Алехин электротехника
.pdf
200
Модель линии имеет на частоте f = 200 кГц следующие характеристические параметры: ZВ 1414Ом, λ 7,071м , β 0,889 . Графики пока-
зывают, что при разомкнутой линии (хх), нагрузке на индуктивность, емкость (а также при короткозамкнутой линии) минимумы напряжения равны нулю. Их называют узлами напряжения. Максимумы называют пучностями напряжения. Нули и максимумы напряжения чередуются и повторяются через полволны. Такое устойчивое распределение узлов и максимумов напряжения (и тока) называют режимом стоячих волн.
Рис.8.2. Графики распределения напряжения в линии при отсчете от конца (y=0) для следующих нагрузок: 1 – холостой ход, 2 – индуктивность XL=500 Ом, 3 – емкость XC=1000 Ом, 4 – резистор 707 Ом, 5 – резистор 1414 Ом = Zв, 6 – резистор 2828 Ом
При нагрузке на активное сопротивление, равное волновому сопротивлению ZВ (график 5), напряжение вдоль линии постоянно по амплитуде.
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
201
Этот наиболее благоприятный режим для передачи информации и энергии называют согласованным режимом или режимом бегущей волны.
При нагрузке на активное сопротивление, не равное волновому ZВ (графики 4, 6), в линии возникает режим смешанных волн. Этот режим ха-
рактеризуют коэффициентом бегущей волны Кбв Umin .
Umax
10.9. Согласование линии с нагрузкой
При сопротивлении нагрузки в конце линии Z2, равном волновому сопротивлению ZВ (режим согласованной нагрузки) в линии будет существовать только бегущая волна. Если Zн ZВ , то согласование нагрузки
осуществляется с помощью отрезка другой линии, включаемого между основной линией и нагрузкой.
Для случая линии без потерь при Zн Rн ZВ длина согласующего
отрезка линии равна четверти длины волны, и такой отрезок линии называется четвертьволновым трансформатором.
Волновое сопротивление четвертьволнового трансформатора ZВТР можно определить по формуле: ZВТР 
ZBRН .
10.10.Контрольные вопросы
1.В чем отличие цепей с распределенными параметрами от цепей с сосредоточенными параметрами?
2.Какими первичными параметрами характеризуются электрические линии передачи энергии?
3.Что такое однородная линия?
4.Запишите телеграфные уравнения однородной линии при отсчете от начала.
5.Запишите телеграфные уравнения однородной линии при отсчете от конца.
6.Запишите решение телеграфных уравнений однородной линии для гармонического сигнала при отсчете от конца линии.
7.Что такое характеристические параметры линии α, β,γ, ZВ и как их
вычислить через первичные параметры линии?
8. Как рассчитать характеристические параметры в линии без по-
терь?
9.Записать уравнения для напряжения и тока в линии без потерь при отсчете от конца.
10.Записать формулу для входного сопротивления в линии без по-
терь.
11.Какие режимы работы бывают в линии без потерь?
12.Какие достоинства имеет режим бегущей волны и как получить его в линии без потерь?
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
202
Глава 11. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
11.1. Определение установившегося и переходного процесса
Установившимся (стационарным) процессом называется начавшийся бесконечно давно процесс, при котором напряжения и токи в цепи остаются постоянными или изменяются по периодическому закону.
Стационарный процесс это математическая абстракция. Включения источников энергии, переключения в схемах нарушают стационарность и приводят к возникновению переходного процесса.
Переходным процессом называется неустановившийся, нестационарный процесс, возникший при переходе из одного режима работы к другому.
iL |
L |
|
|
|
|
|
|
|
iR |
iC |
|
E |
R1 |
C |
uc |
|
|||
|
R2 |
|
|
K |
t =0 t =0- |
t =0 |
t =0+ |
|
Рис. 11.1 |
|
|
|
|
|
Всякие изменения и переключения в схеме называют коммутацией. В схеме рис.11.1 в момент t 0 происходит коммутация (в данном случае замыкание ключа). Режим работы цепи изменяется и возникает переходный процесс.
Считается, что коммутация происходит мгновенно в момент вре-
мени t 0 . Принято обозначать (рис.
11.1):
t 0 - момент коммутации;
t 0 - момент времени, предшествующий коммутации;
t0 - момент времени, следующий сразу после коммутации.
Прим ер 1 1 . 1 .
Параметры цепи рис.11.1 следующие:
E 120 В, L |
10 мГн,С 68нФ, R1 R2 1кОм. Ключ замыкается |
в момент t |
0 . Качественно построить график изменения напряжения на |
конденсаторе. |
|
|
Р е ш е н и е |
До коммутации в цепи длительное время существует установившийся процесс, действует постоянный источник ЭДС E 120 В . Индуктивность для постоянного тока эквивалентна короткому замыканию, емкость
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
203
эквивалентна разрыву. Поэтому ток |
в цепи iL |
iR |
|
E |
|
60 мА , |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
R1 |
|
R2 |
|
напряжение на конденсаторе uc iR |
R1 60 В (рис.8.2). |
|
|
|
||
В момент коммутации замыкается резистор R2 , в цепи происходит переходной процесс от первого установившегося режима ко второму, уве-
личивается ток, конденсатор заряжается, напряжение uc ( t ) увеличивает- |
ся. |
После окончания переходного процесса в цепи будет новый устано- |
||||||||
вившийся |
процесс |
и |
напряжение |
на |
конденсаторе |
будет |
||
uc уст |
E |
120 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uc(t) |
Коммутация |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
120 В |
|
|
|
|
|
|
60 В |
|
|
|
|
|
|
Установившийся |
t=0 |
tуст |
t |
|
||
|
|
процесс |
Переходный |
|
|
|||
|
|
|
|
|
процесс |
|
||
|
|
|
|
|
процесс |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 11.2 |
|
|
|
|
|
11.2. Первый закон коммутации |
|
|||||
Рассмотрим ток в индуктивности (рис.8.1).
В момент t |
0 |
|
имеем iL ( 0 |
) |
E |
120 |
|
60 мА - ток |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
R1 |
R2 2 103 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в индуктивности до коммутации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем iL ( 0 |
) - ток в индуктивности сразу после коммутации и |
|||||||||||||
его связь с током i1( 0 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Напряжение |
самоиндукции |
не может |
равняться |
бесконечности: |
||||||||||
uL ( t ) |
d |
L |
diL |
|
!!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
при неизменной индуктивности |
diL |
|
. Значит, |
||||||||||
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ток в индуктивности не может меняться скачком.
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
204
Ф о р м у л и р о в к а п е р в о г о з а к о н а к о м м у т а ц и и :
Ток в индуктивности до коммутации равен току в индуктивности в начальный момент после коммутации:
iL ( 0 ) iL ( 0 ). |
(11.1) |
Если при коммутации изменяется индуктивность (рис.11.3), действу-
ет обобщенный первый закон коммутации постоянства потокосцепления:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=0 |
|
( 0 |
) |
( 0 |
). |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iL1( 0 ) L1 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 ) |
iL ( 0 )( L1 |
L2 ), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
iL(t) |
|
|
Рис. 11.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
L |
( 0 |
) |
|
iL1( 0 |
)L1 |
… |
(11.2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
L2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
В |
|
индуктивности |
|
|
|
накоплена |
|
|
магнитная |
энергия |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L i 2 |
( 0 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
WM ( 0 ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Энергия не может измениться мгновенно, |
так |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
как мощность |
всегда ограничена ( p( t ) |
|
|
|
dW |
|
). Но после коммута- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L i |
|
2 |
( 0 ) |
|
|
( L L )i2 |
( 0 )L 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
WM ( 0 |
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
L1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( L1 L2 )2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
L i2 |
|
( 0 ) |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
WM ( 0 ) |
|
WM ( 0 ). |
(11.3) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
При коммутации индуктивностей избыточная часть магнитной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
энергии выделяется в искре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.3. Второй закон коммутации |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
В цепи (рис.11.1) |
до коммутации в момент t 0 |
напряжение на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
емкости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC ( 0 |
) |
|
E R1 |
|
|
60 В . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Найдем напряжение на емкости сразу после коммутации uC ( 0 |
). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ток в емкости не может быть бесконечно большим: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iC ( t ) |
|
|
|
dq |
|
C |
|
duC |
|
|
!!! |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, напряжение на емкости не может меняться скачком.
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
205
Ф о р м ули р о в к а вто р о г о з а к о н а к о м м ута ц и и :
Напряжение на емкости до коммутации равно напряжению на емкости в начальный момент после коммутации:
uC ( 0 ) uC ( 0 ).
Если при коммутации изменяется емкость (рис.11.4), действует
обобщенный второй закон коммутации для постоянства зарядов:
R |
t=0 |
q( 0 ) q( 0 ). |
|
|
E |
uc1 |
|
uc2 |
q1( 0 ) q2 ( 0 ) |
q1( 0 ) q2( 0 ) |
|||
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
C2 |
|
q1( 0 ) |
uC1( 0 ) C1 , |
|
||
|
Рис. 11.4 |
|
|
q2 ( 0 |
) |
uC2 ( 0 |
) C2 , |
|
|
|
|
|
uC ( 0 |
) |
q1( 0 ) |
q2 ( 0 |
) |
|
|
|
|
C1 |
C2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
||
При коммутации емкости избыточная часть электрической энергии выделяется в искре.
Расчет переходных процессов основан на использовании первого и второго закона коммутации.
11.4.Начальные условия (НУ)
Врасчетах переходных процессов используют несколько видов начальных условий:
Независимые начальные условия - это значения токов через индуктивности и напряжений на емкостях, неизменяющиеся при коммутации и определяющие запас энергии в цепи (iL1 .....iLn , uC1 .....uCn ).
Зависимые начальные условия - это значения остальных токов и напряжений, которые могут изменяться при коммутации
( uL1 , ..iC1 , ...uR ...iR ...).
Докоммутационные НУ – это начальные условия при t |
0 . |
Послекоммутационные НУэто начальные условия при t |
0 . |
Нулевые начальные условия – это равные нулю независимые начальные условия.
На рис.11.5 показана индуктивность, в которой ток перед коммутацией равнялся нулю. В момент t 0 по первому закону коммутации ток в индуктивности также будет равен нулю. Следовательно, индуктивность в
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
|
|
|
|
206 |
|
|
|
|
|
|
|
нулевым начальным током iL ( 0 |
) в момент t |
0 |
эквивалентна холо- |
||||||||
стому ходу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эквивалентная |
|
|
Эквивалентная |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
схема |
|
|||
iL(0- )=iL(0+ )=0 |
схема |
|
uC(0- )=uC(0+ )=0 |
|
|
||||||
|
|
|
t=0+ |
|
|
C |
|
|
t=0+ |
|
|
|
|
|
X X |
|
a |
|
|
a |
|
|
b |
a |
L |
b |
a хх |
b |
|
b |
|
кз |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рис. 11.5 |
|
|
|
Рис. 11.6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис.11.6 показана емкость, на которой в момент t |
|
0 напряже- |
||||||||
ние равно нулю. По второму закону коммутации в момент t |
0 |
напря- |
|||||||||
жение не может измениться и останется равным нулю (uC ( 0 |
) |
0. Если |
|||||||||
между точками a и b напряжение равно нулю, то эти точки можно соединить проводником. Следовательно, емкость с нулевым начальным напря-
жением uC ( 0 |
) |
0 в момент t |
0 |
|
эквивалентна короткому замыка- |
|||||||||||||
нию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ненулевые |
|
начальные условия - |
это |
неравные |
нулю |
независимые |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальные условия. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Эквивалентная |
|
|
|
На рис.11.7 |
показана индук- |
||||||||
iL(0- )=iL(0+ )=0 |
|
|
схема |
|
|
тивность с ненулевым начальным |
||||||||||||
|
|
t=0+ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
током iL ( 0 ) |
iL ( 0 |
) 0. |
В |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
L |
|
b |
|
|
a |
b |
|
момент |
t |
0 |
|
такая |
индуктив- |
||||
|
|
|
Рис. 11.7 |
J=iL(0+) |
|
|
ность |
|
эквивалентна |
идеальному |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
источнику тока iL ( 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Эквивалентная |
|
На |
рис.11.8 |
показана |
емкость |
с |
|||||||||
|
|
|
ненулевым |
|
начальным |
|
напряжением |
|||||||||||
uC(0- )=uC(0+ )=0 |
|
схема |
|
|
||||||||||||||
|
uC ( 0 |
) |
uC ( 0 |
) |
0 . |
|
В |
момент |
||||||||||
i(0-) |
|
|
|
|
t =0+ |
|
||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
t |
0 |
такая |
емкость |
эквивалентна иде- |
||||||||
|
+ |
- |
|
|
|
|
||||||||||||
a |
b |
a |
|
b |
альному |
|
источнику |
|
напряжения |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
E=uC(0+) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
E |
uC ( 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Рис. 11.8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Эквивалентные схемы индуктивности и емкости можно использовать |
|||||||||||||||||
для расчета зависимых НУ при |
t |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11.5. Классический метод расчета переходного процесса
На рис.11.9 показана цепь, содержащая резистор R , индуктивность L и емкость C . Такую цепь мы будем называть RLC - цепь. В момент
t 0 ключ K подключает к цепи источник напряжения e( t ).
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
207
K |
t=0 |
L |
|
R |
i(t) |
|
|
|
e(t) |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Составим для послекоммутационной схемы (t |
0) |
уравнение по |
||||||||||||||||||||||
второму закону Кирхгофа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
iR |
L |
di |
|
|
|
1 |
|
|
idt |
|
|
e( t ). |
|
|
(11.4) |
|||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В уравнении (11.4) |
i( t ) - полный переходной ток. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Когда после |
коммутации |
|
|
|
пройдет |
|
достаточно |
много времени |
||||||||||||||||
( t |
), |
в цепи |
установится установившийся, |
принужденный режим |
|||||||||||||||||||||
(например, гармонический). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В принужденном режиме действует уравнение: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
iпр R |
L |
|
diпр |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
iпрdt |
e( t ) |
(11.5). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
C |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Введем |
понятие |
|
свободного |
|
тока. |
Обозначим |
||||||||||||||||||
iсвоб ( t ) |
i( t ) iпр ( t ) - свободный ток. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Из (11.4) вычитаем (11.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( i iпр )R L |
d( i |
|
|
|
iпр ) |
|
|
|
|
1 |
( i iпр )dt |
e( t ) e( t ), |
|||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.6) |
|
|
|
|
iсв R |
L |
|
diсв |
|
|
|
1 |
|
|
iсвdt 0, |
|
(11.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
или |
|
|
URсв |
|
|
|
ULсв |
|
UCсв |
0 . |
|
(11.8) |
||||||||||||
По уравнениям (11.7), (11.5), (11.4) можно построить соответствующие схемы (рис.11.10а, б, в), которые показываю следующее:
Полный переходный процесс складывается из принужденного процесса, начавшегося бесконечно давно, и затухающего свободного процесса. Свободный процесс компенсирует неравенство энергии полной и принужденной схемы в момент t 0 . Свободный процесс обязательно затухает, так как в схеме нет источников.
Полный переходной процесс всегда есть сумма свободного процесса и принужденного.
iL ( t ) iLсв ( t ) iLпр ( t ) , uC ( t ) uCсв ( t ) uCпр ( t ),
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
iсв(t)
R L
C
а) Свободный процесс
208
uR ( t ) uRсв ( t ) uRпр ( t ) .
iпр(t)
|
|
|
|
|
|
L |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
e(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
б) |
Принужденный |
|||||||
|
|
|
|
процесс |
||||
|
|
|
|
Рис. 11.10 |
||||
(11.9)
i(t)
R L
e(t)
C
t>0
Полный в) переходной
процесс
Принужденный процесс это частное решение неоднородного дифференциального уравнения (11.5) при t . Для постоянного или гармонического источника энергии принужденный процесс рассчитывают методами расчета цепей постоянного и переменного тока.
Свободный процесс это общее решение однородного дифференциального уравнения (11.7):
Riсв ( t ) L |
diсв |
1 |
iсвdt 0 . |
|
dt |
|
C |
||
|
|
|
||
Решение для свободного тока имеет вид:
i ( t ) |
A e p1t |
A e p2t .... |
A e pnt , |
(11.10) |
св |
1 |
2 |
n |
|
где: p1, p2 …pn - некратные (простые) корни характеристического |
||||
уравнения; |
|
|
|
|
A1…An - постоянные интегрирования, определяемые |
в послеком- |
|||
мутационной схеме с учетом независимых НУ. |
|
|
||
11.6. Способы составления характеристического уравнения
|
|
|
П е р в ы й с п о с о б |
|
|||
В дифференциальном уравнении для свободной составляющей (11.7) |
|||||||
заменяем |
d |
p; |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
p |
|
|
|
|
|
|
Получаем характеристическое уравнение: |
|
||||
|
|
|
R pL |
1 |
0. |
(11.11) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
pC |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив характеристическое уравнение (8.11), получим корни p1 и
p2 .
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
209
В т о р о й с п о с о б
В схеме после коммутации разрываем любую ветвь цепи и находим
Zвх ( j ).
R |
L |
Zвх ( j ) R |
j L |
1 |
. |
||
j C |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
e(t ) |
C |
|
|
|
|
||
|
Заменяем |
j на p, получаем: |
|||||
|
Zвх( j ) |
R pL |
1 |
0 |
(11.12) |
||
|
pC |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 11.11 |
- характеристическое |
уравнение, |
|||||
|
|
||||||
совпадающее с (11.11).
Преобразуем характеристическое уравнение к квадратному уравне-
нию:
p2LC RCp 1 0. |
(11.13) |
Число корней характеристического уравнения равно его степени. Степень характеристического уравнения равна числу независимых начальных условий в послекоммутационной схеме и определяет порядок цепи. Чем выше порядок, тем сложнее расчет переходного процесса. Порядок цепи равен числу инерционных накопительных элементов (индуктивностей и емкостей) после полного упрощения цепи.
11.7. Определение постоянных интегрирования
Для цепи второго порядка имеем:
i ( t ) |
A e p1t |
A e p2t . |
(11.14) |
св |
1 |
2 |
|
Известны p1 и p2. Требуется найти две неизвестных постоянных интегрирования А1 и А2.
|
Составляем два уравнения для момента времени t |
0 . |
|||||||||||
|
Первое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i ( 0 |
) A e p1( 0 |
) |
A e p2 ( 0 ) |
A |
A |
i( 0 ) |
i ( 0 ).(11.15) |
||||||
св |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
пр |
|
Второе уравнение получим, дифференцируя (8.14): |
|
|||||||||||
|
|
|
diсв |
( t ) |
|
p t |
|
p t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A p e 1 |
A p e 2 |
. |
(11.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dt |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть t 0 |
. Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
diсв ( t ) |
|
A1 p1 |
A2 p2 |
|
(11.17). |
||||||
|
|
|
|
dt |
|
t 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решаем (11.15) и (11.17) и находим A1 и A2 ..
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016