книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин

здесь рг = рз/Рь и 3 — угол между направлением кромок и осью решетки.

Величины Х2, 8 и рг связаны при этом равенством

При выводе формул (91) и (92) предполагалось, что в выходном сечении параметры газа достигают критических значений, так что

Рь =Р*-

Формулы (89) или (90) неприменимы, когда волна разрежения достигнет выходного среза решетки. В этом случае в косом срезе имеет место полное расширение, т. е.

Учитывая равенства (6) и (85), получим

Значение угла отклонения потока 8яр, соответствующее полному

дающееся волновыми потерями, будет происходить уже вне решетки. Задача об определении в этом случае направления потока за решет­ кой решается следующим образом. Напишем уравнение постоянства

расхода для следа за решеткой

Ч(М2яр) sin ( 2J0 + Зяр) = q (М2) sin р2.

Будем иметь

198

Значения величин q (М2пр) и s’n (Р25ф 4 drip) находим, исполь­

зуя формулы (95) и (96). Далее, задавая давление р2 за решеткой,

и в следе за решеткой применимы для не очень редких решеток, так как в случае редких решеток предположение об однородности

потока в выходном сечении межпрофильного канала уже не является приемлемым. Расчет отклонения потока в косом срезе в этом слу­ чае может быть выполнен методом характеристик [48].

28. ПРИМЕНЕНИЕ ГИДРОГАЗОАНАЛОГИИ (ГГА) ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Аналогия между потоком газа и течением тонкого слоя тяжелой несжимаемой жидкости основана на идентичности уравнений, опи­ сывающих эти движения. Случай одномерного движения рассмотрен с учетом сил вязкости Н. Е. Жуковским [63]. Аналогия для пло­ ских потоков газа указана Жуге [64 ] и применена для двухмерных

задач Прайсверком [65], Рябушинским [66] и др. Из основных

уравнений, определяющих плоское движение газа и движение тяже­ лой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, следует,

что аналогия имеет место при условии, когда:

1)газ и жидкость не обладают вязкостью;

2)газ имеет показатель изэнтропы k = 21;

3)вертикальная составляющая ускорения в потоке воды равна

нулю;

4)поверхностное натяжение не проявляется;

5)отсутствуют ударные явления.

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследова­

ния по гидрогазоаналогии [63—71 ]2 посвящены главным образом обоснованию аналогии и рассмотрению способов, расширяющих возможности ее использования для практических целей.

1 Такой несуществующий газ принято называть гипотетическим.

3 Следует отметить также результаты, полученные Г. Т. Таушкановым В. С. Березниковым и В. Н. Сунцовым.

3 Аналогия справедлива и для неустановившегося движения.

199

Здесь и везде ниже штрихом отмечены величины, относящиеся к потоку воды.

Предположим, что движение происходит с малым изменением

Таким образом, при выполнении условия (98) давление в слое воды изменяется линейно. Можно легко показать при этом, что wx и w? бу­

находим, что при наличии геометрического подобия между потоками

несжимаемой жидкости и; газа с показателем изэнтропы k - 2 в соответствующих точках плотность газа пропорциональна глубине

слоя воды

Р' + -у- ^'2 + ?gz = р'о + ?'gz0.

Используя формулу (99), получим следующее выражение:

■^=2g(h0-h). (Ю1)

200

В случае течения газа уравнение энергии запишется так:

Сравнения уравнения (101) и (102), находим, что отношение тепло-

содержаний в газе пропорционально отношению глубин

или

Из уравнения изэнтропы имеем

Соотношения (100) и (103) совместимы только в случае, когда k = 2; при этом для давления в газе с показателем изэнтропы k = 2

Для скорости перемещения гидравлического прыжка имеем соответственно

• с'-~ У(107)

Здесь индексы 1 и 2 относятся к величинам до и за скачком уплот­ нения или гидравлическим прыжком.

Для слабых возмущений получаем из соотношений (106) и (107}

(Ю8>

Таким образом, скорости звука а в газе соответствует скорость-

распространения длинных волн. Последняя формула справедлива, как известно, для течений с малыми глубинами.

Таким образом, точность получаемых на основе гидрогазоаналогии результатов зависит от выбора допустимых значений глубин.

201

Критической скорости газа, определяемой по выражению

«* = /2^7-4 Z<”

соответствует критическая скорость потока воды со свободной по­

JVV = —~ > 1. Этот случай соответствует сверхзвуковому движе-

V gh

нию газа. При h > h* число М' < 1, и течение будет спокойным.

Такое течение воды соответствует дозвуковому потоку гипотетиче­

--^-=-ДЕ. (111)

Для случая скачка уплотнения имеем

(112)

Несоответствие между уравнениями (111) и (112) объясняется тем, что переходящая в потоке воды в тепло механическая энергия не вхо­ дит, в отличие от случая течения газа (уравнение (112), в уравнение энергии.

Следовательно, аналогия нарушается как в случае процессов

движения воды с большими потерями, вследствие трения, так и при волновых потерях энергии.

Так, для прямого гидравлического прыжка имеем следующее уравнение связи между скоростями до и после прыжка [65].

3-/.f

(ИЗ)

Л2 — 8

202

В случае прямого скачка в газе имеем:

ком уплотнения в газе и гидравлическим прыжком в воде не очень

велики, и соотношение (ИЗ) мало отличается от (ИЗ'). В этом случае изменение величин h и w' происходит на достаточно коротком участке, и гидравлический прыжок (прямой и косой) может рассматриваться как поверхность разрыва ве­

Теоретический анализ влияния вязкости, выполненный Бекке­ ром [68], показал, что ее влияние при глубинах /г>10: 15 мм

вцелом невелико.

Вцелях уменьшения действия вязкости дно канала экспери­ ментальной установки ГГА выполняется из полированного стекла.

Рекомендуется также придавать дну подводящей части канала небольшой уклон. Исследование поля скоростей в слое при наличии уклона дна выполнено В. С. Березниковым.

Вопрос о выборе допустимых глубин hdon тесно связан с обеспе­ чением условия о равенстве нулю вертикального ускорения, Для выполнения этого условия необходимо выбирать размеры модели,

аследовательно, и экспериментальной установки достаточно боль­ шими, так как в этом случае изменение глубин h будет происходить более плавно.

Величина hdon зависит от длины исследуемого тела, с увеличе­ нием которого она растет. В случае очень малых h, когда длины

волн i h, скорость распространения возмущений не зависит от длины волны, т. е. выполняется формула а = ]/gh. В случае боль­

203

Подробное исследование этого вопроса выполнено Лейтоном [67 ], Д. Рябушинским [66], Иппеном и Харлеманом [69], В. Н. Сун­ цовым и др.

Для осуществления пересчета опытных данных естественно использовать такие газодинамические функции, которые связывают геометрические и газодинамические элементы в потоке. Для случая течений, мало отличающихся от одномерных, можно взять зависи­ мость для одномерного движения газа в сопле

Н-1

/г— 1

(115)

k + 1

Фиг. 93. Зависимость F/F* от М при &= 1,4 и /г = 2.

Если через это же сопло протекает газ с показателем изэнтропы k’,

Применение соотношений газодинамики, справедливых для пло­ ских течений газа, приводит к аналогичным правилам для пересчета чисел М в случае, когда течение не может рассматриваться как одномерное.

204

Воспользуемся для этой цели соотношением, определяющим пово­

рот сверхзвукового потока при обтекании угла в зависимости от числа М

Полагая в уравнении (116) k = 2, получим аналогичное соотно­

В соответственных точках контура, обтекаемого гипотетическим газом (k = 2) и потоком газа с реальным значением k, углы пово­ рота потока р одинаковы, т. е.

р(М', 2) = Р(М, k).

с показателем изэнтропы k = 2. Зависимость М = F (W) при k = 1,4 приведена для случая Мх — 1 на фиг. 94. Численные значения М и М' даны в табл. 25

Таблица 25

205

Приведенные соотношения для пересчета чисел М, получаемых

С некоторым приближением в экспериментальной установке ГГА могут производиться измерения углов выхода потока из решетки. Возможность определения углов выхода потока основана на том,

что вследствие вязкости воды выходная кромка является местом схода потока. При больших скоростях потока величина угла зави­ сит главным образом от явлений, протекающих в косом срезе. Изме­ рения углов могут осуществляться при помощи приборов (флюге­ рок), применяемых обычно при исследованиях с использованием в качестве рабочей среды воздуха.

Измерения следует производить в слое воды вблизи свободной поверхности, где не сказывается действие данного пограничного слоя. Полученные данные необходимо пересчитывать на реальные значения показателя изэнтропы. Этот пересчет может быть выполнен следующим образом. Напишем уравнение постоянства расхода для потока воды, обтекающего решетку

tw\h-i sin jij tw9h2 sin p o. (120)

Разделив обе части этого равенства на произведение критических значений величин и”) и /г,*, найдем

'^1 _ 3 I

w9 hiit

Следовательно, уравнение (120) может быть записано таким образом:

206

Если пренебречь потерями энергии, то равенство (121) примет вид

q' (>-i) q (>••>)

ными. Воспользовавшись графиками фиг. 93 или фиг. 94 и формулой (122), находим значения Xj и Х2, после чего по формуле (124) вычис­ ляем угол 02 при показателе изэнтропы k = 1,4.

Точность метода ГГА существенно повышается при соблюдении приведенных выше условий, а также при осуществлении пересчета данных, получаемых в водяном канал.е. Несмотря на приближенный

характер аналогии, ее использование является весьма полезным,

и в целом этот метод может служить в качестве ценного вспомо­ гательного средства для изучения сложных явлений в сверхзвуко­

вом потоке.

Установка для исследования обтекания решеток профилей пока­

зана на фиг. 95.

207