Добавил:

89135606891 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Алехин электротехника

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2024

Размер:

9.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3729 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

																	270
							T
															T
		bn	2			2		1 sin n tdt					2		T		1 sin n tdt

					T	0								T	T
					T	0								T	T
																2
	2								T		2								T
									T										T
				cos n t									cos n t
									2									T


	n T								0		n T
	n T										n T							2 =

	2																							1
	2					cos n			1			cos 2n					cos n							1	2 cos n 2
	n		2			cos n			1			cos 2n					cos n							n	2 cos n 2
			2																					n
																									.
																									.
Для четных «n» bn									0.
Далее получим:
b1	4			1,27 ,b3					4			0,424, b5								4		0,254....

										3											5
										3											5
В результате:							f t		4			sin t					sin3 t						sin5 t		.......... .

											1						3					5
											1						3					5

С в о й с т в а с п е к т р о в п е р и о д и ч е с к и х ф у н к ц и й

Функции, симметричные относительно начала координат, содержат только синусные гармоники.

Функции, симметричные относительно оси ординат, содержат только косинусные гармоники.

П рим ер 1 4 . 4

Выполнить Фурье-анализ функции (рис.14.4) в программе TINA-TI.

Для расчета спектра Фурье предварительно надо выполнить Analysis-Transient и установить достаточно большое время окончания End display = 1 s/

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

271

Далее выполняем: AnalysisFourier AnalysisFourier series. Устанав-

ливаем параметры анализа в соответствии в таблицей рис.14.6. Выбираем Calculate. В таблице результатов получаем амплитуды косинусных и синусных гармоник. Сравниваем их с результатами расчета в примере 14.3.

Выбираем Draw и получаем амплитудные спектры косинусных и синусных гармоник. Косинусные гармоники не превышают по амплитуде 3 мВ, что много меньше амплитуды синусных гармоник. Наличие этих малых погрешностей обусловлено тем, что последовательность импульсов на

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

272

рис.14.4 существует только при t 0 и не является периодической в строгом смысле.

				14.4. Смещение функции по времени
								На		рис.14.8				показана				функция
							f	t , которая опережает на									T	предыду-
							f	t , которая опережает на										предыду-
						1										4
																4
							щую функцию					f	t (рис.11.3). Фазовый
							сдвиг			T				2		.
										4			4			2
							Следовательно:					f				f		.
												1		1		1		2
																		2
								Подставляем в ряд Фурье для f t
							новую координату									:
													1		2
															2
				sin t			sin 3	t			sin 5			t
f1	1	4		sin t	2		sin 3	t	2		sin 5			t		2		..........

			1					3						5
			1					3						5

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

			273
	sin t cos	cos t sin		sin 3 t cos	3	cos 3 t sin	3
4
	2	2		2		2		..........


		1				3

4		cos t		cos 3 t	cos 5 t		.........

	1		3		5
	1		3		5		.
							.
Здесь учтено, что: sin t						sin t cos			cos t sin	.
					2			2		2

14.5. Анализ линейных цепей при периодических негармонических воздействиях

Негармонические напряжение и ток представляют рядом Фурье в виде гармонических составляющих и постоянной составляющей.

П р а в и л о

Расчет цепей с негармоническими сигналами надо проводит для каждой составляющей в отдельности, а результаты в форме функций времени надо суммировать, используя принцип наложения.

В расчетах номер гармоники обозначают нижним индексом в скобках. Например:

i 2	t	Im 2	sin( 2 t	I 2 )-		мгновенное значение второй гар-
моники тока;
					- комплексная амплитуда тока в
	I1m(2)				первой ветви на второй гармонике;
номер			номер
ветви		гармоники				Z2 3	- комплексное сопротивле-
						Z2 3	- комплексное сопротивле-
ние второй ветви на третьей гармонике.
П рим ер 1 4 . 5
В	цепи	рис.14.9 действует сигнал					e t	E0	e1 t e2 t
E0	Em 1	sin t	Em 2	sin 2 t . Найти ток в цепи.
			П о р я д о к р а с ч ё т а
1. Расчёт на постоянном токе 0					0.
Комплексное сопротивление					Z 0	R		j0L	R .

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

274

Постоянная составляющая тока I0

2. Расчет на первой гармонике .

Комплексная амплитуда первой гармо-

ники напряжения сигнала

e j0 .

m 1

Комплексное

сопротивление

цепи на

первой гармонике: Z 1

R j L .

Комплексная

амплитуда

тока

первой

гармоники: I m 1

Em 1

Im 1 e

1 .

Мгновенное значение первой гармоники

тока:

i 1

Im 1

sin( t

I 1 ).

3. Расчет на второй гармонике 2 .

Аналогично предыдущему

пункту

находим:

e j0 ;

m 2

Z 2

R j2 L , I m 2

Em 2

Im 2 e

I 2 .

Мгновенное значение второй гармоники тока:

i 2 t

Im 2

sin( 2 t

I 2

) .

П р а в и л о

При расчете негармонических сигналов нельзя суммировать комплексные амплитуды разных частот. Суммируют только мгновенные значения.

Ответ:

i t I0 i 1 t i 2 t I0 Im 1 sin t	I 1	Im 2	sin 2t I 2	.
				.

П рим ер 1 4 . 6

Смоделировать цепь рис.14.10, в которой последовательно включены источник VS1 постоянного напряжения 1В, источник синусоидального сигнала VG1 c частотой 50 Гц и амплитудой 1В, источник синусоидального напряжения VG2 с частотой 100 Гц и амплитудой 1 В. Индуктивность

L1 1Гн . Найти напряжение на резисторе R1 500Ом .

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

275

14.6. Действующее значение негармонических сигналов

Оп р е д е л е н и е

Действующее значение негармонического периодического сигнала равно значению постоянного тока (напряжения), при котором в активном сопротивлении рассеивается та же мощность, что при негармоническом сигнале.

Для периодического негармонического тока среднюю мощность находим как интеграл от мгновенной мощности по периоду:

T	p t dt	1	T i2Rdt	1 T u2	dt .	(14.9)

0		T 0		T 0 R

Для постоянного тока мощность в активном сопротивлении:

P I 2 R	U 2
		.	(14.10)

	R

Приравняем мощности:

	R T
P I 2 R		i2dt .	(14.11)
	T
		0

Из равенства (14.11) находим действующее значение негармонического тока:

	1	T
I		i2dt .	(14.12)
I	T	i2dt .	(14.12)
	T	0

Аналогично найдем действующее значение напряжения:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

276

	1	T
U		u2 t dt .
U	T	u2 t dt .
	T	0

Общая формула для действующего значения ции f t :

	1	T
F		f 2 t	dt .
F	T	f 2 t	dt .
	T	0
Пусть i t I0 Im 1 sin t		Im 2	sin 2 t

Найдем действующее значение тока:

(14.13)

периодической функ-

(14.14)

...... (14.15)

T	2
	2
I0 Im 1 sin t	Im 2 sin 2 t ..... dt
0

1		T													2
1		I 2	I 2	sin2	t I 2	sin2 2 t ....				2I		I		sin t	... dt
											0		m 1

T	0		m 1		m 2										.
T	0														.

	Квадраты синусов в этом выражении можно преобразовать к виду:
					2		Im2	1
				Im 1	sin t				1	cos 2 t .					(14.16)
				Im 1	sin t	2			1	cos 2 t .					(14.16)
						2

При интегрировании по периоду останутся только постоянные составляющие от квадратов синусов и постоянная составляющая нулевой гармоники.

В итоге получим:

		I 2		I 2
		I 2		I 2
I	I02	m 1		m 2	.....	I02	I 21	I 22 ...
I	I02	2	2		.....	I02	I 21	I 22 ...
		2	2					. (14.17)

П р а в и л о

Действующее значение периодической негармонической функции равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений всех составляющих.

Для действующего напряжения получим формулу:

U U02

U 21 U 22 ... ..

(14.18)

14.7. Мощность периодических негармонических сигналов

Среднюю мощность произвольного сигнала находят по формуле:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

277

u t i

t dt .

(14.19)

Рассмотрим негармонический сигнал:

u t

Um 1

sin( t

U 1

)

Um 2 sin( 2 t

U 2 ) , (14.20)

i t

Im 1

sin( t

I 1

)

Im 2

sin( 2 t

I 2 ) .

(14.21)

Найдем мгновенную мощность:

p t

u t

i t

U0I0 U0Im 1

sin( t

I 1 )

U0Im 2

sin( 2 t

I 2 )

I0Um 1

sin( t

U 1

)

I0Um 2

sin( 2 t

U 2

)

Um 1

sin( t

U 1 )Im 1

sin( t

I 1 )

Um 2

sin( 2 t

U 2

)Im 2

sin( 2 t

I 2 )

Um 1

sin( t

U 1 )Im 2

sin( 2 t

I 2

)

Um 2

sin( 2 t

U 2

)Im 1

sin( t

I 1

)

(14.21)

При интегрировании мгновенной мощности по формуле (11.19) постоянные составляющие получим только от произведения функций одинаковых частот и от постоянных составляющих.

В результате получим, что активная мощность негармонического тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник:

P U	I		Um 1	Im 1	cos(		)	Um 2	Im 2	cos(		)
		0				I 1					I 2

0			2		U 1			2		U 2
			2					2

U I cos

cos

P .

(14.22)

1 1

Реактивная мощность

Q U 1 I 1

sin 1

U 2 I 2

sin 2

Q2 .

(14.23)

Полная мощность равна произведению действующих значений

напряжения и тока:

S UI ,

(14.24)

где: U

U02

U 21

U 22 , I

I02

I 21

I 22 .

Отметим, что в цепи негармонического тока S

Q2 .

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

278

14.8. Коэффициенты характеризующие несинусоидальные

периодические процессы

Обозначим для несинусоидального периодического процесса: fmax - максимальное значение функции за период;

Fcp T

f t dt - среднее значение по модулю

(для синусоиды F	2	U		);
			m
cp

f 2 t

dt - действующее значение функции

(для синусоиды F

Несинусоидальные периодические процессы

характеризуют следу-

ющими коэффициентами:

Коэффициент формы есть отношение действующего значения к

среднему: kф

(для синусоиды sin kф

1,11).

Fср

2 2

Коэффициент амплитуды есть отношение максимального значения

fmax

к среднему: ka

(для синусоиды ka

2 ).

Fср

Коэффициент искажений есть отношение действующего значения

первой гармоники к действующему значению всей функции: k

Коэффициент мощности есть отношение активной мощности к

полной:

14.9. Примеры расчета цепей при периодических

негармонических сигналах

П рим ер 1 4 . 7

В	схеме	рис.11.10	действует	входное	напряжение
u( t )	40 80 sin103t 40 sin		2 103t 45o	. Заданы параметры це-

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

279

пи: L 10 мГн,С 50 мкФ, R 20Ом . Найти действующее значение тока, активную, реактивную и полную мощность.

Ре ш е н и е

1.Выполним расчет на постоянном токе:

I0	U0		40	2A .
	R	20

2. Расчет на первой гармонике

103 1

X L(1 )

L 103 10 2

10Ом ,

XC(1 )

20Ом .

C 103 50 10 6

Zab(1 )

j10(

j20 )

200

j20Ом .

j10

j20

j10

Zвх(1 )

jZab(1 )

20 j20Ом.

e j45o A.

m(1 )

j45o

Мгновенное

значение

первой

гармоники

тока:

i(1 )( t )

sin 103t

450

А.

3. Расчет на второй гармонике 2

2 103 1

X L( 2 )

2 L 2 103 10 2

20Ом ,

XC( 2 )

Zab( 2 )

Zвх( 2 )

Im( 2 )

1		1	10Ом ,

2 C	2 103	50 10 6
2 C	2 103	50 10 6
j20(	j10 )	200	j20Ом ,

j20	j10	j10
j20	j10	j10

R jZab( 2 )		20 j20Ом ,
40e j45o		2	e j90o A.
	j45o
		2
20 2e

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3729 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
28.02.20242.81 Mб0Laboratornaya_rabota.docx
#
28.02.2024487.27 Кб0Mironenko_RGZ_1_TOE.docx
#
28.02.20243.19 Mб0Otvety_TOE.docx
#
28.02.2024137 Кб0VAFa_05_09.xlsx
#
28.02.20241.42 Mб1zadaniya-neti (1).pdf
#
28.02.20249.47 Mб1Алехин электротехника.pdf
#
28.02.20241.42 Mб0зад. 5.2 (1 часть).pdf
#
28.02.202414.57 Кб0Защита.docx
#
28.02.2024700.67 Кб0магнитные цепи.pdf
#
28.02.2024946.75 Кб0несинусоидальные цепи.docx
#
28.02.20243.68 Mб2практикум СФУ.pdf