Алехин электротехника

30

10.Объясните правило эквивалентной замены источника напряжения на источник тока и наоборот.

11.В чём выражается и чем обусловлена возникающая нелинейность пассивных и активных элементов электрической цепи ?

12.Какие классы электрических цепей изучают в электротехнике ?

13.Объясните топологические понятия электрической цепи: ветвь, узел, контур.

14.Как найти число независимых узлов ?

15.Что такое независимые контуры ?

16.Что называют графом электрической цепи ?

17.Что называют деревом графа, дополнением дерева, ветвью связи?

18.Как определить число независимых контуров по правилу дерева ?

19.Сформулируйте обобщенный закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

20.Сформулируйте первый закон Кирхгофа (1ЗК).

21.Сформулируйте второй закое Кирхгофа (2ЗК).

22.Какие простейшие виды идеализированных электрических сигналов применяют в расчетах электрических цепей?

23.В чем состоит принцип суперпозиции в линейной электрической цепи и как его применяют в расчетах ?

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

31

Глава 2. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ

Алгебраические методы расчета цепей основываются на применении законов Кирхгофа и Ома и сводятся к составлению систем уравнений для токов и напряжений в цепи, решению этих уравнений и определению искомых токов и напряжений.

2.1. Составление уравнений на основании законов Кирхгофа

Схема электрической цепи показана на рис. 2.1. Составление уравнений по законам Кирхгофа проводим в такой последовательности.

Выбираем произвольно условно положительные направления токов. Строим граф схемы в виде дерева и ветвей связи (рис.2.2). Граф имеет 3

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Примечание. По второму закону Кирхгофа следует составлять уравнения для контуров, не содержащих источников тока или преобразовывать их в источники напряжения.

Недостатком расчета цепи по законам Кирхгофа является то, что число уравнений равно числу неизвестных токов. Система уравнений может получиться сложной.

2.2. Метод контурных токов (МКТ)

Метод контурных токов позволяет сократить число уравнений до количества независимых контуров. В исходной схеме на рис.2.3 число не-

зависимых контуров Nнез 4 можно сократить до трех, выполнив пре-

образование источника тока в источник напряжения (рис.2.4). В результате мы перейдем к расчетной схеме рис.2.5.

После преобразования в резисторе R2 проходит ток I2 . Истинный ток I2 в исходной схеме связан с током I2 соотношением (см. рис.2.4):

Рис.2.4

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

33

Для получения независимых контуров выбираем дерево графа и добавляем ветви связи (рис.2.6). Считаем, что в каждом контуре схемы

рис.2.5 существуют расчетные контурные токи I11 , I22 , I33 , совпадаю-

щие с токами в ветвях связи графа. Составим таблицу, которая выражает токи в ветвях через контурные токи.

Составим для независимых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа. Направления обхода контуров совпадают с направлением контурных токов.

Приведем подобные члены с токами I11, I22 , I33 :

Полученную систему уравнений для контурных токов запишем в канонической форме.

К а н о н и ч е с к а я ф о р м а с и с т е м ы у р а в н е н и й п о М К Т

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Решение уравнений по МКТ можно выполнить при помощи определителей по правилу Крамера:

В формулах (2.11): - определитель матрицы контурных сопротивлений;

1 , 2 , 3 - определители, полученные заменой соответствующего столбца контурных сопротивлений на столбец контурных ЭДС.

Вычислив контурные токи, по таблице токов находим токи в ветвях схемы рис. 2.5.

Затем возвращаемся к исходной схеме рис. 2.3 и находим ток

I2 J I2 .

Раскрывая определитель 1 , 2 , 3 , получим общее решение урав-

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

Решаем систему по правилу Крамера и находим контурные токи:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

36

2.3. Метод узловых напряжений (МУН)

Метод узловых напряжений основан на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома и сводится к нахождению напряжений в узлах схемы и последующему нахождения токов по закону Ома. МУН целесообразно применять тогда, когда число независимых узлов меньше числа независимых контуров.

Рис.2.8

По законам Кирхгофа надо составить систему из 7 уравнений.

Число независимых контуров после преобразования источника тока в источник напряжения Nнез nсв nит 6 1 5 . Следовательно, по методу контурных токов надо составить систему из 5 уравнений.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

37

В то же время имеем два независимых узла. Если будут известны узловые напряжений U1 и U2 относительно общего узла, то по закону Ома можно будет рассчитать токи всех ветвей. Примем напряжение обще-

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

38

J11 J E2G2 E4G4 , J22 E4G4 E6G6 - узловые токи,

равные алгебраической сумме источников тока и умноженных на проводимости ветвей источников напряжения, подключенных к узлам 1 и 2. Причём положительные знаки берут у источников, направленных к узлам.

МУН широко применяют для расчёта электрических схем. После расчёта напряжения в узлах, токи находят по закону Ома по Таблице токов.

М а т р и ч н а я ф о р м а у р а в н е н и й М У Н

Прим ер 2 . 2 .

Вцепи рис.2.9 найти токи методом узловых напряжений.

c

Рис.2.9

Составляем уравнения МУН в канонической форме:

Преобразуем и решаем уравнения:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

39

Метод двух узлов является частным случаем МУН. В схеме рис.2.10 один независимый узел с узловым напряжением U1 .

По МУН для расчета U1 имеем одно уравнение:

Получаем формулу для расчета узлового напряжения по методу двух узлов:

В общем случае в схеме с двумя узлами:

E1

Рис.2.10

В этой формуле со знаком «+» берут токи и ЭДС, направленные к узлу 1 и со знаком «-», направленные от узла 1.

В схеме рис.2.10 задано: J1 6A, E1 12В ,E2 8B, R1 3Oм,

R2 6Oм, R3 2Oм .

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016