книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин

где

заранее построенных номограмм, позволяющих находить эти вели­

чины с точностью до единицы третьего знака [37]. Нормировка

значений функций 9, необходимых при определении К, произво­

чениям К, находящимся ниже главной диагонали таблицы этих величин, добавлять единицу.

Полученные в результате нормировки и устранения скачка

значения К изменяются в каждой точке контура непрерывно, при­

чем разность 2п — К[ о равна единице.

После решения систем (16) определяются в соответствии с фор­ мулами (II) и (12) и условием о сходе потока с выходной кромки

92

значения w„, и Г. При этом заданными величинами являются скорость и ее направление на входе в решетку, а расходная соста­ вляющая скорости wz выбирается равной единице. В случае скруг­ ленных выходных кромок задаются два-три значения угла выхода потока р2 и вычисляется потенциал скорости <р (s). Дифференциро­

достаточно близко к выходной кромке, получим следующее прибли­

^AlJ^) = 2xi]

i= 1,3, . . . ,2n~ 1 \ j — 1,3, . . . , 2п— 1 /

93

Как следует из уравнения (9) при <? = const, сумма всех коэф­ фициентов в уравнениях (20) равна 2. Это равенство служит для контроля вычислений коэффициентов At

Решение этих уравнений представляется в виде

= <рР ctg оо + ®z2)-

Изложенный метод решения уравнения (9) может быть наиболее просто применен при программировании рассматриваемой задачи для цифровых электронных машин.

14. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РЕШЕТКИ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНУЮ ОБЛАСТЬ

При решении прямой задачи об обтекании достаточно густой решетки из профилей большой толщины и вогнутости в настоящее время применяются обычно методы, основанные на конформном

отображении области течения на вспомогательную область. Методы расчета, в которых вспомогательной областью является

внешность или внутренность круга в бесконечнолистной области, развиты Л. И. Симоновым [19], С. В. Валландером [38], Д. А. Войташевским [39 ] и др. При этом каждый период решетки отображается на один лист данной канонической области. Бесконечности слева и справа от решетки соответствуют особые точки вне (или внутри) круга (фиг. 10).

В случае густых решеток достаточно равномерное соответствие

между точками поверхности профиля и окружности может быть непосредственно получено для решетчатой вспомогательной области.

В качестве такой области может быть выбрана решетка пластин,

овалов или кругов. При таком отображении бесконечность слева и справа от решетки профилей переходит соответственно в бесконеч­ ность слева и справа от решетки во вспомогательной области. Соот­

ношение масштабов может быть при этом выбрано так, чтобы шаги

в решетке профилей и в решетке вспомогательной области были одинаковыми.

В методе, предложенном Н. Н. Поляковым [41 ], вводится вспо­

могательная решетка овалов, на которых модуль функции Д (С)

/1(C) = th^-

имеет постоянное значение. Это обстоятельство позволяет построить сопряженные тригонометрические ряды для вещественной и мнимой частей граничного значения отображающей функции

х — х± + 2 (ап cos /г$ + bn sin п&) + а0;

п==1

у = 2 (Z>„cos/?$ — a„sinn{>), n=l

где

» = arg Л (Я).

94

Устанавливаемое затем конформное соответствие между решеткой овалов и решеткой пластин позволяет затабулировать значительную

часть необходимых вычислений.

Метод расчета, разработанный Г. С. Самойловичем [10], основан на отображении области вне решетки профилей на область вне

При переходе от единичного профиля Zi к решетке из профилей той же формы изменяется соответствие точек профиля с точками окружности. Это изменение может быть найдено при помощи функ­ ции смещения

= 0 а4'44 а6 срв л8<р8 4- а,

задачи, как для прямой, так и для круговой решеток, функция

смещения определена для случая, когда вспомогательной областью является внутренность круга.

В методе расчета обтекания решеток, предложенном Л. А. Дорф­ маном [41 ], вспомогательной областью является область решетки

пластин без выноса (фиг. 8, в).

Отображающая функция представлена в виде интегрального

95

со знаком минус — нижней стороне пластины. Ширина пластины

обозначена через 2а.

Расчет выполняется методом последовательных приближений. Вычисление интегралов производится по формулам численных квад­ ратур. Коэффициенты интегрирования, зависящие от параметра а,

зволяет рассчитывать с достаточной точностью обтекание профилей

сложной конфигурации, большой вогнутости и толщины при всех

применяемых в практике значениях густот решетки. Метод основан на определении коэффициентов с_г, с_г, .... с_п ряда (49), гл. II,

последовательными приближениями.

Разделим соотношение (49), гл. II, на вещественную и мнимую части, положив на окружности С = е/е.

Будем иметь

96

Вычисление коэффициентов ап и Ьп по формулам (23) при произ­

Конформное соответствие между точками окружностей в пло­ скости С и точками обводов профилей L будем определять методом последовательных приближений. В качестве начального прибли­

жения примем значения функций х (9, q*) и у (9, <?*) для какой-либо

решетки, близкой по форме профилей и геометрическим параметрам

к заданной. Практические способы расчета такой вспомогательной решетки, для которой известно конформное соответствие между точками на профилях и точками на окружности, будут рассмотрены в п. 15.

Рассчитав решетку, близкую к заданной, перенесем графически

точки профиля с известными значениями 9 на заданный для расчета профиль. Таким образом получим нулевое приближение х(0) (9, ^<0)); z/(0) (9, ф0)) для искомой функции. Далее разлагаем х(0). р(0) при

помощи формул (24) в тригонометрические ряды (22). Для вычисле­

первого приближения величины q. Умножим для этого соотношения

(22) на cos 9 и sin 0, сложим их и проинтегрируем от 0 до 2тг.

о

Полученное соотношение представим в виде уравнения отно­

приближения вычисляются, как уже указывалось, по формулам (24).

Аналогично находится ф2) второго приближения и т. д.

Интегральная формула (25) позволяет определять для каждого приближения значение q достаточно точно, что существенно ускоряет

4) способа снесения точек с близкого профиля на заданный. Приближенный, но достаточно эффективный способ снесения точек может быть получен, если воспользоваться формулами Л. А. Симо­ нова [25], связывающими касательные и нормальные смещения

точек преобразуемого контура.

Обозначим через Az разность между двумя соответственными точками двух профилей, обтекание одного из которых известно.

Проекции Az на нормаль и касательную к этому профилю в точке,

98

соответствующей значению 6 на окружности, пусть будут Дп и Дз; при этом положительными считаются внутренняя нормаль и смеще­ ние Дз против часовой стрелки (фиг. 37, а). Следуя Л. А. Симонову,

напишем

чинами н и v в небольшой окрестности точки/1. Для этого выполним интегриро-

Фиг. 37. К переносу точек профиля близкой решетки: а — определение знаков Дз; и Д/г; б — смещение точки А.

вание в интервале от 0 до 29. Если 29 мало, то можно, отбросив

постоянную р-0, заменить формулу (26) приближенным выражением

имеет, как известно, конечное значение в точке $ = 0, если функ­

ция v (6) удовлетворяет условию Липшитца. Это условие можно считать выполняющимся везде за исключением, может быть, окрест-

Значения входящих в формулу (28) величин показаны на фиг. 37,-6.

В аналогичной формуле, полученной Л. А. Дорфманом (41 ], постоян­ ные коэффициенты имеют соответственно значения 0,6 и 0,2.

В некоторых случаях можно пользоваться более простым выра­ жением

As = 0,64 (An_j — А/г.г1).

Снимая графическим путем величины Ди и 8s, вычисляем по (28) смещение As, после чего точка А (6) сносится в точку А' контура,

заданного для расчета профиля. Аналогично переносятся все осталь­

ные точки близкого профиля (фиг. 37, б).

После определения конформного соответствия между точками

профиля и точками окружности расчет обтекания не представляет

=-гг-

Второй множитель представляет собой модуль производной отобра­

JOO

и путем численного дифференцирования функции s (6) без использо­

Фиг. 38. К сглаживанию функции As (6).

Вычисление производной в точке s = s0 выполняется после этого

по формуле Стирлинга

(As0 + As_j) — (A3s_r + A3s_2) +

+ 60/7 А58-з) — • • • ’ (32)

в которой можно ограничиться третьими разностями As.

При делении окружности вспомогательной решетки через 10°

величина h равна 0,1745, при делении окружности через 15° вели­

чина h равна 0,2618.

Необходимые для выполнения расчета значения As, соответ­ ствующие границам расчетных интервалов, снимаются с обвода

рассчитанного профиля. По этим значениям As строится график As(9).

При необходимости график сглаживается (фиг. 38), после чего определяются величины разностей As в точках 6 = 0, 9 = 10°,....

Пример вычисления производной дан в табл. 10. Таблица раз­ ностей As составляется для всего инетрвала изменения функции.

101