рим ер 1 1 . 9

	R1
			Для цепи рис.8.27 заданы Е=6В, R1
E	L	iL(t)	= R2 = =R3 = 2 Ом, L = 2 Гн. Найти ток
	R2		iL ( t ) и напряжение uL ( t ) после комму-
	R3	t=0	тации.
	R3
		K

Рис. 11.29

Ре ш е н и е

1.Рассчитаем докоммутационный режим:

iL ( 0 )		E		R2	1 A iL ( 0 ).
iL ( 0 )	R1	R2 R3		R2 R3	1 A iL ( 0 ).
		R2 R3		R2 R3
		R2	R3
		R2	R3

iL ( 0 ) 1A– независимое начальное условие.

2. Принуждённый режим:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

229

iLпр R1 3A

3. Составляем характеристическое уравнение и определяем его кор-

ни:

R1R2

0 ; pL 1 0, p

0,5 c 1

4. Свободная составляющая тока:

( t )

Ae p1t ; A i

( 0 )

i ( 0 ) i

( 0 ) 1 3

2 A;

Lсв

Lпр

( t )

2e 0,5t A.

Lсв

5. Полный ток

i ( t )

( t ) i

Lсв

( t )

3 2e 0,5t A

Lпр

6.Найдём uL ( t ):

uL ( t )

diL

2e 0,5t

B .

Графики полного тока и напряжения показаны на рис.11.30.

i	u
A	B
3
2				i L( t)
1					uL(t)
			τ		uL(t)
			τ
	0	1	2	3	4	5	6	7	8
					Рис.	11.30

П рим ер 1 1 . 10

Цепь, показанная на рис.11.31, имеет следующие

100В, R1 = R2 = R3= 200 кОм, С =1 мкФ.

Найти uC ( t ) после коммутации.

параметры: Е =

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3724 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
28.02.20242.81 Mб0Laboratornaya_rabota.docx
#
28.02.2024487.27 Кб0Mironenko_RGZ_1_TOE.docx
#
28.02.20243.19 Mб0Otvety_TOE.docx
#
28.02.2024137 Кб0VAFa_05_09.xlsx
#
28.02.20241.42 Mб1zadaniya-neti (1).pdf
#
28.02.20249.47 Mб1Алехин электротехника.pdf
#
28.02.20241.42 Mб0зад. 5.2 (1 часть).pdf
#
28.02.202414.57 Кб0Защита.docx
#
28.02.2024700.67 Кб0магнитные цепи.pdf
#
28.02.2024946.75 Кб0несинусоидальные цепи.docx
#
28.02.20243.68 Mб0практикум СФУ.pdf