книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин
.pdfЗдесь |
wxx, |
wxy — проекции скорости плоскопараллельного |
невозмущенного |
потока на оси ох н оу; I = хА — х; тд = уА— у; |
|
I — длина |
скелета. |
|
Скорости vx, |
vy от особенностей определяются по равенствам |
|
|
|
Vr = V* — W |
|
|
(2) |
|
|
У у = ”'у - ^у • |
Если точка А лежит на самом скелете, то подинтегральные выра жения в (1) обращаются в бесконечность.
Фиг. 16. Схема плоской решетки.
Для вычисления скоростей vx, vy в этом случае последние разде
ляются на скорости v"x, v", образующиеся от |
особенностей всех |
||
профилей, кроме основного, и |
на скорости v'x, |
v , |
образующиеся |
от особенностей основного профиля. |
с |
|
|
Вычисление скоростей у" и |
v" выполняется |
использованием |
|
номограмм. При определении величин v'x и v' делаются некоторые
упрощающие допущения. Достаточная точность рассчитываемой решетки может быть получена при этом для слабо изогнутых про филей лопаток гидротурбин.
Функции плотностей вихрей и источников представляются в виде рядов
п
7 = Ло ctg ~ + J Ay sin М
k=' |
(3) |
q = Bo + Bs + У} |
sin AB. |
Для получения скругленной входной кромки на переднем конце
скелета помещается источник интенсивности Q,. Условием замкну тости профиля в этом случае является
+4
<?,+ f <7(s)*=0. |
(4) |
2 |
|
40
И. И. Этинбергом [171 введены выражения для '[ и q, |
более |
||
удобные для воздействия |
на эпюру скоростей в |
виде |
|
7 (s) = At V1— s2 + Azs2 (1 — s2) 4- A3s (1 |
— s2); |
(5) |
|
q (s) = |
+ Bzs + B3s2 + jB4s3. |
|
(6) |
Наряду с источником QI; определяющим скругление входной кромки, для получения скругленных выходных кромок на заднем
конце скелета необходимо поместить сток интенсивности |
Qz х. В этом |
случае условие (4) следует записать в виде |
|
/ |
|
+ Т |
(7) |
Q1 + Q2+ ,^<7(s)ds=°- |
|
2 |
|
Величина циркуляции Г скорости вокруг профиля подсчиты
вается по формуле
+4
Г= f TT(s)ds. |
(8) |
Скелетная линия профиля определяется как линия, через которую
не происходит перетекания жидкости. Следовательно, получаем
условие |
|
|
(9)) |
(w^y + и") cos а — (wMX + w") sin а -Ь £? = 0. |
|||
При вычислении |
скоростей v' и |
v" интегрирование |
ведется |
по скелетной линии, |
форма которой |
наперед неизвестна. |
В связи |
с этим задача решается следующим образом. В первом приближении форма скелета выбирается в виде отрезка прямой [16, 171 или дужки окружности [18]. Задавая вид функций 7 ($) и q (s), вычисляем скорости v' и v". Из выражения (9) находится после этого угол каса тельной к скелету a (s) и, следовательно, в первом приближении определяется форма скелета. Далее расчет повторяется. В резуль тате находится уточненная форма скелета.
Форма профиля определяется из условия, что расход от источ ников и стоков делится на две равные части по обе стороны скелета.
Следовательно,
Г”
i |
п |
2 |
|
J vs dll = |
q(s)ds-\-Ql |
(10) |
|
О
где d — значение ординаты, отсчитываемой по нормали от скелета до выпуклой или вогнутой стороны профиля;
vs — полная скорость между скелетом и линией профиля.
1 Способ скругления входной кромки, используемый в методе А. Ф. Лесохина^ распространен на выходные кромки Б. Л. Гинзбургом.
41
Вычисление координат профиля производится методом последо
вательных приближений. В первом приближении считается, что
скорость vs равна скорости на скелете у |
. Таким образом, для тол |
щины профиля получаем выражение |
|
i |
|
2 |
Qj |
i q («) ds |
В следующем приближении принимается за скорость vs среднее арифметическое значение между скоростями на профиле и скелете и т. д. Более точные вычисления выполняются вблизи кромок про филя. Следует заметить, что в вычислениях как формы скелета, так и формы профиля можно обычно ограничиваться вторым при ближением.
Для определения коэффициентов Ak и Bk задаются условия (7), (8), а также: максимальная толщина профиля, положение максималь
ной толщины, радиус входной кромки, радиус выходной кромки, условия в отношении эпюры скоростей на профиле.
Известен ряд других появившихся позднее методов также осно
ванных |
на |
распределении |
внутри профиля системы |
источников |
|
и вихрей. |
В этих работах даются приближенные решения для |
||||
решеток |
из |
слабо искривленных |
профилей. |
|
|
10. РАСЧЕТ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ, |
ОСНОВАННЫЙ НА КОНФОРМНОМ |
||||
|
|
ОТОБРАЖЕНИИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ |
|
||
Метод расчета решеток, |
предложенный Э. Л. Блохом |
[11], осно |
|||
ван на обобщении отображающей функции С. А. Чаплыгина для единичного профиля. В этой работе указаны зависимости параметров
преобразования, входящие в отображающую функцию, от геометри ческих параметров решетки. При этом можно получить форму про филей, практически не изменяющуюся при изменении параметров решетки (шага и выноса). Для построения отображающей функции используется полученная Э. Л. Блохом характеристическая функция обтекания решетки контуров, близких к окружностям. Дальней шему развитию этого метода посвящена работа Е. И. Умнова.
Графоаналитический метод расчета решеток профилей компрес сорного и турбинного типов, основанный на обобщении функции
Н. Е. Жуковского для единичных профилей, разработан С. Ф. Абра мовичем [19]. Применение этого метода связано с использованием заранее рассчитываемых сеток изопотенциальных линий и линий тока.
В методах Э. Л. Блоха, С. Ф. Абрамовича и Е. И. Умнова исполь зуется для выполнения отображений вспомогательной области на решетку профилей характеристическая функция обтекания решетки почти кругов или кругов. Более простая отображающая функция может быть получена [20], если воспользоваться характеристиче
42
ской функцией бесциркуляционного обтекания решетки диполей. Перейдем к изложению этого метода.
Цепочка диполей. Разместим на оси оу бесконечную цепочку диполей на расстоянии t друг от друга. Момент М диполя будем считать положительным. Суммируя характеристические функции соответствующих диполей, получим характеристическую функцию для цепочки
7. * = cth z. (12)
Накладывая на течение, создаваемое цепочкой диполей, одно родный поступательный поток со скоростью в бесконечности w0,
направленной параллельно |
оси ох, |
получим |
|
|||||
|
|
7 = woz + |
|
cth ~ z. |
(13) |
|||
Сопряженную |
скорость |
течения |
определяем |
по формуле |
||||
|
|
,.R |
'М |
|
|
1 ,... |
(14) |
|
|
we-l? = w0---- |
---------- -—. |
||||||
В пределе при / |
оо |
получим из |
(14) |
случай течения, образован |
||||
ного одним диполем и |
поступательным потоком |
|
||||||
|
|
ZB |
|
|
М |
|
1 |
|
|
|
W 'гР« — |
Wq------. |
|
|
|||
Разместим сейчас на оси оу цепочку диполей с комплексным зна чением момента. Наложим на течение, образуемое цепочкой диполей, поступательный однородный поток со скоростью w0, под углом к оси ох, равным ро; характеристическая функция такого течения имеет вид
. Z = woe~‘?°z + cth -^-z, |
(15) |
где М — комплексное постоянное число.
Дифференцируя (13) и полагая в критических точках z — ±z*
скорости равными нулю, |
получим |
|
|
|
|
;Я / |
TtM |
1 |
\ |
„ |
|
we~---- -----------------1 |
= О, |
|
|||
\ |
|
S”2 —Т Z |
/ |
|
|
откуда найдем значение |
М |
|
|
|
|
М = woe~‘?° -^-sh2-^-z0. |
|
|
(16) |
||
Выражение (15) примет теперь вид |
|
|
|
|
|
Х = &уое-‘ » ^z +-^-sh2-^-z0cth-p-z) . |
(17) |
||||
43
Введем следующие обозначения:
sh2 -у- z0 = Ке^ = Р 4- zQ;
К = (ch 2тсх0 — cos 2тсм0)
(18)
1 tg тсУо .
2th ~xrj ’
Р= /С cos 4 = (ch 2тсх0 cos 2тгу0 — 1)
(19)
Q = К sin 7 = sh 2кх0 sin 2тсу0.
Разделив (15) на вещественную и мнимую части, найдем следую щие выражения для функций <f> и ф:
<р = w0 cos |
Р sh 2тгх 4- Q sin 2~у |
|
ch 2т.х — cos 2г.у |
|
|
|
|
|
-4- ayosin p0 I у 4- Q sh 2itx — P sin 2~y |
(20) |
|
|
ch 2тех — cos 2r.y |
|
Q sh 2~x — P sin 2ny
Ф- COS f50 Ц/ -
ch 2r.x — cos 2т.у
P sh 2лх 4- Q sin 2л«/
— ^osln o Iх +
ch 2t.x — cos 2izy
Линии тока ф = О соответствует овал, форма которого зависит
от угла натекания р0 и шага t между диполями. Так как ф(х, у) = — ф(— х, —у),
то овал имеет центр симметрии.
Таким образом, функцией (17) определяется бесциркуляционное обтекание решетки овалов под углом р0 (фиг. 17). Большая ось овала направлена по потоку.
Построение решеток крыловых профилей. Рассмотрим в пло скости z решетку пластин с углом установки, равным р (фиг. 8, б). Так как мнимая часть характеристической функции (17) на овалах в решетке имеет постоянные значения, равные +int (п — 0,1, ...),
44
то функция, отображающая область течения в плоскости С на пло
скость z с разрезами АВ, очевидно, будет
z = С + /Kencth^- С. |
(22) |
Принимая соотношение (22) в качестве отображающей функции для решетчатых областей с произвольными границами, можно полу чить в плоскости z решетки профилей различных типов [20].
Фиг. |
17. |
Решетка |
Фиг. 18. К отображению решетки кругов на решетку |
овалов |
с |
центром |
овалов. |
симметрии.
Простой вид отображающей функции (22) позволяет легко уста новить все необходимые для расчета решеток зависимости между параметрами преобразования вспомогательной плоскости на внеш ность решетки профилей \
Разделим (22) на вещественную и мнимую части
—, Р sh 2тг£ -J- Q sin 2тсТ|
X — s -р — |
— |
— |
ch 2k£ — cos 2tcTj
(23)
—— . Q sh 2tcI — Psin2itT]
У= iq + —---------=-------------
ch2rc£ — cos2itT]
1 В другом виде характеристическая функция бесциркуляционного обтекания цепочки диполей использовалась ранее в работах Мершана [21 ], К. Н. Давыдова и др.
45
где величины Р и Q определяются по формулам (19). Черта сверху
у величин х, у, k, т) и др. указывает, что они отнесены к шагу решетки.
Если в плоскости С взять решетку кругов (фиг. 18), то в пло скости z получим, применяя отображающую функцию (22), решетку некоторых овалов. Особые точки преобразования +Со переходят в точки + z0, которые находятся внутри овала, если радиусы кругов
|
|
г |
+ ’’'о- |
Лучи 9 -= const, |
||||
|
в |
плоскости |
С |
преобразуются |
||||
|
в кривые, близкие к гипербо |
|||||||
|
лам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сместим в плоскости ; цен |
||||||
|
тры кругов на малую величину |
|||||||
|
s |
= р |
/V (фиг. 19). |
Подстав |
||||
|
ляя в формулы |
(23) |
значения |
|||||
|
j = R cosS + Р |
и |
т; = R sin 9 +v, |
|||||
|
получим в плоскости z решетку |
|||||||
|
крыловых профилей. При этом |
|||||||
|
так же, как и в случае построе |
|||||||
|
ния единичных |
профилей Н. |
Е. |
|||||
|
Жуковского, точки (£0, |
Т|0 + int) |
||||||
|
перейдут |
в |
острые |
выходные |
||||
Фиг. 19. К отображению решетки смещен |
кромки, |
а точки (—50, Tio + mO |
||||||
ных кругов на решетку диффузорных (ком |
перейдут в точки, |
находящиеся |
||||||
прессорных) профилей: 010г=8, OOj—h, |
внутри |
профилей |
примерно |
|||||
OF = р, ОБ = г0, ООг = е, OzF = -л |
вблизи |
центра |
|
кривизны |
их |
|||
|
входной части. |
|
|
|
19 |
|||
Из приведенного для случая компрессорной решетки на фиг. |
||||||||
построения, соответствующего преобразованию Н. Е. Жуковского,
получаем следующие формулы связи между величинами £0, ц0, h,
г0, 8, %, 9В, q и 8
fi = — Л sin 90 — 8 cos 9В |
] |
v — /icos90 — 8sin9B. |
(24) |
| |
+710 = ГО
%= arctg-^ SO
= % — ш |
(25) |
|
|
||
h |
r0 tg |
|
-i- q — |
sin щ = /г; |
|
здесь q = 2R — густота решетки кругов.
46
Из соотношений (24) и (25) следует, что при отображении внеш ности решетки смещенных кругов густоты q решетка профилей
определяется полностью при задании четырех величин: q, %, р и р Для определения этих параметров преобразования решетки кругов
зададим следующие четыре параметра для решетки профилей: вогну
тость средней линии, толщину профиля в какой-либо точке хорды профиля, густоту решетки и угол выноса р. При построении решетки профилей по заданному треуголь нику скоростей могут быть выбраны
в |
качестве |
параметров |
углы pj |
и |
Р2, густота решетки и толщина |
||
профиля в средней части |
хорды. |
||
|
Профили |
со скругленной вы |
|
ходной кромкой получим, если сместить окружность L2 (фиг. 19)
по прямой |
0гВ |
на |
величину |
8 — 8i = |
(х < 1) |
так, чтобы |
|
окружности Z.J и L2 |
не имели точки |
||
касания.
Формулы (24) в этом случае следует написать в виде:
Р= —h sin 0о—Sjcosfjg;
v= h cos 90 — 8* cos
При этом обе особые точки А (—£0,
—Но) и В (£0, ц0) перейдут в точ
ки, находящиеся внутри профиля |
Фиг. 20. К отображению решетки кру |
|
вблизи центров кривизны вход |
гов на решетку турбинных профилей. |
|
ной и выходной кромок. |
|
|
Расположение окружности в плоскости С для построения тур |
||
бинной решетки дано на |
фиг. 20. |
Параметры преобразования для |
турбинной решетки Овт, |
бот, --от и |
нот связаны с соответствующими |
величинами 9ВК, 90Х, :ок и "q0Aдля компрессорной решетки, равен
ствами 9Вт = —9ВК, |
Йот- = —90к, Уот = ?ок и Tiот |
= —"Пок- |
|||||
Обозначим длину линии, |
соединяющей особые точки в плоскости z |
||||||
через Ьо. Угол р0, который |
составляет |
определенная так |
хорда Ьо |
||||
с осью ох, вычислится |
из равенства (21) |
при ф = 0, 5 |
= £0 |
и ц = -% |
|||
tg o- |
-j- sin •; sh 2^ — cos |
sin 2гстд0 |
|
(27) |
|||
2-£0 4- cos i sh 2?r|(| _l sin -j sin 2irM |
|
||||||
Положив далее в |
формулах (23) |
6 |
= Ео, |
Т| = т1о, получим сле |
|||
дующее приближенное выражение |
для густоты Ьо |
= -у- |
решетки |
||||
47
профилей в плоскости z:
bo — |
{4it- (-|- ijo) Н~ sh2 2тс10 |
sin2 2тгтг]0 4- |
|
4- 4тс£0 (cos -J sh 2тс£0 4- sin у sin 2тсч]0) + |
|
||
4- 4тст]0 (sin 7 sh 2тс?0 — cos -у sin 2tcij0)). |
(28) |
||
Графики зависимости Ьо от р0, $0 и "g0 даны на фиг. 21. Необ ходимые для построения этих графиков величины приведены в табл. 2.
Задавая величины 50 и ц0, находим при помощи этих графиков значения Ьо и ро.
Фиг. 21. Зависимость Ьо от £0, Tj0 и Ро.
Эта функция может быть построена также и в полярных коор
динатах г0 = ]/”^о+ 'Чо и 60 = arctg-?A, [23]. Графики зависимо-
сти 60 от 0 и Йо даны на фиг. 22.
Обозначим через и f2 соответственно вогнутость верхней и ниж ней дужек профиля в середине хорды. Тогда вогнутость средней линии и толщина профиля (фиг. 23) определяются следующим образом:
(29)
Заметим, что для случая, когда хорда профиля является вну тренней, величина f2 <Z 0.
48
|
|
|
Зависимость *о=НРо, So- "По) |
Таблица 2 |
||
|
|
|
|
|||
Т10 |
So |
о |
Ьр |
^0 |
So |
Ьр |
t |
|
t |
||||
|
|
|
|
|
||
0,015 0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,325
0,35
0,025 0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0.325
0,35
0,050 . 0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,325
0,35
0,075 0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,325
0,35
0,10 0,05
0,10
17° |
0,21 |
0,10 |
0,15 |
39°24' |
0,75 |
9°12' |
0,42 |
|
0,20 |
34°18' |
0,99 |
6°48' |
0,655 |
|
0,25 |
31°30' |
1,27 |
5°24' |
0,915 |
|
0,30 |
30° 12' |
1,64 |
5° |
1,23 |
|
0,325 |
29°48' |
1,87 |
4°36' |
1,62 |
|
0,35 |
30° |
2,12 |
4°24' |
1,865 |
0,15 |
0,05 |
74° 18' |
0,6 |
4°24' |
2,12 |
|
0,10 |
61°54' |
0,69 |
27° |
0,23 |
|
0,15 |
53°30' |
0,85 |
15° |
0,43 |
|
0,20 |
48°24' |
1,06 |
10°48' |
0,66 |
|
0,25 |
45°30' |
1,33 |
9° 12' |
0,925 |
|
0,30 |
44°06' |
1,68 |
8° |
1,235 |
|
0,325 |
44° 12' |
1,9 |
7°42' |
1,63 |
|
0,35 |
43°48' |
2,12 |
7°48' |
1,86 |
0,20 |
0,05 |
79°30' |
0,725 |
7°24' |
2,12 |
|
0,10 |
70°42' |
0,81 |
46° |
0,29 |
|
0,15 |
64°18' |
0,94 |
28°36' |
0,46 |
|
0,20 |
60° 12' |
1,12 |
21°24' |
0,68 |
|
0,25 |
58° |
1,37 |
18° |
0,935 |
|
0,30 |
57°24' |
1,89 |
16°24' |
1,245 |
|
0,325 |
57° |
1,69 |
15°24' |
1,635 |
0,25 |
0,05 |
83°30' |
0,840 |
15°12' |
1,86 |
|
0,10 |
77°12' |
0,91 |
15° |
2,13 |
|
0,15 |
72°48' |
1,02 |
57°36' |
0,36 |
|
0,20 |
70°06' |
1,17 |
39°36' |
0,51 |
|
0,25 |
69° |
1,39 |
30°48' |
0,705 |
|
0,30 |
68°54' |
1,68 |
26° 12' |
0,955 |
0,30 |
0,05 |
85°24' |
0,92 |
24°12' |
1,26 |
|
0,10 |
82° |
0,97 |
22°42' |
1,64 |
1 |
0,15 |
79°30' |
1,08 |
22°36' |
1,86 |
0,20 |
78°24' |
1,20 |
|
22°30' |
2,125 |
1 |
0,25 |
78°36' |
1,39 |
65°24' |
0,44 |
1 |
0,30 |
79’42' |
1,65 |
|
|||||
48°48' |
0,57 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 М. И. Жуковский 700 |
49 |