Добавил:

89135606891 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Алехин электротехника

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2024

Размер:

9.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3725 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

230

E	R1			uC(t)
	R2	R3	C	uC(t)
	K	t=0

Рис.11.31

Ре ш е н и е

1.Расчет режима до коммутации

Параллельное соединение R2			и R3 равно 100 кОм.
Имеем делитель напряжения из R1				и R2\|\|R3.
uC ( 0 ) E		R2 \|\| R3	100	100 103		33 В uC ( 0
	R1	R2 \|\| R3			300 103

2. Принужденный режим.

uСпр

50 В .

3. Характеристическое уравнение

R1R3

0 ;

1 .

R1R3

100 103 10 6

R1 R3

4. Свободная составляющая напряжения на емкости:

u (t) Be 10t	u ( 0 ) u		e 10t	33 50 e 10t	17e
Ссв	C	Спр

5. Полный переходной процесс:

uС (t)=uСпр (t)+uСсв (t)=50-17e 10t В .

Прим ер 1 1 . 11

Вцепи рис.11.32 найти u( t ) после коммутации.

Ре ш е н и е

1.До коммутации iL (0 )=0 .

2.Принужденный режим iLпр =50 А.

)

10t В .

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

231

3. Характеристическое уравнение:

1 1

t=0

1 Ом

100 B

2 Гн

u(t)

1 Ом

Рис.11.32

4. Свободный ток: i

(t)= i

)-i

50e

t А.

Lсв

Lпр

5. Полный ток: i

(t)=i

Lпр

(t)=50

50e

t А .

Lсв

6. Напряжение на выходе:

u(t)=u

(t)+u

(t)=R 50 50e t

L diL

50e

t В .

Ответ: u(t)=50 50e

t В .

П рим ер 1 1 . 12

Заданы параметры цепи рис.8.31:

Гн, С

Ф,

R1 R2 2 Ом, Е

12 В. Определить напряжение uC (t) после ком-

мутации.

i 2

i 3

t=0K

Рис.11.33

Ре ш е н и е

1.Расчет режима до коммутации:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

232

uC 0

6 В ,

iL 0

3 А.

2. Принужденный режим:

uCпр

12 В, iLпр

6 А.

3. Характеристическое уравнение:

)

Z (j )=j L

j C

;

j C

Заменяем

j на p:

)

Z (p)=pL

0 .

RCp

Получим уравнение:

p2RLC

0 ,

p2 2

4 1

2 0 , p2

8 p 12 0 .

Корни:

2 1

Свободное напряжение: u

(t)=A e

2t A e 6t .

Ссв

4. Расчет постоянных интегрирования:

uСсв (0

)=A1

uC 0

uСпр

6 В (1).

duСсв

p1A1

p2 A2

iCсв

iCсв 0

iC 0

iCпр 0

iC 0 .

Расчет iC

в послекоммутационной схеме (t

) (рис.8.32).

В узле a напряжение равно UC ( 0

)

6В .

Ток

i2 ( 0

)

UC ( 0 )

3А. По первому закону Кирхгофа полу-

2Ом

чим iС ( 0

)

Получим систему из двух уравнений:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

233

A1	A2	6
2A1	6A2	0 .

Решение системы: A 1 9 В , A2 3.

	iL(0+ )=3 А	a
		a
	i2(0+ )= 3 A	iC(0+ )=0
	i2(0+ )= 3 A
12В	2 Ом	UС(0+ )= 6 В

Рис.11.34

Ответ: uС (t)=12-9e 2t 3e 6t .

11.6.Контрольные вопросы

1.Что называют переходными процессами и когда они происходят?

2.Объясните физический смысл первого и второго закона коммута-

ции.

3.Какие начальные условия бывают в цепи и как их рассчитать?

4.Как составить характеристическое уравнение цепи?

5. Как определить порядок цепи при расчете переходных процессов? 6. Объясните последовательность расчета переходных процессов

классическим методом.

7. Какие корни имеют характеристические уравнения в цепях первого и второго порядка ?

8. Какой вид имеют переходные процессы в цепях первого порядка?

9.Что такое принужденный режим?

10.Что такое свободный процесс ?

11. Как изменяется напряжение на каждом из двух элементов при подключении постоянного напряжения Е к цепям RC и RL?

12. Как выглядят графики выходных напряжений при действии прямоугольного импульсного сигнала на входе дифференцирующего и интегрирующего звена?

13. Какой вид могут иметь переходные процессы при подключении постоянного напряжения Е к RLC -цепи?

14. Когда в цепи второго порядка происходит колебательный переходной процесс?

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

234

Глава 12. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В операторном методе для расчета переходных процессов используют преобразование Лапласа. При этом дифференциальные и интегральные операции над функциями времени (оригиналами) заменяют алгебраическими операциями над их интегральными преобразованиями (изображениями).

Э т а п ы р а с ч е т а о п е р а т о р н ы м м е т о д о м :

1.Находим независимые начальные условия iL ( 0 ), u C ( 0 ).

2.Находим изображения источников сигнала и пассивных элементов

исоставляем операторную схему замещения цепи.

3.В операторной схеме замещения рассчитываем изображения токов

инапряжений.

4.Переходим от изображений к оригиналам (функциям времени) токов и напряжений.

12.1.Прямое преобразование Лапласа

Пусть функция времени

f t

удовлетворяет условиям:

1. f

0 при t

0 ;

(12.1)

2. При t

M ec0t ,

(12.2)

где M

0;c0

0 - любые действительные числа.

Такую функцию

t называют функцией ограниченного роста. На

рис.12.1 показано, что

должна быть ниже экспоненты M ec0t ,

в ко-

торой M и c0

могут быть очень большие.

Все реальные функции токов и напряжений являются функциями

ограниченного роста.

Если

f t

удовлетворяет

условиям

(12.1)

Meco t

f(t)

(12.2), то интеграл

t e

p t dt

схо-

дится абсолютно и называется прямое преобразо-

вание Лапласа. Здесь оператор Лапласа (ком-

плексная

переменная)

j ,

причем

Re p

c0 .

Рис.12.1

Прямое преобразование Лапласа будем обо-

значать соответствием:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

235

f t = F p

(12.3)

Оригинал Изображение

12.2. Изображения простейших функций

1 t - е д и н и ч н а я ф ун к ц и я ( ф ун к ц и я вк л юч е н и я ) (рис.12.2). Единичная возникает в момент t 0 и сохраняет значение, равное 1,

до бесконечности.

Найдем

изображение

единичной

1(t)

функции:

F( p )

1 e pt dt

Рис.12.2

Получили: 1 t

;

e t - э к с п о н е н т а (рис.12.3), равная нулю при t

0 .

e -pt

Рис.12.3

e t e pt dt

( p )t dt

F( p )

Получили: .

t =

Для оператора поворота получим:

j t =

12.3.Основные свойства преобразования Лапласа

1.Л и н е й н о с т ь :

f1 t f2 t = F1 p F2 p .

(12.4)

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

236

2. С в о й с т в о к о м м у т а т и в н о с т и

по отношению к опера-

циям действительной (Re) и мнимой ( Jm ) части.

Если

= F

p , причем f

Re f t

jJmf

t , то:

Re f

t = Re F

и Jmf

t = JmF

p .

(12.5)

П р и м е р 1 2 . 1

j t

cos t

j sin t =

(12.6)

Используем свойство (2) и получаем:

cos t =

, sin t =

3. И з о б р а ж е н и е п р о и з в о д н о й

Если

= F

p , то производная имеет изображение:

t = pF p

0 .

(12.7)

Здесь:

f 0

- значение f

в момент t

0 .

p- оператор дифференцирования

4 . И з о б р а ж е н и е и н т е г р а л а

F p

Если f

= F

p , то интеграл t

f t

dt =

(12.8)

- оператор интегрирования.

5 . Т е о р е м а з а п а з д ы в а н и я Пусть исходная функция:

f t = F p .

Изображение запаздывающей функции:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

237

pt0 F

(12.9)

П р и м е р 1 2 . 2

Найти изображение импульса длительностью .

Импульс равен разности двух функ-

f(t)

ций включения:

1(t)

f t

1 t

Изображение импульса находим как

разность изображений этих двух функций:

-1(t-τ)

1 e

p .

(12.10)

12.4. Расчет переходного процесса при нулевых начальных условиях

K	t=0	i(t)		До коммутации (t		0 ) в це-
K
				пи рис.12.4:
		R		iL 0	0, uC	0 .
e(t)			С	Найти ток i t	после коммутации.
			С

После коммутации в цепи вы- Рис.12.4 полняется дифференциальное урав-

нение:

		di	1		t
e t	Ri t L				idt .	(12.11)
		dt		C
					0

Преобразуем по Лапласу и получим операторное уравнение:

E p RI p pLI p	1	I p .	(12.12)
	pC

В операторном уравнении:

R - активное сопротивление;

pL - индуктивное сопротивление в операторной форме;

- емкостное сопротивление в операторной форме.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

238

Оп е р а то р н а я с х е м а за м е щ е н и я п р и н ул е вы х

на ч а л ьн ы х ус ло в и я х

Уравнению (12.12) соответствует операторная схема замещения

(рис.12.5).

I(p)

		Находим операторный ток:
	R	pL		E p		E p
	R	I p
		I p			1	Z ( p )
E(p)			R	pL	1	Z ( p )
E(p)		1/pC	R	pL	pC
		1/pC

						(12.13)
		В этом выражении:
	Рис.12.5
		Z( p )	R	pL	1	(12.14)
		Z( p )	R	pL	pC	(12.14)
					pC

- операторное сопротивление цепи.

П р а в и л о : Операторное сопротивление

Z( p ) можно получить

из комплексного Z( j ) R	j L	1	заменой j p .

		j C

Операторное сопротивление и операторная схема замещения имеют обобщенный характер и позволяют решать задачи при любом воздействии.

Величину обратную операторному сопротивлению называют опера-

торная проводимость:

Y p	1
Y p	Z p .	(12.15)

Зная изображение тока, можно найти оригинал: i t = I p . Ниже

мы покажем, как это делают в электротехнике.

12.5. Операторная схема замещения участка цепи при ненулевых

начальных условиях

На рис.12.6 показан участок цепи, в котором проходит ток, имеется источник напряжения e( t ). В момент t 0 происходит замыкание ключа в одной из ветвей. Надо найти ток в цепи после коммутации.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

239

i2(t)	i(t)						e(t)		t=0
i2(t)				+		-	e(t)	i3(t) K
								i3(t) K

a	R	b	L	m		d		f	k
a	R	b	L	m	C	d		f
i1(t)					C
			Рис.12.6
До коммутации при t			0	имеем:
iL 0	iL 0	iL 0 , uC 0					uC 0		UC 0 .

Для t 0 (послекоммутационный режим) запишем уравнение:

		di	1		t
uaf	e t iR L				i t dt UC 0	(12.16)
		dt		C
					0
Преобразуем уравнение (9.16) по Лапласу:

Uaf p

E p

pLI p

LiL 0

UC 0

(12.17)

Находим изображение тока:

Uaf

p LiL

(12.18)

П о л у ч и л и :

Закон Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС и начальные условия.

Здесь: LiL 0 – внутренний источник ЭДС, обусловленный началь-

ным запасом магнитной энергии в индуктивности при iL 0						0 .
	i(t)			I(p)	Li(0)
b	L	m	b	pL		m
	uL(t)			Ubm(p)
	uL(t)
		Рис.12.7
Индуктивность L с начальным током (рис.12.7) в операторной схеме
надо заменить операторным сопротивлением				pL и внутренним источни-
ком ЭДС LiL 0 , направленным согласно току I					p .

Переход к оригиналу напряжения на индуктивности надо делать с учетом внутреннего источника ЭДС:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3725 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
28.02.20242.81 Mб0Laboratornaya_rabota.docx
#
28.02.2024487.27 Кб0Mironenko_RGZ_1_TOE.docx
#
28.02.20243.19 Mб0Otvety_TOE.docx
#
28.02.2024137 Кб0VAFa_05_09.xlsx
#
28.02.20241.42 Mб1zadaniya-neti (1).pdf
#
28.02.20249.47 Mб1Алехин электротехника.pdf
#
28.02.20241.42 Mб0зад. 5.2 (1 часть).pdf
#
28.02.202414.57 Кб0Защита.docx
#
28.02.2024700.67 Кб0магнитные цепи.pdf
#
28.02.2024946.75 Кб0несинусоидальные цепи.docx
#
28.02.20243.68 Mб0практикум СФУ.pdf