книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин

Разложения для uL, и2 и иг могут быть представлены в виде

«1 = — 2 62„_iSin (2п — 1)9 ;

п = 1

ОО

«2 = У a2„_1cos(2n—1)9;

п = 1

«г = -^- 2 c2ncos2n9.

п = О

Потенциалы скорости поперечного, продольного и чисто цирку­ ляционного обтеканий определяются при помощи формул

е

<Р1 = ~f~ J «1(9. <7)^9;

о

0

<?2= -f- f u2(b,q)M',

b

Величины «2п-1» ^2n-i и с2п определяются путем

решения соответствующих систем по четным степеням величины q.

Использование аналити­ ческих выражений для опре­ деления коэффициентов а2л_1>

Ь2п_1, С2п позволяет получить Фиг. 13. Решетка круговых цилиндров,

решение с приемлемой точ­

ностью до значений q, равных 0,55—0,6. Вычисление этих коэффи­ циентов для больших значений q сопряжено с необходимостью удержания в рядах очень большого количества членов. Это затруд­ нение может быть устранено, как показано Г. С. Самойловичем [10], получившим простое решение данной задачи, если коэффи­ циенты а2„_1( &2п~1и с2п определять не аналитически, а численно.

Решение задачи об обтекании решеток контуров, близких к кру­

1 Графики функций даны в соответствии с отсчетом углов, указанным на фиг. 13.

29

При обтекании решетки кругов вдоль ее оси критические точки

ционного обтекания значения критических точек 6Л и 9В находятся из уравнения

Для координаты s, отсчитываемой вдоль пластины сверху и снизу, соответственно имеем

= ?i Я) cos Йо -ф ф2 (0, q) sin fJ0.

При вычислении координат пластины по формулам (74) середина пластины проходит через начало координат.

30

Густота решетки пластин рассчитывается при помощи соотно­

кругов и значение 8В могут быть определены из формул (72') и (75)

или из графиков фиг. 15. При этом величины -у и для решетки

позволяет при помощи простого пересчета вычислить циркуляцион­ ное обтекание решетки профилей по бесциркуляционному обтеканию, определяемому, например, методом, основанным на ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия).

31

7. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Этот метод позволяет построить обтекание вокруг сложного и произвольного контура (или системы контуров) при помощи извест­ ного обтекания более простого тела, скажем, кругового цилиндра.

Напомним основные свойства метода конформных отображений.

Конформное отображение характеризуется тем, что окрестность точки £ области G? при отображении в окрестность точки z области Gz испытывает поворот и растяжение или сжатие. Угол поворота х определяется аргументом производной, отображающей функции

/(г),

X= arg f' (С),

акоэффициент растяжения (сжатия) равен модулю /' (£)

Если в точке £ области Gr взять две кривые, то угол между каса­

тельными к ним сохранится при отображении. Коэффициент растя­ жения (сжатия) h зависит только от £ и при фиксированном £ сохра­

няет постоянное значение для всех направлений. Такое отображение

можно поэтому рассматривать как преобразование подобия в беско­ нечно малых частях.

Из указанных свойств конформного отображения следует, что

при отображении одной области течения в другую сохраняется взаимная ортогональность линий токов и изопотенциальных линий. При этом сохраняются и значения постоянных для линий токов и изопотенциальных линий, а следовательно, остается неизменной

величина циркуляции

ГУкон Унач'

Критические точки на обтекаемом контуре переходят при отобра­

жении также в критические точки.

Конформность отображения нарушается в точках, где функ­ ция / (С) не регулярна, т. е. где ее производная равна нулю

Как это следует из теории функций комплексного переменного взаимно однозначное конформное отображение однолистной одно­ связной области Gr обеспечивается, если функция z = / (С) является регулярной в области G. если заданная точка £0 (£0, ^о) и какое-

либо направление в ней, определяемое углом р0, переходят в задан­ ную точку z0 (х0, у0) и направление в ней pi*.

Тремя параметрами преобразования (£0, т(0, и р0) можно распо­ рядиться различным образом. При отображении области, внешней к какому-либо контуру, можно потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка переходила в бесконечно удаленную, и направле­ ния вещественных осей были параллельны в областях G^ и Gz.

34

ГЛАВА II

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ ПО ЗАДАННЫМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРАМ

8. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЕШЕТОК

Гидродинамический расчет решеток основан на применении метода решения двух основных задач теории решеток — прямой и обратной. В зависимости от задаваемых условий последняя может быть в свою очередь сведена к двум типам. Приведем формулировки указанных задач.

При постановке первой обратной задачи задаются треугольник скоростей и некоторые геометрические параметры профиля (макси­ мальная толщина профиля, ее положение, толщина выходной кромки

и т. д.). Необходимо найти форму профиля в решетке, имеющего

благоприятное в аэродинамическом отношении обтекание.

При постановке второй обратной задачи задаются треугольник скоростей, длина развертки профиля и распределение скорости на его поверхности. Требуется определить форму профилей и рас­ положение их в решетке.

В прямой задаче заданными являются форма профиля, его рас­ положение в решетке (угол установки профиля и шаг решетки),

величина скорости и ее направление до решетки (теоретически

в бесконечности). Находятся распределение скорости на поверх­ ности профиля, величина скорости и ее направление в бесконеч­ ности за решеткой.

Следует заметить, что при постановке обратной задачи задавае­ мые условия могут несколько отличаться от указанных выше.

Важное значение имеют рассмотренные в гл. I решения задач с потоке для таких канонических и решетчатых областей как решетка

кругов, решетка пластин, а также решение для единичного круга

в бесконечнолистной плоскости (фиг. 15). Эти параметрические канонические области используются при конформном отображении внешности решетки профилей, а также при решении второй обратной задачи. Изучение потока в канонической области имеет и самостоя­ тельное значение, так как таким путем можно легко установить некоторые характерные особенности для течений в решетке в зави­

симости от ее геометрических параметров.

Решение первой обратной задачи сводится обычно к построению специальных функций комплексной переменной, содержащих не-

36

сколько постоянных параметров. Устанавливаемая связь между этими параметрами преобразования с геометрическими параметрами решетки (шаг, толщина профиля и т. д.) позволяет рассчитывать решетки на определенные условия. Решетки, рассчитываемые таким путем, называются теоретическими. Метод построения теоретиче­ ских решеток из телесных профилей впервые указан С. А. Чаплы­

гиным [4].

Для этой же цели может быть применен метод, основанный на зада­ нии годографа скорости. Такой способ позволяет построить решетки с эпюрой скоростей, близкой к желаемой [14], [15].

Для решеток гидромашин применяется также метод, основанный на задании системы источников, стоков и вихрей внутри профиля. Эта система источников, стоков и вихрей подбирается в зависи­ мости от условий, для которых проектируется решетка.

Существенное значение имеет так называемая обратная задача,

решение которой позволяет определять изменения в форме профилей по задаваемым изменениям в эпюре скоростей. Практическое зна­ чение обратной задачи заключается в возможности отработки высоко­ эффективных профилей на основе задания совершенной в аэроди­

намическом отношении эпюры скоростей с заданным уровнем мак­ симума скоростей и положением этого максимума на профиле \ Спроектированные таким путем решетки профилей имеют малые потери энергии и являются устойчивыми в отношении звукового кризиса и кавитации (в случае решеток гидромашин).

При решении указанной задачи следует учитывать, что не всякое задаваемое распределение скоростей может привести к приемлемым обводам профилей в отношении кривизны обвода толщины профиля, толщины выходной кромки и т. д. Поэтому в большинстве случаев при отработке профилей целесообразно сочетать методы как прямой, так и обратной задач.

Основной в теории решеток является прямая задача по опреде­ лению обтекания решетки профилей произвольной формы при любых значениях относительного шага и угла установки профилей. Решение такой задачи дает возможность найти распределение скоростей по поверхности профиля в решетке, а также действующие на него силы в зависимости от геометрических параметров решетки и угла натекания. Полученное в результате решения прямой задачи рас­ пределение скоростей позволяет оценить степень совершенства обвода профиля и определить участки, обтекание которых может оказаться неудовлетворительным (пики скоростей, диффузорность обтекания и т. д.).

Определенная эпюра скоростей может быть использована для последующего расчета обтекания решетки, сжимаемой жидко­ стью, а также для расчета пограничного слоя и определения потерь энергии.

Применение перечисленных методов является основой для проек­

37

при возможно меньших потерях энергии. Большинство из этих задач

Известные решения указанных задач могут быть разбиты в зави­ симости от применяемых методов и гидродинамических схем течения на следующие группы:

1)прямой метод, основанный на решении интегральных или дифференциальных уравнений обтекания решетки;

2)методы, основанные на применении интегральных соотно­ шений при задании особенностей внутри профилей (стоки, источ­ ники, вихри);

3)методы, основанные на конформном отображении области

течения решетки профилей на вспомогательную область, течение

вкоторой известно;

4)методы построения теоретических решеток с использованием

плоскости годографа скорости;

5)методы определения обтеканий решетки путем использования

электрогидродинамической аналогии (ЭГДА);

6)приближенные методы расчета обтекания густых турбинных решеток профилей, основанные на замене решетки каналом, аппрок­ симирующим поток в одном периоде решетки.

Область применения той или иной группы методов зависит от типа решеток, а также от используемых вычислительных средств. При наличии обычных вычислительных машин (электросчетные полу­ автоматы и автоматы) целесообразно для расчета обтекания решетки

профилей большой толщины и вогнутости применять методы, осно­ ванные на конформном отображении, а для расчета решеток тонких слабо изогнутых профилей эффективными являются методы первой

группы.

При использовании же электронных цифровых решающих

устройств задачу об обтекании любых типов решеток целесообразно приводить к интегральным уравнениям.

Основными требованиями, которым должен удовлетворять любой

метод расчета, являются простота расчетной схемы, контролируе­ мость получаемых результатов и возможность полной или частичной

машинизации вычислений.

Время, необходимое для расчета решетки профилей при исполь­

зовании практически точных методов, составляет 30—50 человеко­ часов.

Вычисления выполняются с четырьмя знаками на электро-

счетных автоматах. Время, необходимое для исследования решетки методом основанным на ЭГДА, составляет примерно 25—30 чело­ веко-часов (с учетом времени, затрачиваемого на изготовление

лопаток).

Приближенный расчет решетки по теории течения в канале выпол­ няется в 5—6 человеко-часов.

Несмотря на относительную сложность практически точных методов они позволяют уверенно проектировать высокоэффективные решетки профилей.

38

Эпюры скоростей, определенные расчетом, используются в даль­ нейшем для расчета пограничного слоя и вычисления профильных потерь энергии в решетках. Методы расчета профильных потерь энергии с учетом потерь в следе за решеткой разработаны Л. Г. Лой-

цянским, Л. М. Зысиной, И. Л. Повхом и др. Методы расчета, основанные на выделении потерь в следе, предложены Н. М. Марко­ вым, Г. Ю. Степановым и др.

9. РАСЧЕТ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ, ОСНОВАННЫЙ НА ЗАДАНИИ СИСТЕМЫ источников, СТОКОВ И ВИХРЕЙ

Широкое распространение при расчете решеток телесных про­ филей лопаток гидромашин нашел метод А. Ф. Лесохина [16].

Метод А. Ф. Лесохина, предложенный им в 1946 г., основан на рас­ смотрении системы вихрей, источников и стоков, распределяемых

на скелете профиля. Он позволяет осуществлять построение решеток профилей по заданным треугольнику скоростей, шагу, максимальной

толщине и ее положению и толщине входной кромки \ Достоинством данного метода является возможность эффективного воздействия на характер эпюры скоростей и величину максимальной скорости, что имеет большое значение для разработки лопастей гидромашин.

Достаточно равномерное распределение скоростей может быть получено путем соответствующего выбора функций плотности вих­ рей 7 (s) и источников 21 q (s).

Система источников и вихрей размещается на некоторых скелет­

В соответствии с фиг. 16 для вычисления скоростей в точке А имеем следующие формулы:

1Аналогичный метод для решетки из тонких профилей предложен А. Ф. Лесохиным и Л. А. Симоновым.

2Под источниками понимаются здесь как источники, так и стоки.

39