книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин
.pdfПродолжение табл. 9
е° |
tg?6 r = Cх, * |
|
* |
Р = |
+ Р* |
sin р |
|
хп = In — |
W |
/* |
|
|
|
|
|
|
|
COS Р |
|
|
_ sm |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
160 |
1,4418 |
|
0,96439 4- те |
0,90989 |
—0,78943 |
—0,61384 |
—0,0922 |
|
0,9120 |
|
170 |
1,6111 |
|
1,01531 4- " |
0,97331 |
-0,82675 |
—0,56257 |
-0,1115 |
|
0,8945 |
|
180 |
1,8932 |
|
1,08484 4- тс |
|
1,13224 |
—0,90536 |
—0,42463 |
-0,1658 |
|
0,8472 |
190 |
1,8830 |
|
1,08260 + те |
|
1,26980 |
—0,95504 |
—0,29647 |
—0,0811 |
|
0,9222 |
200 |
14,0786 |
|
1,49988 4- те |
|
1,66838 |
—0,99524 |
—0,09743 |
0,0896 |
|
1,0937 |
210 |
- 0,3742 |
|
—0,35807 4- 2те |
—0,31067 |
—0,30570 |
0,95213 |
0,1308 |
|
1,1397 |
|
220 |
0,3774 |
|
0,36088 |
|
0,37148 |
0,36300 |
0,93179 |
• 0,0913 |
|
1,0955 |
230 |
0,5676 |
|
0,51626 |
|
0,52916 |
0,50481 |
0,86323 |
0,1030 |
|
1,1084 |
240 |
0,3607 |
|
0,34618 |
|
0,32728 |
0,32147 |
0,94692 |
0,1149 |
|
1,1218 |
250 |
0,1355 |
|
0,13468 |
|
0,10718 |
0,10698 |
0,99426 |
0,0965 |
|
1,1013 |
260 |
—0,1121 |
|
—0,11163 4- 2те |
—0,12243 |
—0,12213 |
0,99252 |
0,0972 |
|
1,1020 |
|
270 |
—0,3992 |
|
—0,37982 -г 2 те |
—0,38792 |
—0,37827 |
0,92570 |
0,1003 |
|
1,1056 |
|
280 |
—0,7154 |
|
—0,62099 4- 2те |
—0,62019 |
—0,58119 |
0,81377 |
0,0862 |
|
1,0899 |
|
290 |
—1,0795 |
|
—0,82361 4- 2те |
—0,80891 |
—0,72354 |
0,69029 |
0,0843 |
|
1,0879 |
|
300 |
—1,4658 |
|
—0,97210 4- 2те |
—0,96840 |
—0,82398 |
0,56662 |
0,0873 |
|
1,0912 |
|
310 |
— 1,3277 • |
|
-0,92526 4- 2те |
—0,93836 |
—0,80659 |
0,59111 |
0,0730 |
|
1,0757 |
|
320 |
0,0559 |
|
0,05584 |
|
0,03724 |
0,03723 |
0,99931 |
0,0661 |
|
1,0683 |
330 |
8,6516 |
|
1,45572 |
|
1,40912 |
0,98696 |
0,16097 |
0,0716 |
|
1,0742 |
340 |
—3,1733 |
! |
—1,26552 4-те |
—1,36222 |
0,97833 |
—0,20706 |
0,0372 |
|
1,0380 |
|
350 |
—1,8688 |
1 |
—1,07947 4- те |
— 1,17927 |
0,92432 |
—0,38160 |
—0,0042 |
|
0,9583 |
|
| |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 9 |
|
|
s' |
S |
W |
х' |
|
у' |
X |
У |
|
ь° |
"Г |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
8 |
9 |
10 |
и |
1 |
12 |
13 |
14 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,4360 |
0,044 |
—2,196 |
—0,1826 |
! |
0,3959 |
0 |
0 |
|
10 |
0,4913 |
0,064 |
—2,274 |
—0,2364 |
|
0,4307 |
—0,037 |
0,072 |
|
20 |
0,5533 |
0,087 |
—2,236 |
—0,2924 |
|
0,4697 |
—0,083 |
0,151 |
|
30 |
0,5819 |
0,112 |
—2,276 |
—0,3214 |
|
0,4850 |
-0,136 |
0,234 |
|
40 |
0,6046 |
0,139 |
—2,304 |
—0,3754 |
|
0,4739 |
—0,197 |
0,318 |
|
50 |
0,6486 |
0,167 |
—2,255 |
—0,4325 |
|
0,4834 |
-0,268 |
0,401 |
|
60 |
0,6758 |
0,196 |
-2,305 |
—0,4908 |
|
0,4645 |
—0,348 |
0,484 |
|
70 |
0,7378 |
0,227 |
—2,286 |
—0,6042 |
|
0,4234 |
—0,444 |
0,561 |
1 |
80 |
0,8077 |
0,262 |
—2,248 |
—0,7208 |
|
0,3645 |
—0,559 |
0,630 |
90 |
0,8174 |
0,298 |
—2,286 |
—0,7889 |
|
0,2140 |
—0,691 |
0,681 |
|
|
|
|
|||||||
|
100 |
0,7997 |
0,333 |
—2,245 |
—0,7993 |
|
0,0237 |
-0,830 |
0,701 |
|
по |
0,7353 |
0,367 |
—2,228 |
—0,7251 |
|
—0,1220 |
—0,963 |
0,693 |
|
120 |
0,6500 |
0,398 |
—2,262 |
—0,6073 |
|
—0,2318 |
—1,079 |
0,662 |
|
130 |
0,6018 |
0,426 |
—2,209 |
—0,5152 |
|
—0,3110 |
-1,177 |
0,615 |
|
140 |
0,5539 |
0,452 |
—2,193 |
—0,4408 |
|
-0,3354 |
— 1,260 |
0,558 |
|
150 |
0,4974 |
0,475 |
—2,226 |
—0,3504 |
|
—0,3530 |
— 1,329 |
0,498 |
|
160 |
0,4699 |
0,496 |
—2,107 |
—0,2884 |
|
—0,3709 |
— 1,385 |
0,435 |
|
170 |
0,4100 |
0,516 |
—2,078 |
—0,2306 |
|
—0,3390 |
— 1,430 |
0,373 |
ОС
|
|
s' |
S |
|
в° |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
9 |
|
180 |
0,3345 |
0,532 |
|
190 |
0,2654 |
0,546 |
|
200 |
0,1374 |
0,555 |
|
210 |
0,1630 |
0,561 |
|
220 |
0,2842 |
0,571 |
|
230 |
0,6395 |
0,592 |
|
240 |
1,0563 |
0,629 |
|
250 |
1,3676 |
0,683 |
|
260 |
1,5913 |
0,749 |
|
270 |
1,5987 |
0,819 |
|
280 |
1,3530 |
0,885 |
|
290 |
1,0070 |
0,937 |
|
300 |
0,6123 |
0,973 |
1 |
310 |
0,2646 |
0,992 |
|
320 |
0,0784 |
0 |
|
330 |
0,1450 |
0,005 |
, |
340 |
0,2352 |
0,013 |
: |
350 |
0,3470 |
0,026 |
i |
2 |
|
|
1g |
1 |
S |
|
N |
|
10
—2,050
—1,838
—1,870
0,065
1,107
1,024
0,967
1,008
1,040
1,098
1,207
1,321
1,525
1,973
1,739
—1,426
—2,142
—2,172
|
|
Продолжение табл. 9 |
|
х' |
у' |
X |
У |
11 |
12 |
13 |
14 |
—0,1420 |
—0,3028 |
— 1,463 |
0,317 |
—0,0787 |
—0,2535 |
— 1,482 |
0,268 |
0,0134 |
—0,1367 |
— 1,488 |
0,234 |
0,1552 |
—0,0498 |
— 1,473 |
0,218 |
0,2648 |
0,1032 |
— 1,437 |
0,223 |
0,5520 |
0,3228 |
— 1,365 |
0,260 |
1,0002 |
0,3396 |
— 1,230 |
0,318 |
1,3597 |
0,1463 |
— 1,024 |
0,360 |
1,5794 |
—0,1943 |
-0,767 |
0,356 |
1,4799 |
—0,6047 |
—0,500 |
0,286 |
1,1010 |
—0,7864 |
—0,275 |
0,165 |
0,6951 |
—0,7286 |
-0,118 |
0,033 |
0,3469 |
—0,5046 |
—0,027 |
—0,075 |
0,1564 |
—0,2134 |
0,016 |
—0,138 |
0,0783 |
0,0029 |
0,037 |
—0,156 |
0,0233 |
0,1431 |
0,046 |
—0,143 |
—0,0487 |
0,2301 |
0,043 |
—0,111 |
—0,1324 |
0,3207 |
0,028 |
—0,063 |
0,0013 |
—0,0007 |
|
|
Вычисляется распределение скоростей и находятся координаты профиля. Для определения координат профиля сначала находится
угол р * (s) между касательной к профилю исходной решетки и осью х
по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
о* |
i |
40 |
|
|
|
р* |
== arctg-^ . |
|
|
|
|
|
|
dx * |
|
|
|
|
|
~d& |
зависимости от знаков |
Нормировка |
угла р осуществляется в |
||||
у' |
и х . Угол |
р находится в первом квадрате при положительных |
|||
х', |
у', во втором при х' < 0 и у' >0 и т. д. |
Вычисление р* и норми |
|||
ровка приведены в столбце 2 табл. 9. |
В этой же таблице даны резуль |
||||
таты вычисления координат профиля и распределения скоростей. Координаты профиля, вычисленные интегрированием выражений
(71) по |
правилу трапеций, приведены в столбцах 13 и 14 табл. 9. |
|||||||||||
Значения s' |
(0) |
и |
р (6) вычислены с учетом функции погрешностей |
|||||||||
по |
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
_ |
s'n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d® |
— |
n |
d& ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi = (pn- ;) + p\ |
|
|||
где |
s |
, * |
= |
ds* |
r. |
* |
являются точными значениями для исходной |
|||||
|
|
|
ир |
|
||||||||
решетки (см. |
столбец 5 табл. 4, столбец 2 табл. |
9). Результаты вычис |
||||||||||
лений s' |
и р |
приведены в столбцах 3 и 8 табл. |
9. Все расчеты выпол |
|||||||||
нены с контролем. Не поддающиеся контролю вычисления дубли рованы. Окончательной оценкой правильности расчета является условие замкнутости профиля:
35 |
35 |
ЕЙИ 2(М=о- |
|
п=0 |
п=0 |
Значения этих сумм, |
указанные внизу столбцов 11 и 12 табл. 9 |
в соответствии с принятой в расчете степенью точности, мало отли чаются от нуля. Вычисления могут вестись для аналогичных расче тов с четырьмя знаками после запятой.
Распределение скоростей для улучшенной решетки показано штрих-пунктирной линией на фиг. 31. Полученное распределение не имеет заметной диффузорности на выпуклой стороне профиля и является вполне удовлетворительным. Профиль улучшенной решетки показан на фиг. 30.
ГЛАВА III
РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РЕШЕТКИ ПРОФИЛЕЙ (ПРЯМАЯ ЗАДАЧА)
13. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Задачу обтекания заданной рещетки из тонких слабоизогнутых профилей можно считать в настоящее время полностью решенной.
Эффективное решение этой задачи как в случае единичного профиля,
так и |
в случае решетки профилей дано Л. И. Седовым |
[6]. |
||||||||||||
|
Для решеток небольшой густоты приближенное решение полу |
|||||||||||||
чено Н. Е. Кочиным [9]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Численный метод расчета обтекания решетки из дужек окруж |
|||||||||||||
ности |
предложен И. Н. |
Вознесенским |
[3211. Задача |
приведена |
||||||||||
к |
следующему |
интегральному |
уравнению |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+т |
|
|
|
(ч — У) — cos |
у (е — х)] do = С, |
|||||||
|
|
J |
т (я) In [ch |
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
фо»—функция тока |
невозмущенного |
потока; |
|
|
|||||||||
|
7 (о) — плотность |
вихрей, |
распределенных |
на |
дужках; |
|||||||||
|
|
С — постоянная |
величина, |
соответствующая |
значению функ |
|||||||||
|
К |
ции тока на дужке. |
может |
быть |
приведена |
и задача |
||||||||
об |
аналогичному |
уравнению |
||||||||||||
обтекании |
решетки из |
телесных профилей |
[331. |
на |
решении |
|||||||||
|
Метод расчета |
обтекания |
решеток, |
основанный |
||||||||||
интегрального уравнения для односвязной области, получаемой путем предварительного конформного отображения решетчатой
области, предложен В. Траупелем 1341.
Приближенный метод расчета произвольной решетки профилей малой толщины и небольшой вогнутости, заключающийся в задании
системы источников, стоков и вихрей, указан Г. |
Шлихтингом |
1351. |
1 Разработка практического метода выполнена В. Ф. |
Некиным. Этот |
метод, |
нашедший широкое применение при проектировании пропеллерных насосов, носит название метода Вознесенского — Пекина.
SG
Остановимся на изложении развитого автором метода расчета решеток произвольных профилей, сводящегося к решению инте
грального уравнения Фредгольма 2-го рода.
Рассмотрим обтекание решетки плоско-параллельным |
потоком |
|
(фиг. 32). Для определения сопряженной |
скорости в точке г„, |
|
находящейся вне контура профиля, может |
быть, как |
известно, |
применена обобщенная формула Коши |
|
|
w (z0) = w„e~‘— -L j цу (Q ctg |
(С — z0) dC |
(I) |
Фиг. 32. Схема плоской решетки
Устремляя точку z0 к точке z профиля, в которой касательная к контуру профиля непрерывна, получаем следующее предельное
выражение для |
w (z): |
|
|
|
|
|
|
|
w (z) = |
---- ( w (C) ctg |
(C — z) dC |
|
(2) |
||
|
|
|
ll V |
|
I |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
Из условия обтекаемости профиля |
находим |
|
|
||||
|
|
|
w(Q = | а, (С) | e~ir, |
|
|
||
где |
|ш (С) | = |/ |
wx2 |
w2 — величина |
|
скорости |
на |
профиле |
|
в |
точке |
С; |
|
|
|
|
|
р* —угол между касательной в точке С с осью ох. |
||||||
Для элемента контура d£ можем написать |
|
|
|||||
|
|
|
dC = daA |
|
|
|
|
Здесь р — угол |
между касательной |
т, |
имеющей |
положительное |
|||
направление х, и |
осью |
ох (фиг. 32). |
|
|
|
|
|
1 Поворот ориентированной в положительном направлении касательной к век |
|||||||
тору |
внутренней нормали осуществляется против |
хода часовой стрелки. |
|||||
87
Таким образом, имеем
w(l)dl = |u>(C)|e'(&~ ’)da.
Между критическими точками А и В разность углов р — р * на выпук
лой стороне профиля равна - и на вогнутой стороне — нулю. Обоз начим через и (s) алгебраическое значение скорости, т. е.
u(s) = | ьу (С) | cos (Р — р*). |
|
(3) |
|
Подставляя выражение (3) в равенство (2), получим |
|
|
|
и (s) = 2w„e |
---- — lu(a)ctg— (С — z)da. |
|
|
Вещественная и мнимая части последнего выражения имеют вид: |
|||
u(s) = гаУеоГ-^-созр», J- sin «,! + I u(a)-~da; |
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
где |
|
|
|
К--- — |
th (i) — y) |
|
|
-Larctg |
|
(6) |
|
7C |
tg^U-x) |
|
|
|
|
|
|
7? = In j/" ^ch2y-(Tj- y)— cos^p-(£ — x)] |
; |
|
|
dx |
= cos |
a |
-г- |
p; |
|
ds |
1 |
|
dy |
■ |
и |
r r |
, ■ |
, • |
-/- = sin |
В; |
C = 5 |
4- /ц; z = x |
ty. |
|
ds |
' |
|
|
ii’ |
in |
Соотношение |
(4) представляет собой интегральное уравнение |
|
с непрерывным |
ядром в точке х = |
у — ц. |
Скорость обтекания в каждой точке на профиле, а также зна чение циркуляции Г могут быть найдены из этого интегрального
уравнения, если известны на контуре профиля производные -~
иdy и задано условие о равенстве нулю скорости на выходной
кромке \ Интегральное уравнение (4), как показал И. В. Сухаревский
[36], |
может быть преобразовано таким образом, чтобы |
значение |
А = 1 |
не являлось его характеристическим числом. |
В работе |
И. В. Сухаревского указано решение уравнения (4) методом после довательных приближений.
Вывод сингулярного интегрального уравнения (5), основанный на рассмотрении распределяемых на контуре профиля особенностей для случая произвольной решетки профилей дан Н. Н. Поляховым.
1 Предполагается, |
что выходная кромка является скругленной или угловой |
с отличным от нуля |
углом. |
88
Задача об обтекании произвольной решетки профилей может быть приведена к интегральному уравнению с непрерывным ядром, неизвестной функцией которого является потенциал скорости [37].
Проинтегрируем выражение (1) по переменной z0. Учитывая при этом равенство (3), получим следующее выражение для характе
ристической функции
X (z0) = wxe ‘P”z0 + ^7 J « (°) bg sin ~ (C — z0) dC |
|
||
|
|
L |
|
Отделив вещественную |
часть, |
будем иметь |
|
? (х0, у0) = ьУоо (х0 cos |
+ Уо sin «) + -^- j |
(7) |
|
где |
|
|
|
J |
th |
(7] — (/0) |
|
Но = —arctg---- -------------; и (a) d= = d<?.
tg— а-хо)
Интеграл в правой части соотношения (7) вычисляем по частям. Получим
<Р (*о> Уо) = (*о cos Р» + Уо sin М 4- [<p(D — <р (0)] 0ОВ —
— 2т |
I ’ ' ’ ds |
'(8)' |
|
L |
|
В равенстве (8) обозначено |
|
|
j |
th |
(ув — уй) |
|
tg — (хв — х0) |
|
где хв, ув — координаты |
выходной |
кромки профиля. |
Устремим точку х0, у0 на контур профиля в точку х, у. При этом предполагаем, что касательная к контуру в точке х, у изменяется
непрерывно. В этом случаем можем написать следующее значение для предела:
lirn f <р (а) |
da z= — -гсср (s) + 1 |
<р (а) ~ da. |
|
|
x„->oj ‘da |
J |
da |
|
|
Уо~*0 l |
|
L |
|
|
Соотношение (8) при |
этом |
примет вид |
|
|
<р (х, у) = 2щ«, (х cos о= |
+ у sin £«,) + — 0В — I <р (а) |
da, (9) |
||
где функция Л определяется формулой |
L |
|
||
(6), |
|
|||
|
|
Г = <р (L) — ® (0), |
|
|
0В |
th-г- (Ув~ У) |
|
||
arctg-----1. |
|
|||
tg — (хв — X)
89
В случае одиночного профиля функция
0i = arctg^ZT
представляет собой угол между осью ох и отрезком, соединяющим
точку 5, -л и х, у (фиг. 33).
Выражение (9) есть интегральное уравнение Фредгольма 2-го
рода с непрерывным ядром. |
|
|
уравнения |
(9), получим |
|||
Вычисляя предельное |
значение ядра |
||||||
dK _ |
1 |
rd2# |
dx |
_______ dy_\ = |
1 |
' |
|
ds |
2iz |
[ ds2 |
ds |
ds2 |
ds J |
2тсг |
|
Фиг. 33. К определению угла Oi.
В угловой точке с внутренним примет вид
где 1/г—кривизна контура в точке а = s.
Функция 9 |
(a, |
s) |
везде |
не |
||
прерывна |
за |
исключением |
||||
точки |
а |
-- s, |
где |
она имеет |
||
скачок, равный тс, т. е. |
|
|||||
8 (s, s — 0)—0 (s, |
s |
]-0) = тс. |
(10) |
|||
Можно показать, что число |
||||||
л = —1 |
не является собствен |
|||||
ным числом уравнения (10) |
и, |
|||||
следовательно, |
|
решение |
его |
|||
является |
единственным. |
|
||||
углом, |
равным |
3, |
уравнение (9) |
|||
? (s) — 2W°° (% cos р«, + у sii ш 4-0B-f?(’)^^- L
Для определения входящих в уравнение (9) трех неизвестных постоянных величин (щ», рте и Г) имеем следующие формулы:
ayjSin pj = ijy2sin р2 = wx sin р»;
------ z— = ctg p, — ctg p, |
||
tw^ sin |
& rl |
® rz |
и условие о сходе потока |
с выходной |
кромки. Последнее |
(11)
(12)
условие
в случае угловой кромки, в соответствии с постулатом Жуковского— Чаплыгина, имеет вид
Отсчет дуги s ведется от угловой кромки.
Для скругленной выходной кромки величина циркуляции опре деляется из условия (1) гл. 1.
Уравнением (9), формулами (И), (12) и условием о сходе потока выходной кромки задача об обтекании решетки идеальной несжи
маемой жидкостью полностью сформулирована.
90
Применим для |
решения |
интегрального уравнения (9) метод |
Н. Н. Боголюбова |
и Н. М. |
Крылова, позволяющий приближенно |
свести задачу к т алгебраическим уравнениям при разбивке контура на 2 т частей.
Заменим интеграл в правой части уравнения (9) суммой из п интег ралов, т. е.
п
(И)
Так как потенциал скорости на профиле изменяется везде, за исключением малых окрестностей критических точек, монотонно,
то равенство (14) можно представить сле дующим образом:
2 I'?(a) dK = 2^—1 1^-=
Im т=< Im
п
=У, ?2m—1 (Kim — Kim—l).
/71=1
Таким образом, уравнение (9) аппрок симируется следующей системой из п алгеб раических линейных уравнений при раз бивке контура профиля на 2л частей (фиг. 34)
+У. '■?/■ (Ki, /4-1 — Ki, /-1) =
(/)
=2^00 (xt cos poo -j- у-l sin poo) -j- VKi, В
(i= 1, |
3, |
|
2/i — 1; \ |
|
(15) |
|
||
|
1- |
3, |
|
2л — 1J |
|
|
||
Значения потенциалов <pn <p3, |
|
. . . , |
<p2n-i |
|
||||
взяты в серединах интервалов 1т, |
т. е. в точ |
Фиг. 34. Разбивка кон |
||||||
ках 1,3, |
. . . |
, |
2п — 1. При |
вычислении |
||||
функции |
Ki. j±i |
охватываются |
|
все |
точки |
тура профиля на расчет |
||
, |
ные интервалы. |
|||||||
разбивки |
контура 1, |
2, 3, . . . |
2л. |
|
||||
Задача сводится, |
таким образом, |
к решению трех систем алгеб |
||||||
раических уравнений, отличающихся лишь своими правыми частями
(16)
(/)
^ = КВ
(/)
91