книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин
.pdfоторвавшегося начального вихря. Можно легко показать, что ско
рости потока в точке отрыва пограничного слоя на выпуклой стороне профиля weun и в точке отрыва на вогнутой стороне ювогн примерно равны.
Выделим элемент пограничного слоя длиной bb (фиг. 3, в). Совме стим ось х с касательной к профилю, а ось у с нормалью. Компонент вихря скорости на ось, перпендикулярную к плоскости чертежа, равен
|
|
|
дх |
ду |
г |
|
|
где через |
обозначена |
поперечная скорость в пограничном слое, |
|||||
а через wx — продольная. |
Учитывая, |
что в |
пограничном слое про |
||||
дам |
dwx |
|
|
|
можно |
положить |
|
изводная —~ |
намного меньше —, |
||||||
|
|
|
|
|
ду |
|
|
Поток завихренности, сходящий в среднем с выпуклой стороны |
|||||||
профиля в |
единицу времени, равен |
|
|
||||
|
|
|
» |
|
, |
2 |
|
|
|
и |
1 |
dwx |
Weun |
||
|
|
1 |
~ъ— wxdy |
= —s—. |
|||
|
|
J |
ду |
x |
2 |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Аналогично получаем для вогнутой стороны профиля |
|||||||
|
|
|
гг |
^вогн |
|
|
|
|
|
|
П2----------2~ ‘ |
|
|||
Поскольку |
//i |
= Я2> то |
I ^вып I = I ^вогн |- |
(О |
|||
|
|
|
|||||
Здесь weun |
и |
wB0!H — скорости |
на внешней границе пограничного |
||||
слоя в точках его отрыва соответственно на выпуклой и вогнутой поверхностях.
Условие (1) может быть использовано для определения величины циркуляции в случае скругленной выходной кромки. Следует заме тить, что расчеты обтекания эллипса с циркуляцией, основанные на определении точек отрыва пограничного слоя, выполнялись Хоуэрзом [2]. Однако такие расчеты не получили распространения вследствие трудностей, с которыми связано определение точек отрыва слоя вблизи выходной кромки.
Как было показано ранее [3], условие (1) может быть успешно использовано при расчетах обтекания решеток, если^ принять, что точки отрыва пограничного слоя расположены в начале резкого
падения скорости в окрестности выходной кромки. Такой выбор точек отрыва вблизи кромки для хорошо обтекаемых тел, какими являются профили, вполне допустим, так как протяженность отрыв ной зоны на профиле очень мала (в особенности для профилей
турбинного типа).
9
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. СЛОЖЕНИЕ ПОТОКОВ В РЕШЕТКЕ
Рассмотрим течение невязкой несжимаемой жидкости через решетку профилей.
В отличие от обтекания одиночного профиля, в случае обтекания
решетки с циркуляцией направление потока за решеткой не совпа дает с направлением набегающего потока.
Если поток является бесциркуляционным, то угол выхода потока из решетки р2 будет равен углу натекания при этом точка схода
потока В' не будет совпадать с выходной кромкой (фиг. 4, а). Поло жение точки схода В' ($) такого бесциркуляционного обтекания зависит от угла рх. Следовательно, существует такое значение угла натекания Pi = ро, при котором точка схода будет совпадать с выход ной кромкой В (фиг. 4, б). Этот угол называется углом нулевой подъемной силы (или углом бесциркуляционного обтекания).
Пусть угол Pj имеет значение, отличное от 0 (фиг. 4, в). При определении величины циркуляции скорости по контуру профиля интеграл
Г = J w (s) ds
L
может быть, как известно, вычислен по любому контуру, охватываю
щему профиль. Вычислим указанный интеграл по контуру A BCD,
состоящему из эквидистантных линий АВ и CD и двух отрезков ВС
и DA, параллельных оси решетки и равных шагу t (фиг. 5). Удаляя отрезки ВС и DA в бесконечность вверх и вниз от решетки и учиты
вая, что
|
J |
-- ь |
|
|
|
|
АВ |
|
CD |
|
|
получим |
wds = t (tWj cos Pj — щ2 cos p2). |
|
|
||
Г= J’ |
|
(2) |
|||
A BCD |
|
|
|
|
|
Из равенства (2) следует, что для значений циркуляции, отлич |
|||||
ных от нуля, угол выхода потока р2 не равен углу натекания |
pt. |
||||
Обозначим через |
векторную |
полусумму скоростей |
и |
w2, |
|
т. е. |
щ=о = |
(®i + ау2)- |
|
(3) |
|
|
|
||||
В случае несжимаемой жидкости получим |
|
|
|||
wu«, = w«, cos Poo = |
(a»1 cos Pi + &y2 cos p2); |
|
(4) |
||
w2 = |
sin Poo |
= a^sin px = w2 sin p2; |
|
(5) |
|
|
Шоо - |
Vwux2 + wz2, |
|
(6) |
|
где Poo — угол между |
вектором |
и осью решетки. |
|
|
|
10
С |
В |
\ |
Z |
\ |
Фиг. 5. К вычислению циркуляции скорости и аэродинамических сил.
Фиг. 4. Обтекание решетки: а — бес циркуляционное обтекание; б — бес циркуляционное обтекание со сходом потока с выходной кромки; в — обте кание с циркуляцией.
Формулы (2) и (5) позволяют определить величины циркуляции Г
и скорости w2 на выходе из решетки, если известны значения выход ного угла р2, скорости на входе Wj и угла натекания рь Величина 2> зависящая от типа решетки и ее геометрических параметров, а в слу чае редких решеток и от угла натекания рь определяется путем
расчета безвихревого обтекания решетки или ее продувки в аэро динамической трубе.
Из соотношений (4) и (5) получим следующую формулу связи между углами ръ р2 и «>:
ctgPoo = 4-(ctgpi + ctgp2). |
(7) |
Формула (2) может быть записана в виде |
|
r = ctg 1-ctg 2, |
(8) |
где удельная циркуляция Г представляет собой циркуляцию, отне сенную к объемному расходу через один канал с высотой, равной единице.
Углу «> =0 соответствуют значения Pi = р2 = 0. В этом слу
чае течение жидкости через решетку отсутствует. Такое обтекание решетки будем называть продольным. Далее, из формулы (7) полу
чим, что при р2 = -т — i угол оо = .
Самое общее обтекание решетки профилей несжимаемой жид костью может быть получено путем сложения различных его соста
вляющих течений. Обозначим через <pi (s) потенциал скорости на
поверхности профиля при бесциркуляционном обтекании решетки перпендикулярно к оси решетки (поперечное обтекание) со скоростью
1 |
. . |
|
. |
|
|
Wa, = —, |
через ср2 (s)— потенциал скорости |
бесциркуляционного |
|||
„ |
|
|
1 |
через <рг — |
|
обтекания вдоль оси решетки со скоростью wx |
= — и |
||||
потенциал чисто циркуляционного обтекания при Г = 1 и |
= 0. |
||||
Потенциал скорости в общем случае представится в |
виде |
||||
|
<р (s) = tw„[<рх (s) sin |
+ <р2 (s) cos Poo] |
+ Г?г (s) |
|
(9) |
или, на основании формул (4) |
и (5) |
|
|
|
|
? (s) |
= twx [с?! (s) sin Pl + <p2 (s) cos Pil + Г [<pr (s)-----cp2 |
(s) I |
. (10) |
||
Полагая в формуле (9) последовательно |
«> = -у- |
и |
« = 0, |
||
получим |
|
|
|
|
|
|
$1 (S) = |
= <S) + Г!®Г <S) |
|
|
|
|
Ф(“) |
|
|
|
|
|
ф2(5)=^.= срг(5) + Г2?г(5). |
|
|
||
12
Равенство (9) представится при этом в следующем виде;
?(s) = = cl)i(s)sin - + ф2 (s) c°s (12)
В формулах (11) величины Г1 и Г2 представляют собой величины циркуляций вокруг профиля при обтекании решетки со сходом
потока с выходной кромки соответственно при р» = у и „ = 0.
Дифференцируя выражение (9) по s и полагая в точке схода потока (s = 0) скорость равной нулю, найдем
\/А??_ \
rfs |
|
г, |
/ |
ds |
\ |
г. |
- |
SingJeo — I |
,----- |
/ |
COSp„. |
||
“?г |
/ |
|
I |
“fr |
|
|
ds |
/ s=o |
|
\ |
ds |
s=o |
|
Поскольку скорости, соответствующие потенциалам Ф1 ($) и Ф2 ($), равны в точке схода нулю, т. е.
/«Л
\ as / s=o \ as )s==Q
то
= TjSinp^ + r2cos3o,. |
(13) |
ОО
Величины Г1 и Г2 зависят только от геометрических параметров решетки, но не от режима ее обтекания.
Угол нулевой подъемной силы получим из равенства (13)
Ctg o=--p-. (14>
Далее, при помощи соотношений (5), (7), (8) и (13) находим
следующие формулы: |
|
с‘г - = 2тт;с*е 1-2тг,; |
<15> |
= |
О») |
г = 2¥т;(с‘8 . + •£)’ |
<17> |
г=2Тт;(с‘8^-с‘еМ- |
<18> |
13
Аналогично из формулы (10) получим, полагая последовательно
|
i = |
и Pi = 0, |
|
|
Ф^ = -^ = 'Р1(«) + Г1 |
[<РГ <s) — "Г ^(s)] |
|
||
|
* |
г |
in |
(19) |
фп = |
= ?г(«) + гп [?г(s) — |
?2 (s)] |
• |
|
Потенциал скорости при любом значении угла натекания представ ляется при этом формулой
= ф, (s) sin |
+ Фн (s) cos Pl. |
(20) |
||||
Выражение для циркуляции примет вид |
|
|
||||
Г =/и»! (fj sin ?! + Ги cos Pi), |
(21) |
|||||
где |
dfi |
|
\ |
|
|
|
|
|
_ |
21\ |
|
||
_______ ds_______ |
| |
’ |
||||
d«> |
1 |
j |
I |
|
2 -|- Г2 |
|
тг |
1 |
|
/ |
|
|
|
ds |
2 |
ds |
' |
s—o |
|
|
|
df-г |
|
\ |
_ |
2Га |
|
_______ ds_______ |
\ |
|
||||
d<p |
, |
, |
I |
|
2 4- Г, |
|
rr___ 1 |
d?2 |
/ |
|
2 |
|
|
ds |
2 |
ds |
' s=o |
|
|
|
циркуляции, соответствующие сходу потока с выходной кромки при поперечном и продольном обтеканиях решетки. Величины Г] и Ги зависят также только от геометрической характеристики решетки.
Таким образом, произвольное обтекание решетки под углом может быть представлено как сумма двух циркуляционных обте каний решетки с потенциалами скорости на профиле соответственно равными /^Ф] (s) и /Щ1ФН (s). При сложении потоков скорости в области течения складываются векторно; на поверхности профиля
сложение скоростей сводится к алгебраическому их суммированию.
Разделим потенциал скорости потока, натекающего на решетку под углом pi, на потенциал скорости потока, направленного под углом ?0, и потока ему перпендикулярного. Полагая в соотношении
(12)= ?0 + а, после простых преобразований получим
~4— = (Ф1 sin 0 + Ф2 cos ?0) cos а + (фх cos ?0 — Ф2 sin 0) sin а (22)
или
7^- = ?о («) cos а + (s)sin а> |
(23) |
14
где |
<р0 (s) — потенциал скорости |
обтекания решетки под углом 0; |
|
|
<рв ($) — потенциал скорости, |
соответствующий обтеканию |
под |
|
углом Pi = р0 + |
. |
|
на |
Дифференцируя равенство (23), найдем выражение для скорости |
||
профиле |
|
|
|
|
= w0 (s) cos а + wa (s) sin а. |
(24) |
|
|
Учитывая, что интеграл от скорости w0 ($) по контуру L профиля |
||
равен нулю, получим выражение для циркуляции |
|
||
|
Г = |
* sin а, |
|
где |
Г * = Ц- J wa (s) ds. |
|
|
|
|
||
|
|
L |
|
Так как максимальное значение циркуляции достигается при угле
натекания а = -у- , то последнее выражение |
может быть предста |
|
влено в виде |
|
|
Г = r.«aKcsina, |
(25) |
|
где |
|
|
Гмакс = |
*• |
|
Таким образом, максимальное значение циркуляции достигается |
||
при угле натекания р1( равном р0 |
+-£■-• |
|
4.ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О СИЛАХ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ПРОФИЛЬ
ВРЕШЕТКЕ
Теорема Н. Е. Жуковского о подъемной силе крылового профиля обобщена им в 1912 г. на случай решетки.
Применим теорему количества движения к несжимаемой жидкости, протекающей через объем с основанием ABCD и высотой, равной единице (фиг. 5). Пренебрегая действием массовых сил, получим
для проекций |
силы Р на оси |
и и |
г следующие выражения: |
|
ри = |
(“>iu — ^2„) |
|
|
|
|
(26) |
|
Рг = t(Pi~ Р2)- |
||
Здесь через р |
обозначена плотность |
жидкости, а через pi и р2 — |
|
давления в бесконечности (соответственно до и за решеткой). Так как скорости wt и w2 до и за решеткой представляются в виде
4- w2 Z
15
и
ТО
|
|
(27> |
Заменяя в формулах (26) разности |
(&У1„ — w2a) и |
(pi — р2), |
согласно выражениям (2), (4) и (27), получим |
|
|
ри = P^zr |
1 |
(28) |
Рг = — Р^’аооГ. |
I |
|
При этом сила Р равна |
|
|
Р2 = Р2и + Р2 |
|
(29) |
или |
|
|
Р = ра'ооГ. |
|
(30) |
Формула (30), являющаяся выражением теоремы Н. Е. Жуков
ского для решетки, благодаря введению фиктивной средней вектор
ной скорости ay*, не отличается по форме от соответствующей фор мулы для изолированного профиля.
Направление силы Р |
получим путем поворота вектора ско- |
|
рости |
—> |
направления циркуляции. |
на 90° против |
||
Проекции силы Р на оси и и z называются соответственно окруж ным и осевым усилиями. В случае компрессора силовое воздействие передается лопатками вращаемого рабочего колеса жидкости. В тур бине усилия, возникающие в результате обтекания жидкостью
лопаток, приводят рабочее колесо во вращение.
Представим силу Р и ее проекцию на |
оси |
и и z следующим |
образом: |
|
|
р = 4- Cwz?b |
|
|
« = 4 |
|
(эн |
р,=4г^еь. |
|
|
I |
|
|
В выражениях (31) скоростной напор |
рш? |
является характер |
ной постоянной величиной при фиксированном расходе жидкости через турбину или компрессор.
16
Из равенств (28), (30) и (31) могут быть получены следующие |
||
зависимости |
для аэродинамических коэффициентов С, |
Са и Cz. |
|
C = 2t ctgPl~ctgPi! ; |
(32) |
|
C„ = 2/(ctg 1-ctg 2); |
(33) |
|
= 2?(ctg pj —ctgp2) ctg Poo. |
(34) |
Мощность |
рабочего колеса вычисляется следующим |
образом. |
Для решетки из п лопаток высотой dr элементарное окружное усилие равно
dPu = npVwzdr.
Момент, |
создаваемый |
на |
колесе, |
вычисляется по формуле |
||||||
|
|
|
|
|
гкол |
|
|
ГКрЛ |
|
|
|
|
|
М = ?п |
J Vwzrdr = ~ j |
TdG, |
|
||||
|
|
|
|
|
гвт |
|
гвт |
|
|
|
где |
G — расход рабочего вещества |
в кг!сек. |
|
|||||||
|
Мощность с |
учетом потерь энергии |
находим по выражению |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
гкол |
|
|
|
|
|
|
|
|
N = ri-^- |
f |
VdG, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2ng |
J |
|
|
|
|
где |
i] — к. п. |
д. колеса; |
|
rem |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
io — угловая скорость вращения ротора. |
то |
||||||||
|
Если |
циркуляция |
Г |
постоянна |
по |
высоте лопаток, |
||||
|
|
|
|
А 7 |
|
л / |
|
|
\ |
|
|
Таким образом, для определения мощности колеса необходимо |
|||||||||
знать величину циркуляции Г и к. п. д. |
т). |
|
||||||||
|
Учитывая, |
что |
|
_ |
2%г |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
п ’ |
|
|
|
|
получим известное выражение Эйлера |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
N = 11Т и ^1и ~ W2a>' |
(35) |
|||||
|
Формула для окружного усилия Ри сохраняется по своей форме |
|||||||||
и в случае реальной вязкой жидкости. |
|
|
||||||||
|
Обозначим через р' потерю полного напора жидкости при дви |
|||||||||
жении от сечения DA до СВ. Тогда вместо выражения (27) будем |
||||||||||
иметь |
|
Pi — Р2 = 4" (WL ~ + Р'’ |
|
|||||||
|
|
|
(36) |
|||||||
2 М. |
И. Жуковский |
700 |
|
|
|
|
|
17 |
||
|
1 |
ГОС. ПУБПИЧНАЙ^Т |
40 |
|
*> |
* • |
|
|||
формулы (28) примут вид
Р'и = Р^-г
(37)
Рг’ = ~ р№«ооГ' p't
где значение циркуляции Г', вследствие действия вязкости, несколько меньше величины циркуляции Г, определяемой для безвихревого
потока. Величина Р' = р't представляет собой силу сопротивления.
Направление силы Р’ совпадает с осью г. Таким образом, полная
Фиг. 7. К определению сил, действующих на профиль в диффузорной решетке.
сила Р, действующая на профиль, складывается из силы Жуков
ского Рж, перпендикулярной средневекторной скорости да», и силы
сопротивления Р’. Из фиг. 6 и 7 видно, что сила Р' увеличивает полную силу Р в случае турбинной решетки и уменьшает ее в случае
18