Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

15.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

компрессорной решетки. Сила осевого давления Р2 при этом изме

няется. Окружное усилие Р'и при обтекании решетки реальной жид

костью уменьшается из-за уменьшения циркуляции. Изменение циркуляции в реальной жидкости приводит также к некоторому

увеличению угла выхода	потока 2.
5.	РЕШЕТКА ПЛАСТИН

Задача об обтекании решетки пластин с произвольным выносом 1 может быть решена многими способами. Впервые решение этой задачи было найдено С. А. Чаплыгиным [4]. Обтекание решетки пластин, представленное в виде суммы продольного, поперечного и чисто циркуляционного потоков, дано Н. Е. Жуковским [5]. В этой работе сначала рассматривается обтекание решетки пластин с выносом,

равным		(фиг.	8, а).
	Сопряженная		скорость	обтекания				такой решетки при произ
вольном значении			может		быть представлена в					виде
								т:	Z
		W (г) = — w„ sin			—■■—			Sin-у-	Z
		W (г) = — w„ sin			—■■—			------------ 4-
					1/	•	9	Л	■ 9 л
					\|/	sin2——а — sin2~^z
		+ Юсе COS оо						COS ~Y~ ?		(38)
		+ Юсе COS оо								(38)
	Выражения для скоростей				поперечного и чисто циркуляционного
обтеканий будут
			(z) =------		sin			z		(39)
			(z) =------			............ =;				(39)
				\|/ sin2 —р а — sin2					z
			р							(40)
		О-'з (*) = — а'г (z) =								(40)
При переходе с верхней стороны пластины на									нижнюю знаки перед
корнями		в соотношении		(38)	изменяются на обратные. Скорость
на	пластинах получим, полагая, что						в	выражении		(38) z — х.
к	1 Вынос решетки определяется углом						между пластиной и перпендикуляром
к	оси решетки.
2*										19

Определим величины циркуляции из условия схода потока в точ

ках	z — +а пластин.				Преобразуя		равенство	(38)	к	виду
	. .	1 /	• a TZ	•	л TZ	f	-ТС •	л 1	Г	TV \
	X	\|/	sin2— a — sin2 — z — ^ooSin — zsin					Ре, + — cos — z),
при	z = а получим

Обтекание решетки пластин с произвольным выносом р (фиг. 8, б) можно получить, как показал Н. Е. Жуковский, путем кон^юрмного отображения. В качестве отображающей функции принимается характеристическая функция, соответствующая бесциркуляцион ному обтеканию рассматриваемой решетки.

Рассмотрим вначале обтекание решетки пластин с нулевым выносом (фиг. 8, в). Оно может быть получено путем замены в выра

жении (38) тригонометрических функций гиперболическими.

Совместим ось решетки с осью оу, углы *, 2 и PL будем при

этом отсчитывать от оси ох (фиг. 8, в). В этом случае углы pi, 2 и Роо в системе координат, представленной на фиг. 8, а, выражаются через углы р*, р* и р^ в новой системе координат (фиг. 8, в) при

помощи формул

где Рр р* и р^ могут иметь как положительные, так и отрицатель

ные значения \

Опуская для простоты значок *, получим для сопряженной

скорости обтекания решетки пластин с выносом, равным нулю, следующее выражение:

sh — z

W (z) = — да» Sin р,о------- ====- + sh12 а — sh2 z

г	сНд~г	(42)
~ да» cos р » — 9.-----	-	(42)
у sh2-^-a —sh2 ^z

Величина циркуляции, соответствующая сходу потока с кромок пластин, найдется из (42) при z = а, т. е.

Г = —2^oo sin poo th-yfl.

(43)

Для построения обтекания решетки пластин с выносом можно

также использовать характеристическую функцию бесциркуляцион ного обтекания решетки с нулевым выносом [6]. Определим отно шение циркуляции пластины в решетке к циркуляции отдельной пластины (t = со), обтекаемой со скоростью в бесконечности, равной

w^e *?00		будем иметь
Для рассмотренных случаев
	sin В			7V
ОО		ОО	tg —-а
	г		О	f

(х)

(ztw^sin^

2twx sin вот th-у-a

(х)р=о~ /

\2tw,

		(44)
t 4.1	71	(45)
— th-^-a.		(45)
~a	t

1 В дальнейшем, если не будет сделано специальной оговорки, расположение оси решетки и отсчет углов будут приняты в соответствии с фиг. 8, в.

Графики функций (44) и (45) изображены на фиг. 9. Циркуляция,

развиваемая пластиной в решетке

при

= 4г

больше,

а при р = О

меньше циркуляции единичной пластины.

об

обтекании

ре

Решение

задачи

шетки пластин может быть получено

также

путем использования

характе

ристической функции течения, обра

зуемого источниками,

стоками и

вих

рями. Разместим на вещественной

оси

(фиг. 10) в точках

—т и

, где т < 1,

вихри

с вращением по часовой стрелке

(отрицательное направление) с цирку

ляцией, равной —Го, а

точках

т и

против

часо

—— вихри с вращением

вой

стрелки

с циркуляцией

Го. Кроме

того,

поместим в

точках

— т и-------

источники

мощностью,

равной

а в точках

т и —-

стоки

—О.

функция

тече

Фиг. 9. Зависимость коэффици

Характеристическая

ния,

создаваемого

указанной системой

ента х от относительного шага

и выноса решетки пластин.

вихреисточников,

имеет выражение

_ Го -- iQ .

1 4- ffiC _ Го — iQ .

С +т

(46)

2r.i

1— mt

2ni

Ш С — т'

Фиг. 10. К решению задачи об обтекании круга.

Одной из линий токов будет окружность единичного радиуса,

обтекаемая жидкостью, выходящей из источника в точке —т и вте кающей в сток в точке т (фиг. 10).

Рассмотрим функцию

z='!^.el\	(47)
w0

Функция (47) осуществляет конформное отображение внешности

окружности в плоскости С на внешность решетки пластин в плоскости^

(фиг. 8, б) с углом установки, равным р. При этом окружность переходит в верхнюю и нижнюю стороны пластины. Плоскость С

(фиг. 10) является бесконечнолистной с особыми точками +

Каждому листу этой плоскости соответствует один период в пло

скости г решетки пластин.	Точки С = + — переходят соответственно
в точки х °0 плоскости z.	Перемещение вдоль оси решетки на шаг t

соответствует обходу точки (или---- по окружности малого

радиуса.

Характеристическая функция течения в плоскости z со скоростью,

равной в бесконечности w0 и	параллельной пластинам,	имеет вид
Zn	= woe~l?z.	(48)

Вычисляя слева от решетки в бесконечности циркуляцию ско рости вдоль отрезка, параллельного оси решетки и равного шагу, получим

Го = wot smfi.

Расход жидкости через этот отрезок будет

Q = wQt cos ,

тогда

Го + iQ = itwoe~l\

и соотношения (46) и (47) могут быть представлены в следующем

виде:

(«о

|- пЛ ,

2/3,

£-~т\

(оО)

z = -s-

—т + е

In ~.

2л

— mt1

Z — т/

Критические точки на

окружности

в случае бесцирку

ляционного

обтекания

связаны равенством

= пв + "■

Так

как

на кромках

пластины,

соответствующих

критическим

точкам

на

окружности

= е

‘»л

= е

*в

, производная

равна

нулю, то получаем

^*л. в =

(бП

Для определения длины пластины b на основании равенства (50)

получаем выражение

о 1

Л + 2m cos Р .

, 2т sin В1

|cos?-ln-

+ sinp.arctg

(52)

где

R — V1 + 2m2cos 2р + т4.

(53)

Формулой (52) устанавливается зависимость густоты решетки

от величин р и т.

частных случая.

Пусть

угол выноса

р = 0

Рассмотрим

два

(фиг. 8, в).

Тогда из (52)

получим

■ I

itь

m = th -г—

Аналогично при р

(фиг. 8, а) находим

т = tg-g- .

(55)

При Z

—> со (единичная пластина) получаем т

0 и R = 1.

В этом

случае из

(55)

следует, что для редких решеток

(56)

При t

= 0

(предельно

густая

решетка пластин)

величина т

равна

единице.

Для получения циркуляционного обтекания поместим в точках

£ =---- вихри

одинаковым

направлением

вращения

циркуляцией

В точках С

= +т размещаем два вихря гс

обратным направле-

нием вращения, с циркуляцией, равной---- Характеристическая функция этого течения будет

£2--- L_

г4лг Ш С2-т2 ’ х =Л1п_____ (57)

Величину циркуляции Г для круга найдем из условия схода потока в точке ( = е‘^в, соответствующей точке В пластины. Будем иметь

где а — угол средней векторной скорости, отсчитываемый от пла

стины .

Учитывая формулу (56) из равенства (58) в случае единичной пластины, получаем

n4 = ^TCSina.

Следовательно, коэффициент х, характеризующий относительную-

циркуляцию для решетки пластин с выносом, равным р, определяется

равенством

^ед. пл b TZ У1 + 2m2 COS 2р + tni

В соответствии с формулами (54) и (55) из (59) определяем ранее

найденные значения коэффициента х при р =у и =0 [формулы

(44) и (45)].

Графически зависимость (59)

представлена на фиг. 9.

Как известно, в расчетах


решеток широко			используется
понятие об эквивалентных ре
шетках пластин.			Под послед
ней понимается решетка, раз
вивающая		ту же циркуляцию,
что и заданная решетка профи
лей.	При ЭТОМ требуется, чтобы Фиг. И. Эквивалентная решетка пластин-
для	обеих	решеток значения

шага, угла нулевой подъемной силы р0, скорости натекания и угла р, были одинаковыми. Если для заданной решетки профилей (фиг. 11)- известны угол нулевой подъемной силы и разность потенциалов скорости в критических точках бесциркуляционного обтекания

(В) — <р (Д), то эквивалентная решетка определяется полностью. В самом деле, из равенства (49) получаем

? =	wot	! о 1 Я 4- 2/п cos В		, ■	а	,	2т sin р \	,сл.
? =		\C0SP'ln '	~T-/n2 н	+sin	р-arete		/).	(60).
Так как на окружности <\|>			= 0, то из (47)		находим
		И = —						(61).
		1	' W0

В соответствии с формулой (52) для длины пластины получаем зави симость

b =	(62>
ау0	v ’
Таким образом, если известны для решетки профилей <рл и	<рв,

а также угол нулевой подъемной силы р0, то при фиксированных значениях шага решетки и скорости натекания ау0 из равенства (52)

может быть определен параметр т для решетки пластин. Далее,, приравнивая потенциалы скорости для решетки пластин и решетки

профилей, можно найти конформное соответствие между точками

профиля и пластины и рассчитать любое обтекание решетки про филей по известному для нее бесциркуляционному обтеканию.

На основании формулы (58) легко показать, что безразмерная циркуляция осевого обтекания Г2 для предельно густой решетки

профилей 1 равна 2	[7]. Действительно, полагая в указанной фор
муле а = -^-----р, в	случае осевого обтекания	получим
	Г2 = —Ц- = 4		cos р. (63)
	Но	при t = 0 т --		1 и
	R =2 cos р. Следовательно,
		lim Г2	= 2.	(64)

-----г

Фиг. 12. Зависимость Г» от относительного шага и выноса решетки пластин.

Так как для произвольной решетки профилей решет

ка пластин может рассмат риваться как эквивалент ная, то полученное зна чение (64) для Г 2 остается

верным и для любой решетки из телесных профилей. Учитывая равенства (53) и (63), представим формулу (52) в виде

it *4- = cos Р ■ In	‘ р2 + 2 sin р -arctg(r2tg р).
t	Л — 1 2

При отсчете углов в соответствии с фиг. 8, в формула

иметь вид

-5— = r,cosp		—Г2 sin р		.
А	1 ОО	*	1 ОО

Тогда при Г = 0 получим

(65)

(13) будет

(66)

(67)

График зависимости (65) представлен на фиг. 12, откуда следует, что величина Г2, а на основании (67) и Tj практически не зависят

от шага	и угла	р, начиная с	<0,8, причем значение Г2 мало
отличается	при	< 0,8 от своего	предельного значения, равного
двум.

1 Под предельно густой решеткой понимается решетка с шагом t0, при котором имеет место соприкосновение профилей.

В соответствии с (41) формулы (18), (16) и (8)				запишутся в виде
				(18')
		‘« ’ = 4ттг‘^' + ттг;;		<16'>
		Г—tg 2 —tg i-		(8')
Переходя в выражении (18') к пределу при				/= 0 и, используя
формулы	(64) и (8'), получим
		Нт 0^\|?2.		(68)
Таким образом, для предельно густых решеток угол выхода потока
равен углу нулевой подъемной силы.
Далее,	так	как множитель 2Г2 в	формуле (18') меньше еди-
ницы, то	угол	нулевой подъемной силы	р0 меньше угла выхода р2

в случае турбинных решеток и больше р2 в случае компрессорных

решеток.

Из выражения (16') получаем известный результат о независи

мости угла выхода потока от угла натекания в решетках профилей

большой густоты (теоретически при t = 0)
— const-	(69)

Заметим, что формулы (68) и (69) выполняются практически при всех густотах решеток, применяемых в газо- и паротурбостроении.

В заключение этого параграфа остановимся на выводе формулы, связывающей потенциал скорости чисто циркуляционного обтекания с углом бесциркуляционного обтекания. Воспользуемся для этого

формулой (38).	схода потока z = х			на пластине	любого бесцирку
Для точки	схода потока z = х			на пластине	любого бесцирку
ляционного обтекания		под углом		р0 при Г == 0	имеем
		1/	sin2 я ~ — sin2 я
	(х)	arctg - ------------ .			(70)
				sin2 я - -
С другой стороны,		используя выражение (40), находим для потен
циала чисто циркуляционного			течения следующее выражение:
				X
				sin к
	?г W = “2^ arccos -------- а + С •				(7 0
				sin я —
				t
Учитывая,	что	,		/1 — fe2
		,		/1 — fe2
		arccos к — arctg-1—т—-,

получаем из равенств (70) и (71) с точностью до постоянной следующую

формулу [8]:

0 = 2ТС?г.	(72)
Так как решетка пластин с выносом р =	соответствующим

преобразованием может быть приведена к эквивалентной решетке пластин, то полученная формула остается справедливой и для решетки профилей произвольной формы при любых значениях шага и угла установки.

Таким образом, потенциал скорости в точке s чисто циркуля

ционного обтекания профиля равен такому значению угла бесцир

куляционного обтекания р0 (в долях 2тс), который определяет сход потока в этой же точке s.

Используя формулу (72), можно легко показать, что самое общее обтекание решетки профилей определяется непосредственно путем вычислений, если известны два любых обтекания решетки. Если же известно только одно бесциркуляционное обтекание, то общее обте кание находится путем применения метода конформного отображения.

6. ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВ. РЕШЕТКА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПЛАСТИН

Решетка кругов в отличие от решетки пластин определяется в геометрическом отношении одним параметром — густотой q. Выносу решетки пластин в решетке кругов соответствует положение точки схода потока 0В (фиг. 13).

Эффективное решение этой задачи об обтекании решетки кругов дано Н. Е. Кочиным [9]. Полученное им точное решение представ лено в виде тригонометрических рядов с коэффициентами, выра

женными также через ряды по степеням q. Скорость на окружности

в решетке кругов при обтекании ее с			циркуляцией определяется
по формуле
	«(9, Я) = «те[«1(0, <7)cos	и2(0, 9)sin J + z/r(0, q)^~,
где	и и 2 — скорости соответственно		бесциркуляционного попе
речного и продольного обтеканий		при их	= I; и? — скорость чисто
циркуляционного обтекания при		Г = t.

Учитывая, что направления продольного обтекания в системах координат, изображенных на фиг. 8, а и в, обратны одно другому,

последнюю формулу следует записать в виде

и (9, q) = [иг (0, q) cos + «2 (е- ?)sin J + “г (9, q) — • (73)

Опуская в дальнейшем значок *, для потенциала скорости на окружностях получим следующее выражение:

<Р (0, q) = nJ {<?i cos + <р2 sin I. + ?ГГ.

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
27.10.202320.06 Mб11Жуков А.В. Колебания лесотранспортных машин.pdf
#
23.10.20238.06 Mб4Жуков Д.В. Основы теории и техника сушки теплоизоляционных изделий.pdf
#
23.10.20234.15 Mб15Жуков Н.И. Философские основы кибернетики.pdf
#
19.10.20233.01 Mб9Жуков, В. А. Мастерские текущего ремонта жилых домов.pdf
#
19.10.20235.01 Mб10Жукова-Малицкая, Г. А. Математическая физика учебное пособие.pdf
#
30.10.202315.1 Mб18Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин.pdf
#
29.10.20231.77 Mб9Жуленев В.В. Вращающиеся преобразователи материалы лекций.pdf
#
23.10.20237.77 Mб11Жунгиету Г.И. Оксиндол и его производные.pdf
#
20.10.20238.6 Mб19Жунина, Л. А. Пироксеновые ситаллы.pdf
#
19.10.20235.02 Mб13Жунке, А. Ядерный магнитный резонанс в органической химии.pdf
#
21.10.20239.15 Mб4Журавлев, В. А. Теплофизика формирования непрерывного слитка.pdf