Алехин электротехника

5.13. Расчёт напряжения и токов при параллельном

соединении R,L,C

В

схеме

рис.5.23

задано

входное

напряжение

u( t )

Um sin( t

U ) и параметры параллельно соединенных эле-

Im i

a

ImR

ImL

I

mC

U

i

iL

iC

m

R

R

jωL

-j1/ωC

I

m

I

mR

ImL

I

mC .

(5.64)

Выразим комплексные амплитуды токов через комплексную ампли-

туду напряжения

U

m

U

m

e j U

и комплексные сопротивления ветвей:

I

U m

U

m

U

m

U

m

U

Y

.

(5.65)

m

m

R

j L

1

Zвх

j C

+j

ImC

ImL- ImC

φ

ImR U +1

Y

1

1

j

1

j C

1

j(

1

C ) g jb ..(5.66)

Z вх

R

L

R

L

В этом выражении:

g =

1

- активная проводимость цепи;

R

b

b

- b

1

- C

- реактивная проводимость (может быть по-

L

C

L

ложительной, отрицательной и равной нулю);

b

1

- реактивная проводимость индуктивности;

L

ωL

bC

C - реактивная проводимость емкости;

Y

ye-j - комплексная проводимость;

y

g 2

b2

- полная проводимость, равная модулю комплексной

плексные проводимости ветвей:

Y вх

Y1

Y2

Y3 .

5.14. Переход от сопротивления к проводимости

Пусть задано комплексное сопротивление ветви

Z R jX . Его

аргумент Z

arctg

X

.

R

Найдем проводимость ветви:

Y

1

1

R - jX

R - jX

Z

R jX

(R

jX)(R - jX)

R2

X

2

R

X

j

;

- j

g - jb ye

Y

R2

X 2

R2

X 2

Здесь:

активная проводимость: g

R

;

R2

X 2

реактивная проводимость: b

X

;

R2

X 2

аргумент комплексной проводимости:

arctg

b

arctg

X

.

Z

Y

g

R

компенсируют друг друга (b

bL

bC 0 ), входная проводимость цепи

становится чисто активной Y вх

Y рез

g рез

1

и входной ток

Rрез

совпадает по фазе с напряжением.

На частоте параллельного резонанса 0

выполняется условие:

b bL

bC

1

0C 0 ,

(5.67)

0L

и, следовательно, резонансная частота

0

1

.

(5.68)

LC

Im

Umрез

Imрез

Imрез Rрез

(5.69)

Yр

ImL

ImC

В цепи

рис.5.25 без потерь ( g

0 ) при па-

Um

jωL

раллельном резонансе резонансная проводимость

-j1/ωC

Yр

j( bL

- bC ) 0,

а входное сопротивление

в цепи без потерь при параллельном резонансе

Рис.5.25

становится бесконечно большим:

jX L (

jXC )

jX L ( jXC )

Zвх

jX L

jXC

0

85

Im1

Im2

Im3

Im4

0

В то р о й за к о н К и р х г о ф а :

Im1

В

символической схеме замещения

Z1

(рис.5.29) второй закон Кирхгофа выполня-

ется для комплексных амплитуд токов и

Im4

Im2

напряжений

и комплексных сопротивле-

Z4

Z2

ний:

Em1

обход

Im1Z1

Im2 Z 2

Im3 Z 3

Im4Z4

Em2

Z3

E1

E2

(5.71)

Алгебраическая сумма комплексных

Рис.5.29

Im3

амплитуд падений

напряжений в любом

замкнутом контуре равна алгебраической

сумме комплексных амплитуд ЭДС, действующих в контуре. Со знаком

плюс берут напряжения и ЭДС, совпадающие с направлением обхода кон-

тура.

Вывод: Поскольку основные законы в символической форме выпол-

няются все преобразования и метода расчета гармонического тока в сим-

волической форме аналогичны методам расчёта цепей постоянного тока

при условии замены:

E Em, J Jm ,U Um ,R Z R jX , G Y g jb

5.17. Порядок расчета цепи символическим методом

В

цепи рис.5.30 действуют два

источника

сигналов

e1( t ) Em1 sin( t

E

) и e2 ( t )

Em2 cos( t

E

) . Расчет цепи

1

2

надо выполнять в такой последовательно-

i(t)

R1

L1

C1

сти:

1. Приводим запись всех источни-

ков сигнала к функции синуса, используя

e (t)

e2(t)

формулу:

1

cos( t

E

)

sin( t

E

900 ).

R2

L2

C2

2

2

2. Определяем

комплексные амплитуды

Рис.5.30

напряжений:

E

E e

j

E , E

E

e

j(

E 2

900

)

.

m1

m1

m2

m2

Im1

Z1

3. Находим комплексные сопротивления:

Em1

E

m2

u( t )

Um sin t .

Найдем комплексную амплитуду:

U

m U me j0o

Um .

Входное сопротивление двухполюсника:

Ze j , Z

X

.

Z R jX

R2

X 2 ,

arctg

R

Находим ток: Im

U

m

Ime

j

Um

e

j

.

Ze j

Z

Мгновенное значение тока равно: i( t )

Im sin( t

).

Мгновенная мощность:

p( t ) u( t ) i( t )

Um sin t

Im sin( t

)

1

Um Im cos

cos( 2 t

) .

(5.73)

2

Pср

0

-

-

t

Рис.5.34

Мгновенная мощность изменяется с частотой

2 и может прини-

В пассивном двухполюснике

аргумент

входного сопротивления

arctg

X

лежит в пределах

(

). Следовательно,

R

cos

2

2

0

1 и активная мощность

P

0 . Активная мощность будет

P UI I 2R .

(5.76)

I

2

R

Im2 R

.

(5.77)

2

I

Im

.

(5.78)

2

U

U

m

, E

E

m

.

(5.79)

2

2

I

I

m

, U

U

m

Em

, E

.

(5.80)

2

2

2

В электрической сети и электрических приборах указывают номи-

нальные действующие значения напряжений и токов. Так, для

стандарт-

ного действующего напряжения в сети U

220 В амплитудное значение

будет равно Um 220 2

311В . Действующие значения напряжений

ление выражают так:

Z

U

.

(5.81)

I

i( t ) I 2 sin( t

)

Im sin( t

) . (5.82)