книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин
.pdfФиг. 22. Зависи
Для точек С и D на окружности (фиг. 19) имеем приближенные выражения
|
(30) |
где |
|
rx = h -j- 8 sin to 4* |
-----82 cos 2w |
|
(31) |
г2 = — h — & sin w -|- |
-----82 cos2 <o. |
Обозначая через (zc, yc) и (xD, yD) точки на профиле, в которые
переходят точки Си/?, получим для и f2 следующие выражения:
Фиг. 23. К определению /1, /г и d
АВ = b0,~OC = h,'0b = f2,DC=d).
fi = |
xc + Ус; |
(32) |
f2 — ]/ Xd + Уо- |
(33) |
|
Координаты точки |
профиля, |
|
в которую |
переходит |
точка С |
окружности, определим, полагая
в формулах (23)
&с = — zysin 90;
7Jc = r1cos е0.
При помощи формул (23) вы числим также значения xD и yD, положив
|
== riSin 60; |
|
|
|
i)D = — |
sin 90. |
|
Вогнутости профиля |
и f2 зависят соответственно от величин |
||
G, Го, Т1о и г2, Го и т|0. |
|
_ |
|
Графики зависимостей |
О0 и Оо |
от «£0, "п0, г1)2 |
даны на фиг. 24, |
25 и 26. Правые ветви кривых соответствуют |
а левые — поло |
||
жительным значениям f2. Отрицательные значения f2 совпадают при
одинаковых г с величинами Отношения ~~ для различных значений г, 10 и т1о приведены
в табл. 3.
Примем в качестве характерной толщины профиля отрезок d', соединяющий точки ?с- и zd' профиля (фиг. 27), которые
52
Фиг. 24. |
Зависимость /112/60 |
Фиг. 25. |
Зависимость Л,2/60 |
от |
£0, т10 и г112. |
от |
Ео, т)0 и г112. |
Фиг. 26. Зависимость /112/60 от £0, |
Фиг. 27. К определению толщины |
^0 И Г1'2- |
профиля d'. |
53
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
Таблица величин -т— в зависимости |
от Ej0 и т1<> |
|
|
|
|
Т]й = 0,15 |
т)о = 0,20 |
т]0 = 0,25 |
|
Г |
Л |
/, |
h |
|
|
|||
|
|
Ьо |
ьи |
60 |
0,15 |
0,15 |
—0,180 |
—0,273 |
—0,364 |
|
0,20 |
—0,034 |
—0,119 |
—0,201 |
|
0,25 |
0,077 |
—0,009 |
—0,087 |
|
0,30 |
0,168 |
0,083 |
0,014 |
|
0,35 |
0,251 |
0,160 |
0,071 |
|
0,40 |
0,326 |
0,230 |
0,148 |
|
0,45 |
0,397 |
0,295 |
0,209 |
0,20 |
0,15 |
—0,272 |
—0,349 |
-0,435 |
|
0,20 |
—0,118 |
—0,188 |
—0,262 |
|
0,25 |
—0,008 |
—0,074 |
—0,144 |
|
0,30 |
0,083 |
0,015 |
—0,054 |
|
0,35 |
0,161 |
0,089 |
0,023 |
|
0,40 |
0,230 |
0,155 |
0,085 |
|
0,45 |
0,293 |
0,213 |
0,142 |
0,25 |
0,15 |
—0,335 |
—0,431 |
—0,511 |
|
0,20 |
—0,199 |
—0,258 |
—0,326 |
|
0,25 |
—0,084 |
—0,141 |
—0,204 |
|
0,30 |
0,015 |
—0,052 |
—0,112 |
|
0,35 |
0,084 |
0,027 |
—0,039 |
|
0,40 |
0,149 |
0,087 |
0,023 |
0,30 |
0,45 |
0,208 |
0,142 |
0,076 |
0,15 |
—0,449 |
—0,513 |
-0,589 |
|
|
0,20 |
—0,273 |
—0,327 |
—0,392 |
|
0,25 |
—0,153 |
—0,204 |
—0,263 |
|
0,30 |
—0,064 |
—0,112 |
—0,169 |
|
0,35 |
0,031 |
—0,045 |
—0,096 |
|
0,40 |
0,087 |
0,041 |
—0,041 |
|
0,45 |
0,143 |
0,088 |
0,033 |
П р и м еч а |
и е. Для построения зависимостей —- знаки величин -yi- изменяются |
на обратные |
&0 |
== -Л>- |
54
соответствуют |
точкам С и |
D' окружности L2 (фиг. |
19). Разлагая |
||
в ряд Тейлора в окрестности точки О2 функцию |
|
||||
|
z-C = /A>ncth^(C* + 6), |
|
|||
получим |
|
|
|
|
|
Z = С + tKe‘i jcth *- С* + -fj |
cth 4 С* -1- |
||||
|
+ -|; |
* |
£*+...] |
(34) |
|
|
|
|
I |
|
|
Здесь через |
обозначено |
комплексное |
переменное |
число в пло |
|
скости С. имеющей начало координат в точке О2, так что |
|||||
|
4 С * (С') = 4 |
= 4 ien*; |
(35) |
||
|
|
|
|
|
(36> |
Учитывая, что Z* (С) -- —С*(Р') и отбрасывая в соотношении (34) члены со степенями малой величины е выше первой, получим
d'=|z(C')-z(D')| = 2|z(C')| = 2/4' + //с' =
- 2 IC, (С') + |
(С')!. |
(37) |
Из сравнения величин Сс и |
С* (С') находим, что, |
согласно фор |
мулам (35) и (37), значение толщины профиля может быть выражено
через вогнутость flt |
если положить 4 = 4’ ^Ри этом величина d |
||||
равна |
удвоенному значению ft, |
т. е. |
|
||
|
|
|
Л' = 2(Л)_ |
(38) |
|
|
|
|
|
''С=-2- |
|
|
При построении решеток, близких к заданным, полученные зави |
||||
симости позволяют определить параметры |
преобразования q, 9В, р- |
||||
и |
v по заданным Ьо, |
, /у и d' (или /у и f2). По значениям величин |
|||
Ьо |
и |
по графикам фиг. 21 определяем |
и ц0. Затем по заданным |
||
ft |
и f2 находим при помощи графиков фиг. |
24, 25 и 26 величины гс |
|||
и |
rD. |
Значения 8 и |
<о вычисляем из формул (25). Будем иметь |
||
|
|
|
» = arctg |
; |
|
|
|
|
|
Го + 'Л |
|
|
|
|
О = |
Г1Т2 — <0 |
|
|
|
|
2r---------0 cos ы . |
|
|
55
Затем из последней формулы (25) находим величину q и из фор
мул (24) вычисляем значения ц и Координаты профиля рассчи
тываются при помощи равенств (23).
Приведенные соотношения позволяют осуществлять построение решеток по заданному треугольнику скоростей и заданным значениям
|
|
|
* |
|
|
|
|
д. |
d |
|
|
относительного шага -у и толщины |
профиля |
-у. |
|
||||||||
Пусть |
заданы |
величины |
-у , i и 2- |
Приближенное значе |
|||||||
ние угла установки может быть определено |
по |
формуле |
|
||||||||
По значениям |
и |
р при |
помощи |
графика, |
приведенного |
на |
|||||
фиг. |
21, |
находим величины |
Го |
и |
ц0. |
По заданной толщине про |
|||||
филя |
|
по графикам |
фиг. 24, |
25 |
и |
26 определяем величину q |
|||||
|см. |
(38)]. Значение 6В |
находится |
после этого из уравнения |
|
|||||||
|
|
|
<7) + 4““2(е’ |
|
|
|
+ |
|
|||
|
|
|
-Fur(0, ?)(tgp2 — tg 1)]0 = 9B = 0. |
(40) |
|||||||
Зная £0, %i0, q и 6В, определяем из формул (24) и (25) величины v и для искомой решетки профилей, осуществляющей заданный поворот потока.
Класс профилей, получаемых по указанному методу, может быть существенно расширен, если вместо решетки кругов взять решетку овалов. Последняя предварительно рассчитывается путем отображения решетки кругов (фиг. 18) при помощи функции (22).
Угол установки овалов и их относительная толщина определяются
по дополнительным условиям в отношении распределения толщины профиля.
Для облегчения вычислений, связанных с отображением решетки
кругов на решетку овалов или отображением некоторой канони ческой области на решетку профилей, могут быть составлены таб лицы функций [22].
sh |
cos 6) |
|
|
ch (nt; cos 0) — cos (тс<7 sin 9) |
(41) |
||
sin (tcq sin 9) |
|||
|
|||
ch (л<? cos 9) — cos (itq sin 9) |
|
||
Величины У, и V2 являются вещественной и мнимой частями |
|||
cth -у-С, т. е. |
|
|
|
cth^-C = Vx |
+ iV2. |
|
|
56'
Вычисление функций
Ф, = |
sh 2тД |
— |
||
------ —--- ----- |
||||
|
ch 2 тс£ |
— cos 2лт] |
||
, |
sin 2л т |
(42> |
||
==—* |
||||
Ф2 ==----------“ |
|
|||
|
ch 2 тс£ |
— cos 2лт] |
||
входящих в формулы (23), |
осуществляется следующим образом. |
|||
В плоскости С в достаточно большом масштабе (t = 500 мм) строится окружность L2 и снимаются точки S — -^cosft и ц = sin & через
10° (или 15°). Далее, полагая |
и 0- = 6, |
находим |
при по |
|||||
мощи заранее построенных |
графиков |
функций |
|
и V2 |
значения |
|||
величин ф! и ф2- |
|
|
|
|
|
|
||
Вычисление координат х, |
у профиля выполняется по формулам |
|||||||
|
|
* = |
cos 8 ~ |
+ Н |
|
|
(43) |
|
|
|
у = -g- sin 0 + Рф2 -ф- |
+ v. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Определение скоростей |
на поверхности профиля производится |
|||||||
по |
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^(s) = «(6, |
|
|
|
|
||
При построении решетки профилей путем отображения решетки |
||||||||
овалов со |
смещенными центрами на |
величину |
е |
+ ikt |
(k = CR |
|||
+ 1, |
+2,. . |
. ) координаты овалов рассчитываются |
по формуле |
|||||
|
|
Т = С* + tK'e'i' cth-^- С*, |
|
|
|
|||
где С* = Re‘9, а AV'*' — комплексное постоянное |
|
число, |
опреде |
|||||
ляемое по |
формулам (18). |
|
|
|
|
|
|
|
Распределение скоростей на профиле определяется в этом случае
по |
равенству |
|
|
|
г-. |
dz |
и |
"dT |
находятся при помощи соотношении |
Производные-^- |
а*-,* |
|||
|
а7 |
|
|
|
|
|
|
|
{(ф? - - 1) + 2/ф^}; |
|
|
|
1-^'^' {(Vf-у*-1) + 2П/ДЛ,}. |
|
|
Входящие в последние соотношения функции ф1т ф2, Vi и V2 |
|||
определяются по |
формулам (41) и (42). |
|||
□7
При вычислении скоростей значение угла выхода р2 уточняется из условия равенства скоростей в точке резкого их падения вблизи
выходной |
кромки. |
нашел дальнейшее развитие в ряде работ. |
|||
Изложенный |
метод |
||||
В работе Л. А. |
Дорфмана [23] разработан метод построения решеток |
||||
путем |
отображения решетки |
овалов. В работе С. Ф. Абрамовича |
|||
и М. |
И. |
Жуковского |
[24] |
предложено графоаналитическое реше |
|
ние задачи о построении решеток при помощи функции (22). Другой
графоаналитический метод профилирования решеток указан Б. Н. Зориным.
Приведем пример расчета компрессорной решетки профилей
рабочих лопаток по заданным значениям углов и р2, густоты
и толщины-^- . Значения этих величин выбираются равными pj = 58°,
р2 = 33°, -р = 1,33 |
и —у- = 0,1. |
Угол выноса |
вычисляем по фор |
||||||
муле (39) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
= |
(58° |
+ 33°) = 45°30'. |
|
|||
Значения |
и |
т10 |
находятся |
при помощи |
графиков фиг. |
24 |
|||
|
|
|
Fo = 0,25 |
|
и |
Т|0 — 0,15. |
|
|
|
Величина q определяется по графикам -у- в соответствии |
с фор |
||||||||
мулой (38). |
Для |
|
|
---- у = 0,1-0,75 = 0,075 находим в соот |
|||||
ветствии с формулой (38) |
из фиг. |
24 |
|
|
|||||
|
|
|
|
q - 0,64. |
|
|
|||
Угол 9В , определяющий точку схода потока на окружности, |
|||||||||
находится путем |
графического |
|
решения уравнения (40). Значение |
||||||
9В получено |
равным |
|
9В |
= 21°07'. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Из формул (25) последовательно вычисляем по найденным вели |
|||||||||
чинам £0, -»10, q и 9В |
значения r0, 90, w, h и 3. |
|
|||||||
Величина |
3 |
получена равной |
|
|
|||||
|
|
|
|
8 |
= 0,0241. |
|
|
||
Для построения |
решетки |
профилей со скругленной выходной |
|||||||
кромкой полагаем
7, = 0,75 Т= 0,018.
Величины р- и v, определяющие смещение центра окружности L2,
вычисляются по формулам (26)
Р- = —Asin90 — 31 cos % = —0,0428;
v — h cos 90 — 8]Sin90 = 0,0368.
58
Полагая в |
формулах |
(23) |
|
I = —0,0428 + 0,32 cos 9; |
|
|
-Q |
= 0,0368 + 0,32 sin 9, |
вычисляем |
координаты |
профиля. Профиль рассчитанной решетки |
изображен на фиг. 28. Значения густоты, выноса и толщины профиля
получены равными ~ = 1,33, В —45°
и А = 0,09.
Отображающая функция в случае
произвольной решетки профилей. Рас смотрим в области Gz обтекание произ
вольной решетки профилей с шагом,
равным t. В области Gc возьмем решетку кругов единичного радиуса того же шага. Будем считать, что на значитель
ном удалении слева и справа от решет ки оси координат в плоскости z парал лельны осям в плоскости С. Отсюда следует, что в бесконечности выпол
няется равенство
Фиг. 28. Профиль диффузорной решетки.
и функция, осуществляющая конформное отображение области
течения |
G; |
на |
область |
течения |
Gz, |
имеет |
вид |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z = С + F (С), |
|
|
(44) |
|||
где F (С) |
— регулярная |
во |
внешности |
решетки |
кругов |
функция |
||||||
с периодом it, равная постоянным величинам при С ~ +оо. |
||||||||||||
Для |
определения |
такой функции может быть применена обоб |
||||||||||
щенная |
формула |
Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F (0 = |
|
f F (т) cth Л- (С - т) dx. |
|
(45) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
Интегрирование |
ведется |
в (45) |
по |
окружности |
С. |
предста |
||||||
В работе Г. С. |
Самойловича |
[10] |
соотношение (45) |
|||||||||
вляется |
в |
виде |
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (С) - |
|
'V (Г.1) С~<.'■+!>_. JL cth ~ С, |
(46) |
|||||||
|
|
v |
|
i |
Z I |
nl |
|
dtn |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(47> |
59
Отображающая функция
ОО |
|
|
|
Z = с + 4- 'V -(~ ° c7(,i+1) . |
|
cth 4 с |
(48) |
/ / |
я! |
dC |
t v ' |
п = о |
|
|
|
может быть получена также путем обобщения формулы (34), выпол няющей преобразование решетки кругов на решетку профилей част ного вида.
В случае произвольной решетки профилей коэффициенты ряда
(34)
я!
следует заменить произвольными комплексными числами А„ с убы вающими при увеличении п модулями. При этом, если сделать замену
Л /2 ' П\
то |
ряд |
(34) примет |
вид, аналогичный |
(48). |
удобно |
представлять |
|
в |
В практических |
расчетах |
разложение |
(48) |
|||
виде |
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = С + 2 с!„Гл+ 2 спе, |
(49) |
||||
|
|
|
п = 1 |
п = 1 |
|
|
|
указанного также в работе Г. |
С. Самойловича |
[17]. Разложение (49) |
|||||
получается из ряда (48) путем перегруппировки его членов и исполь
зования |
известной |
формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
cth JL С = ± |
V |
|
|
( JL V* |
. |
|
|||
|
t |
t |
с |
/, (2k)\ |
\ t ) |
|
|
|||
|
|
|
|
k = I |
|
|
|
|
|
|
где Bk — числа |
Бернулли. |
|
|
|
|
и с*_п связаны равенством |
||||
В разложении (49) коэффициенты с* |
||||||||||
|
|
|
сп — 2 М п, |
k |
Я |
с— (2Л — Л)> |
|
(50) |
||
где |
|
|
(*> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/__ 1 |
\П |
1 |
D _2& |
|
1) |
||
|
|
|
М* = 2k (2* — я— 1)! 2я! ’ |
|
||||||
|
2 |
|
решетки |
кругов. |
|
|
|
|
||
q = —----- густота |
|
|
|
|
||||||
Суммирование в равенстве (50) ведется от k = —при |
нечет- |
|||||||||
ных пи |
, |
я — 2 |
четных. |
|
|
|
|
|||
от k — |
—— при п |
|
|
|
|
|||||
60