книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин

11. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ ПО ЗАДАННОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ СКОРОСТЕЙ

При отработке высокоэффективных решеток профилей исполь­ зуются методы решения задачи о нахождении формы профилей,

имеющих рациональное в аэродинамическом отношении распре­ деление скоростей. Эти методы основаны на определении мнимой части граничного значения регулярной функции через веществен­ ную.

Пусть на контуре искомого профиля L дано распределение ско­

о построении контура профиля, имеющего заданное распределение

скоростей w (s), сводится к определению значений р (s).

Известно большое количество методов решения обратной задачи [25, 26, 27, 28, 29, 30 и др. ]. Рассмотрению обратных краевых задач посвящена монография Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [28].

Для построения густых решеток из толстых профилей большой вогнутости, так же как и при решении прямой задачи, удобно использовать решетчатые вспомогательные области [29, 30].

В таком виде решение обратной задачи получено автором для

случая несжимаемой жидкости [3]. Остановимся на изложении этого метода.

Пусть необходимо построить в плоскости z решетку профилей х,

распределение скоростей на обводах которых задано в виде непре­ рывной однозначной функции от s, обращающейся два раза в нуль

1 Выходная кромка предполагается скругленной или же угловой с внутренним углом, не равным нулю.

61

тических точках <рл и <рв. Не уменьшая общности, можем проекцию скорости в бесконечности на ось ох принять равной единице

COS р! = 1.

и точками на профиле в искомой решетке определим, приравнивая

потенциалы скоростей, т. е.

?(«) = <р(0, q)-

Для устранения логарифмических особенностей функции (52) вместо нее вводится функция

ной решетки в плоскости z*, имеющей ту же эквивалентную решетку кругов, что и искомая решетка в плоскости z. При этом обтекание решетки в плоскости z* считается известным, т. е. считается извест­ ной функция z* (С), осуществляющая отображение внешности

<58>

с

62

следующим образом. Так как в практических расчетах выбранная эпюра скоростей подвергается корректировке в связи с необходи­ мостью удовлетворить условиям (59), то вместо ряда (60) берем пол­

ный ряд

63

Разлагая заданную функцию

,w* (6, д) w(0, д)

вряд (64), находим Рп и Q„

Рп = А_п + АП и Qn = В_п - Вп.

При помощи равенств (62) приходим к следующим четырем системам линейных алгебраических уравнений с неизвестными вели­ чинами 1* А_п, В_„:

(1 + ад А-, + /и12<7м_3 + м13^м_8 +... = Л

^32^4А-1 + (1 + ^ЗЗ?6) А-3 + M34(/M_8 + • • • = ?3

(1 + M22q^ А_2 ф- Л4 23<?6Д_4 -ф M2iqsA_e + . . . = Р2

AW^2 + (1 + «,/) Л_4 + Mi5q"A_e + . . . = Р4

(66)

(1 - Mnqz) В_, - M12q*B_3 - M13q*B_5 - . . . = Q4

- М3#В_4 + (1 - МззЛ В_з - М34<78В_8 - ■ • • = Q3

(67)

(1 - M22q*) В_2 ~M23q6B_4 - M2iq*B_6 - . . . = Q2

- Mi3qeB_2 -4- (i - m44<78) b_4 - адв-6 - ■ ■ • = Q4

(68)

Эти системы уравнений решаются независимо одна от другой методом скользящих последовательных приближений, так как коэффициенты при диагональных членах больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.

После решения этих систем уравнений задаваемая эпюра ско­

ростей корректируется до тех пор, пока не будут удовлетворены условия (59)

1 Аналогичный метод для случая течения газа предложен Г. Ю. Степано­ вым [29].

64

Вычисление функции (3 —£*) выполняется при помощи раз­ ложения (63).

При выполнении расчета в рядах (63) и (64) п следует принимать для густых решеток равным 12—16, а для редких — равным 10. При этом в первом случае число уравнений в каждой системе берется равным 6—8, а во втором случае берется по 5 уравнений в системах

(65)—(68).

В результате расчета вычисляются функции dsn

У„ = ^(0)-^(Ь),

asn ~db

которые определяют граничное значение некоторой регулярной функции. Однако определенные таким образом функции Хп и У„ заметно отличаются от точных значений X и У. Это объясняется тем, что вычисление коэффициентов ряда (64) по формуле трапеций для функции X, резко изменяющейся в точках 6Д и 6В, не обеспе­

чивает необходимой точности. Уточнение формул интегрирования без значительного уменьшения интервалов деления 9 в окрестности точек 9Л и 9В не дает улучшения результата.

В связи с тем, что эквивалентная решетка кругов одна и та же для сбеих решеток в плоскостях z и z*, можно положить g^g*.

откуда

Введение функций (69) позволяет учесть приближенно погреш­ ности, связанные как с вычислением квадратур при определении коэффициентов рядов (62)'и (63), так и с аппроксимацией этих рядов тригонометрическими полиномами.

Сравнение функций h и /г* для случая компрессорной решетки

удовлетворяющей условиям (59), так как условиям регулярности удовлетворяют функции

Координаты искомого профиля в решетке определяются по фор­

мулам

о

В практических расчетах, связанных с улучшением решеток,

соответствие s (9, q) находится приближенно при помощи соответ­ ствия s* (9, q) для улучшаемой решетки. Так, полагая s = s* (9, q), находим w (9, q). Далее, разлагая In u>(9, q) в ряд (64) и, отбрасывая коэффициенты Л_1 и В—\, рассчитываем по изложенному выше

методу решетку с распределением скорости, близким к желае­ мому.

66

12. ПРИМЕРНЫЙ РАСЧЕТ ПО УЛУЧШЕНИЮ ТУРБИННОЙ РЕШЕТКИ

Пусть необходимо улучшить некоторую решетку (фиг. 30). Обтекание выходной части спинки профиля данной решетки, как это видно из фиг. 31, имеет диффузорный характер. Углы входа и выхода р 2 потока соответ­

ственно равны 50 и —59°.

Определим при том же треугольнике скоростей фор­ му профиля, спинка которого обтекается с постоянными по

величине скоростями. Обте­ кание вогнутой части про­ филя оставим без измене­ ния. Для нахождения формы профиля, имеющего указан­ ное распределение скоростей,

применим метод, изложенный

Будем считать, что соответствие между точками профиля и точ­

ками на окружности s (6) во вспомогательной области является

заданной эпюры скоростей. В столбце 7 табл. 4 приведено задавае­