книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин
.pdfГЛАВА IV
ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТОК СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ
19.ДОКРИТИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТОК
Сувеличением скорости потока изменяется характер обтекания тела. При обтекании профиля с относительно большой вогнутостью
это изменение имеет место главным образом на его выпуклой стороне,
где возрастают и смещаются вниз по потоку пики скорости. Действие
сжимаемости зависит от типа профиля и характера его обте кания.
При безотрывном обтекании поворот потока, осуществляемый решеткой, увеличивается.
Увеличение поворота потока, а следовательно, и окружного усилия зависит от числа М набегающего потока, типа решетки, шага и угла установки профилей.
Вслучае небольших чисел М изменение этих величин невелико
ивлиянием сжимаемости можно -пренебречь. Ошибка в величине
давления, возникающая при неучете сжимаемости, составляет при скоростях порядка 100 м/сек. примерно 2%.
Уравнения движения идеального газа в физической плоскости
(х, у) являются, как известно, нелинейными. Преобразование их к новым независимым переменным в плоскости годографа скорости
(w, 3) позволяет получить точные линейные уравнения. Впервые
такое преобразование применил С. А. Чаплыгин в 1902 г. [52], получивший систему уравнений:
где |
k — 1 ю2 (а* — критическая скорость); р —угол между каса- |
тельной |
к линии тока и осью ох. |
168
Получение решения точных уравнений (1), удовлетворяющего граничным условиям, также сопряжено с трудностями, так как область течения в плоскости годографа заранее неизвестна. В работе
С. А. Чаплыгина решение этих уравнений дано для струйных тече ний газа. Для случая обтекания крылового профиля С. А. Хри стиановичем [53| предложен метод интегрирования путем последо вательных приближений уравнений (1), преобразованных к симмет
ричному виду
Фиг. 70. Зависимости Д' и Л от Z.
Наряду с физической плоско?
стью z — х + iy обтекания со ско
ростью w профиля С вводится плоскость некоторого фиктивного
обтекания |
несжимаемой |
жидкостью профиля С. Величина X (X = |
||||
— —, где |
w — скорость |
течения |
в плоскости фиктивного потока) |
|||
* |
X |
|Х = |
при помощи следующего соотношения: |
|||
связана с |
||||||
|
7 |
9/ -I / |
|
. |
- |
/ (5) |
|
|
\ |
(/г-;-1)й+1 |
I |
(А — t/)*-1 (L7 ч- 1)2 ’ |
|
где |
|
|
|
|
|
|
Величины |
X |
выражаются через |
|
числа М по известной формуле |
||
Графики зависимостей К и X от X представлены на фиг. 70.
Не останавливаясь на подробном рассмотрении решения С. А. Христиановича, приведем приближенный метод, основанный на использовании соотношения (5). Приближенный способ учета сжимаемости основан на предположении, что при некотором числеМ
169
различием между профилями С и С можно пренебречь. Соотношение
(5) используется при этом для приближенного вычисления величин w
по значениям скоростей w на поверхности профиля несжимаемого
обтекания. Задавая число М», находим |
при |
помощи (6) значение |
|
Л» |
и из (5) А'». Распределение величин |
X |
на профиле находится |
из |
равенства |
|
|
после чего определяются из (5) значения X.
Выполнение такого расчета удобно производить |
графически. |
||
С этой целью можно |
при помощи равенств (5) |
и |
(6) построить |
графики зависимости |
|
|
|
|
= А = /(Х, МД |
|
(8) |
Эти графики для |
случая k — 1,4 изображены |
на |
фиг. 71. |
Результаты вычислений приведены в табл. 24.
Указанные зависимости можно представить также в ином виде, решив уравнение (8) относительно М„
или
(9)
170
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 24 |
|
Вычисление зависимости |
Л от Л и |
Мю |
|
|
|
|
||
М„ =0,1 |
Мм=0,2 5^=-0,3 |
= 0,4 |
Мот=0,5 Мм=0,6 М„=0,7 М„=0,8 Мсо=0,9 |
= 1,0 |
|||||
>„ = |
~L = |
>.= |
к = |
>оо = |
>оо = |
>оо = |
к = |
>оо = |
>оо = |
= 0,1092 |
= 0,2160 |
= 0,3185 |
= 0,4143 |
= 0,5019 |
= 0,5794 |
= 0,6470 |
= 0,6989 |
= 0,7378 |
= 0,7576 |
м |
А |
Л |
А
>ео
|
0,1 |
0,1094 |
0,1092 |
1,0 |
0,5053 |
0,3428 |
0,2635 |
0,2175 |
0,1884 |
0,1687 |
0,1562 |
0,1480 |
0,1441 |
|
0,2 |
0,2182 |
0,2160 |
1,9790 |
1,0 |
0,6784 |
0,5214 |
0,4305 |
0,3728 |
0,3339 |
0,3091 |
0,2928 |
0,2851 |
' |
0,3 |
0,3257 |
0,3185 |
2,9174 |
1,4742 |
1,0 |
0,7686 |
0,6346 |
0,5496 |
0,4922 |
0,4557 |
0,4317 |
0,4203 |
j |
0,4 |
0,4313 |
0,4143 |
3,7956 |
1,9179 |
1,3010 |
1,0 |
0,8256 |
0,7151 |
0,6404 |
0,5928 |
0,5616 |
0,5469 |
|
0,5 |
0,5345 |
0,5019 |
4,5975 |
2,3231 |
1,5758 |
1,2113 |
1,0 |
0,8662 |
0,7756 |
0,7181 |
0,6802 |
0,6624 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
0,6348 |
0,5794 |
5,3078 |
2,6820 |
1,8194 |
1,3984 |
1,1545 |
1,0 |
0,8955 |
0,8290 |
0,7854 |
0,7648 |
|
0,7 |
0,7318 |
0,6470 |
5,9273 |
2,9950 |
2,0317 |
1,5616 |
1,2892 |
1,1167 |
1,0 |
0,9258 |
0,8770 |
0,8540 |
|
0,8 |
0,8251 |
0,6989 |
6,4024 |
3,2352 |
2,1946 |
1,6868 |
1,3926 |
1,2062 |
1,0802 |
1,0 |
0,9473 |
0,9225 |
|
0,9 |
0,9146 |
0,7378 |
6,7585 |
3,4151 |
2,3166 |
1,7806 |
1,4700 |
1,2733 |
1,1402 |
1,0556 |
1,0 |
0,9738 |
|
1,0 |
1,0 |
0,7576 |
6,9405 |
3,5071 |
2,3790 |
1,8286 |
1,5096 |
1,3076 |
1,1710 |
1,0840 |
1,0269 |
1,0 |
I
Следует напомнить, что излагаемый приближенный метод приме
ним при не очень больших местных значениях чисел М (М < 0,8),
так как при больших значениях чисел М нельзя пренебречь разли
чием между профилями С и С.
Приведем в качестве иллюстрации |
пример расчета |
скоростей |
||
по приближенному |
методу |
С. А. Христиановича для |
турбинной |
|
решетки профилей |
Т1 при |
Mj = 0,52 и |
= 20°. Значение чисел |
|
X, и Х, равны Xj = 0,555 и X, = 0,517. Отношение X/Xj определяется согласно уравнению (7) на основании данных по обтеканию решетки несжимаемой жидкостью, рассчитанному по ранее изложенному
Фнг. 72. К приближенному учету сжимаемости:
----------------- — расчет |
по |
Христиановичу, |
|
---- — опытная |
зависимость. |
|
|
методу (гл. III, п. 14). Сопоставление результатов расчета с |
опыт |
||
ными данными дано на фиг. 72. В области высоких чисел М2 |
0,85 |
||
расхождение составляет примерно 6%. |
|
|
|
Путем обратного перехода от величин X к величинам X, соотно шение (5) может быть также использовано для приближенного учета сжимаемости при решении второй обратной задачи.
Широкое развитие получили также методы, основанные на пред
ложенном С. А. Чаплыгиным решении приближенных уравнений в плоскости годографа, который получается при замене изэнтропы
р — ськ |
(10) |
касательной к ней в какой-либо характерной точке. |
приближения |
Остановимся на более подробном рассмотрении |
С. А. Чаплыгина. Пусть уравнение изэнтропы (10) заменено линей ной зависимостью между р и 1/р
Р-Л+-А. di)
Постоянные А и В выбираются так, чтобы прямая, определяемая
уравнением (11), касалась изэнтропы в какой-либо характерной точке pt, 1/р, (фиг. 73). Тогда уравнение (11) может быть представ лено в виде
Р = Р. 4- а2?2 Ц--------М. |
(12) |
|
* * \ г |
г / |
|
172
В случае линейной зависимости (12) функция К равна единице. Условие
К = |
1/ 1 — М2 =- 1 |
(13) |
Р |
г |
|
может быть получено, если формально принять для показателя изэнтропы (10) значение k равным— 1. Полагая в уравнении Бер нулли для сжимаемого газа k = — 1, получим
|
|
'о = а‘2’ |
(14) |
где а0 — скорость |
звука, |
определяемая по параметрам торможе |
|
ния газа. Из (14) |
следует, |
что в рассматриваемом |
приближенном |
методе скорость потока не может достигать скорости звука.
Обратимся теперь к уравне ниям (2). Полагая в них К = 1, получим
d<f |
_ |
di |
|
|
|
|
'd0 |
— ~dS |
i |
(15) |
|
|
|
dtp |
|
di |
|
|
||
~dS - ~ dp j |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
dS = ]/ |
1 —M2 |
|
(16) |
|
|
|
Эти уравнения по форме не |
|
|
||||
отличаются |
от |
соответствующих |
|
|
||
уравнений в плоскости S и р |
для |
|
|
|||
несжимаемой жидкости, причем |
|
|
||||
|
|
|
|
(17) |
Фиг. |
73. К линеаризации уравнения |
|
|
|
|
|
|
изэнтропы. |
Из уравнений (15) |
следует, |
что ср |
+ |
есть регулярная функция |
||
от комплексного переменного S — ZJ3.
Течения сжимаемой и несжимаемой жидкостей будут удовле
творять одному и тому же уравнению в плоскости годографа ско рости, (если положить
Следовательно, на основании равенств (16) и (17) |
можно написать |
||
dw = ]/ |
1 — М; |
dw |
(19) |
|
|
W |
|
Введем характеристическую |
функцию течения |
в плоскости С |
|
ср -J- = u;IT (С),
173
тогда для сопряженной скорости можем написать
we~'Р =
dW dl •
Интегрируя уравнение (19) и используя условие
получим
или
где
(20)
(21)
(22)
(23)
Зависимость между плотностью газа и скоростью w получим,
воспользовавшись условием Чаплыгина (13). Учитывая равенство (14),
находим
1 — —г
р |
_ |
4ао |
?0 |
|
(24) |
|
|
|
Для установления связи |
между |
геометрическими элементами |
в плоскостях z и С напишем условие для приращения потенциала
скорости
dv <= wds = wda, |
(25) |
где через s и о обозначены дуговые элементы линий тока соответ
ственно в плоскостях г и С- |
Используя формулу (21), |
можем написать |
|
, |
, |
w2 , |
(26) |
ds --- da-------- т da. |
|||
174
Умножая обе части равенства (26) на е‘ и учитывая формулу (20), получим
(27)
где
(28)
Черта сверху в соотношении (27) обозначает сопряженную величину, а значком * отмечены величины, вычисленные при р = pt и Р = Р,.
Вслучае циркуляционного обтекания профиля область течения
вплоскости С, вследствие многозначности характеристической функ ции, многолистна. Поэтому применение соотношения (27), связы
вающего непосредственно плоскости z и (, позволяет определить лишь бесциркуляционное обтекание профиля [54, 55].
При замене функции (4) ее значением в бесконечности цирку ляционное обтекание профиля определяется по первому приближе
нию С. А. Христиановича.
Построение обтеканий профилей с циркуляцией при использо
вании линейной связи (12) между р и |
осуществляется путем устра |
|
нения неоднолистности отображения |
областей Сг и G; [6]. |
Это |
достигается введением некоторой канонической области G- с изве |
||
стной границей. Функция С, (т), связывающая области G> и |
G-, |
|
находится из условия получения взаимного однозначного преобразо вания области G- на область Gz. Если область G- представляет
собой внешность круга или решетки кругов, то значению т = со соответствует z — оо. Соотношение, осуществляющее это отображе
ние, принимает вид
. dZ , |
/ rfW7 \2 |
dt , |
|
dz=-rdx — u. |
\ |
—з—) |
-yr-йт. |
d-t |
dr / |
dC |
|
(29)
' '
Эффективное решение задачи об |
обтекании |
газом профилей |
|
и решеток профилей с циркуляцией |
в |
такой |
постановке полу |
чено Л. И. Седовым [6]. В работе |
Л. |
И. Седова рассмотрены |
|
задачи об обтекании газом с циркуляцией заданного профиля и задан ной решетки профилей, а также даны методы построения обтекания профилей и решеток профилей, близких к заданным. Указанный метод был в дальнейшем применен в ряде работ.
20. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Применим метод Л. И. Седова к задаче об обтекании газом решеток профилей в случае, когда канонической областью является внеш ность решетки кругов GT [56| (ЦКТИ, 1951).
Обозначим скорости в бесконечности в области течения газа слева и справа от решетки профилей через и . Эти же
175
скорости в области G\ обозначены через, |
и |
w^1 (фиг. 74). |
В бесконечнолистной области фиктивного потока |
обтеканию газом |
|
решетки профилей будет соответствовать течение несжимаемой жидкости.
Для установления связи между областями Gr и G- |
введем функ |
цию |
|
: = c;T-L.;igsi>4 т |
(зо) |
Фиг. 74. Области Gz и б'_
где
(31)
(32)
Функция F (?) есть аналитическая, периодическая в области G-, принимающая постоянные значения в бесконечности.
В области Gz функция С (т) — имеет различные периоды
в бесконечности слева и справа от решетки. Отношения этих перио
дов к шагу |
решетки кругов определяются величинами |
и |
/С,- |
Величина |
приближенно характеризует деформацию области |
G; |
|
176
в окрестности полосы, параллельной мнимой оси и содержащей начало координат. При полном обходе по кругу в положительном направлении смещение в плоскости С может быть представлено выра жением
|
|
|
АС = ч2тй. |
|
|
|
|
(34) |
||
Сопряженная скорость течения в области G- |
при |
Г# О |
предста |
|||||||
вляется |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ие~‘а |
= uODe~laco + |
cth ~ т + f (т), |
|
|
(35) |
|||
где |
а — |
+ 6, |
и» — величина средней |
векторной |
скорости; |
|||||
|
|
+ ич], |
— угол |
между |
вектором |
их |
и |
веще |
||
|
|
|
ственной |
осью; |
|
|
|
|
||
|
|
/ (т) — регулярная |
вне |
кругов |
периодиче |
|||||
|
|
|
ская функция, обращающаяся в нуль |
|||||||
|
|
|
при т = +оо. |
по условиям на бес |
||||||
Если выбрать постоянную ц* |
в формуле (29) |
|||||||||
конечности до |
решетки, то получим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Л = £ -1., |
|
|
|
|
|
|
(36) |
|
где
Скорость течения в области G( определяем по формуле
~ |
~ dw |
—ia d~ |
(38) |
w~ |
w'-dl=ue ~dc |
||
Воспользовавшись соотношением (36), получим из условия |
|||
однозначности соответствия |
между |
областями Gz и |
GT следующие |
формулы: |
|
|
|
1 — p2e2,f,s
(40)
где
1 — j/ 1— М21
(41)
1 +|/ 1 - М2
12 М. и. Жуковский |
700 |
177 |