Добавил:

89135606891 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Алехин электротехника

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2024

Размер:

9.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

250

Глава 13. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ДЮАМЕЛЯ К РАСЧЕТУ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

13.1. Принцип наложения элементарных воздействий

Интегралы Дюамеля применяется для анализа воздействия на цепь напряжения произвольной формы. Сложная по форме функция uвх ( t ) действует на входе линейной цепи (рис.13.1). Требуется найти реакцию на выходе.

uвх(t)
uвх(t)	Л.Ц.	uвых(t) ?
	Л.Ц.	uвых(t) ?
t

Рис.13.1

В линейной цепи действует принцип наложения: реакция цепи на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

		n	n
uвых t	L	uвхi t	L uвхi t .	(13.1)
	i	1	i 1

Здесь L- любое линейное преобразование.

В интеграле Дюамеля сложное воздействие представляется в виде суммы простейших элементарных воздействий. Такими элементарными воздействиями служат:

1.1 t - единичная функция.

2.t -импульсная функция.

13.2.Единичная функция, переходная характеристика цепи

		Единичная функция (рис.13.2)				удовлетво-
1(t )		ряет следующим условиям:
1		1 t	0	t	0	.	(13.2)
1
			1	t	0
0	Рис.13.2	t
0	Рис.13.2

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

			251
1(t)		h(t)	Если	1 t	воздействует на линейную цепь
	ЛЦ		(рис.13.3) ,	на	выходе цепи возникает реакция

h t .

Рис.13.3

О п р е д е л е н и е . Переходной характеристикой цепи h t называют реакцию на выходе цепи при действии на входе единичной функции.

Для определения h t рассчитывают переходной процесс при воз-

действии на вход единичной функции (рис.13.4).
t=0
1 В	ЛЦ		iвых(t)		uвых(t)
	Рис.13.4
На выходе цепи можно определить ток iвых			t	и uвых t .
Переходная проводимость цепи		численно равна току на выходе при
действии на входе единичной функции:

h t	g t	iвых t .	(13.3)
Переходная функция по напряжению численно равна			напряжению
на выходе при действии на входе единичной функции:
h t	k t	uвых t .	(13.4)

П рим ер 1 3 . 1

	t=0			После замыкания ключа в схе-
	R			ме рис.13.5 найдем классическим
				методом напряжение на выходе:
							t
1 В	iC(t)	C	uc(t)	u ( t )		1 1	e	h t	k	t .
				C
	Рис.13.5				Найдем ток в емкости:
	Рис.13.5						t
							t
				i		t	1 e	h	t	g t
				C			R
							R

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

						252
						.
Определили переходную функцию по напряжению и переходную
проводимость цепи.
Зная h t	и	g	t ,	можно рассчитать реакцию на любое сложное
воздействие.
	13.3. Интеграл Дюамеля первого вида
На рис.13.6 показана входная функция uвх ( ) , которая воздействует
на линейную цепь с переходной характеристикой h									t .
uвх(τ)				uвх(τ)
				uвх(τ)
					∆u2 =u`(τ2)dτ
				2
	1			u1=u`(τ1)dτ
u(0)	1
u(0)
0		d	1	d	2	d	3	t
		d

							Момент наблюдения
					Рис.13.6
Заменяем uвх			ступенчатой функцией. Для касательных тангенсы
углов составят: tg 1			uвх 1 ,		tg 2		uвх 2 .
Определим величину ступенек. Например, вторая ступенька равна:

u2	tg 2d		uвх 2	d	(13.5)
Каждая ступенька входного напряжения вызывает элементарную ре-
акцию на выходе цепи (рис.13.7). Так, на ступеньку в момент i					реакция
на выходе в момент t будет равна:
uвыхi	t	u	i h t	i .	(13.6)

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

				253
U(0)									U(0)h(τ)
0									U(0)h(τ)
0

u1
									∆u 1h(τ-τ1)
0		τ1
u2		τ1
u2									∆u 2h(τ-τ2)
0									∆u 2h(τ-τ2)
0			τ2						t
			Рис.13.7						t
			Рис.13.7
Реакция на выходе в момент наблюдения t равна сумме значений
всех реакций в момент t :
uвых t	U	0 h t	n	uih t				i
		i		1
			n		i			i	d i
	U	0 h t		u	i	h	t	i	d i	(13.7)
		i	1
Пусть теперь число ступенек увеличивается и d										0 . Переходим к
интегралу Дюамеля первого вида:

		t
uвых t	u 0 h t	u	h t	d .	(13.8)
		0
О п р е д е л е н и е :
Интеграл Дюамеля первого вида выражает реакцию на выходе це-
пи через переходную характеристику цепи h			t .

П р а в и л о з а п и с и и н т е г р а л а Д ю а м е л я п е р в о г о

ви д а

Винтеграле Дюамеля первого вида скачок входной функции в мо-

мент t ti учитывается слагаемым вида	u h t	ti	. Плавные измене-
b
ния функции учитываются интегралом	u h t		d , где нижний

предел a – начало действия функции, а верхний предел b – момент наблюдения или конец действия функции.

П р и м е р 1 3 . 2

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

254

На рис.13.8 показана входная функция напряжения u( t ). Записать выражение для выходного напряжения в цепи с переходной характеристикой h t .

	u(t)
	u1(t1)
	u1(t)
u1(0)	u2(t1)
	u2	(t)
		t
0	t1
	Рис.13.8
	Р е ш е н и е

Интеграл Дюамеля надо записывать отдельно для каждого интервала изменения функции.

	1. На первом интервале				0	t	t1:
							t	u1 h t	d
		u	t	u1 0 h t				u1 h t	d
		вых
							0		.
	2. На втором интервале				t1	t	:
				t1	h t		d
u	t	u1 0 h t		u1	h t		d	u2 t1	u1 t1 h t t1
	вых			0
				0
				t	u2		t	d .
					u2	h	t	d .
				t1

В т о р а я ф о р м а з а п и с и и н т е г р а л а Д ю а м е л я п е р в о г о в и д а

Интегрируя (10.8) по частям, получим вторую форму записи интеграла Дюамеля первого вида:

		t
uвых t	u t h 0	u h t	d .	(13.9)
		0

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

255

13.4. Импульсная функция, импульсная характеристика цепи

Импульсной функцией (дельта-функцией, функцией Дирака) называ-

ется функция		t , обладающая свойствами:
1.	t	0 , когда t	0 t 0, t 0 .
2.	0	, когда t	0 .
3.	t	dt 1.

П о э т и м с в о й с т в а м :

Дельтафункция это импульс бесконечно малой длительности и

бесконечно

большой

амплитуды. Площадь

δ(t)

импульса постоянна и равна 1 (рис.13.9).

Приближенным

примером реализации

дельта-функции может служить односторон-

няя дельта-функция

t , t

(рис.13.10), ко-

торая имеет длительность t и амплитуду

. Площадь односторонней дельта-функции

t t

Рис.13.9

1 постоянна и

равна единице.

При t

0 односторонняя дельта-функция t , t

t .

		δ (t,∆t)			1
		δ (t,∆t)			1

					∆t
		1			∆t
						0
S= ∆t ∆t=1
S= ∆t ∆t=1
	0			∆t			t
	0			∆t			t
			Рис.13.10

Найдем интеграл от t . На временном

интервале	t	0 интеграл равен нулю.
При переходе	через	t 0 интеграл скачком

увеличивается до 1. На временном интервале 0 t интеграл не меняется и остается равным 1. В результате мы получили единич-

ную функцию включения 1( t ):

	t
1 t		t	dt .			(13.10)
Следовательно:		t		d	1 t .	(13.11)
Следовательно:		t		dt	1 t .	(13.11)
				dt

Ф и л ь т р у ю щ е е с в о й с т в о д е л ь т а - ф у н к ц и и

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

		256
	f	t	d	f t .	(13.12)
Доказательство.
Имеем: t	0 при t	. Если t		, f	f t . Выне-
сем f t из-под знака интеграла при интегрировании по :
f t t	d	f t	t	d	f t 1.
13.5. Расчет импульсной характеристики
Импульсной характеристикой цепи			h t	называют реакцию на

выходе цепи при действии на входе t . На рис.13.11 показана схема для нахождения импульсных характеристик.

			uвых(t)
δ (t)		i (t)
		i (t)
	ЛЦ	вых
	ЛЦ

Рис.13.11

Импульсная проводимость численно равна току на выходе при действии на входе - функции:

iвых t

h t

g t [см/с]

(13.13)

Импульсная функция по напряжению численно равна напряжению на выходе цепи при действии на входе - функции:

uвых t h t k t [1/с]. (13.14)

О п е р а то р н ы й м е то д р а с ч е т а h t

Найдем изображение t , использую фильтрующее свойство:

F p	t e pt dt	e p 0	t dt 1.	(13.15)
0			0
Следовательно:	t	=1 .		(13.16)

П рим ер 1 3 . 3

Для схемы (рис.13.5) при действии на входе t найти импульсную характеристику цепи.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

257

Р е ш е н и е

Строим операторную схему замещения (рис.13.12), находим изображение выходного напряжения и переходим к оригиналу:

R			1	1
E(p)=1			1	pC	1
E(p)=1	1/pC	U(p)	U p	1	1 RCp
	1/pC	U(p)	R	1	1 RCp
			R	pC
				pC

Рис.13.12	1		1			1
	1		1		=	1	e

	RC	p	1
		p		RC
				RC

h t

	Р а с ч е т и м п у л ь с н о й х а р а к т е р и с т и к и
		п о п е р е х о д н о й х а р а к т е р и с т и к е
Запишем интеграл Дюамеля I-го вида (вторая форма записи):
								t
		uвых	t		u t	h	0	u		h t d .	(13.17)
								0
Пусть u		t		t	. Вычисляем выходную реакцию:
						t
uвых	t		t	h	0		h	t		d
						0
						t
uвых	t		t	h	0		h	t		d
						0
h	0 t			h	t .
Но реакция цепи на - функцию есть импульсная характеристика
цепи. Следовательно:
			h		t	h 0 t			h	t .	(13.18)

13.6. Интеграл Дюамеля второго вида

Интеграл Дюамеля второго вида выражает реакцию на выходе цепи с помощью импульсной характеристики цепи.

Заменим входной сигнал последовательностью импульсов длительностью (рис.13.13). Каждый импульс можно представить разностью двух функций включения:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

258

uвх(τ)

uk k

uk 1

d .

(

)

uk τk

Умножим и разделим на d :

uk k

uk 1

τk dτ t

uk d

k .

Рис.13.13

Функция

вызовет

на

выходе

реакцию

h k .

Функция uk d

Реакции на

(рис.13.14):

	uвх(τ)
	uвх(τ)
		u2		u3
	u1	u2
	u1
		dτ
0	τ1		τ2 τ3		t τ

вызовет на выходе реакцию uk d h

k .

импульсы суммируются в момент наблюдения t

uвх(τ)

u1dτhδ(τ-τ1)

τ1

uвх(τ)

u2dτhδ(τ-τ2)

τ2

uвх(τ)

u3dτhδ(τ-τ3)

τ3

Рис.13.14

В результате получим в момент наблюдения t:

			n	k		t k	d .
uвых	t		uk	k	h	t k	d .		(13.19)
		k	1
Переходим к интегралу при d						0 :
t						t
uвых t	u	h	t	d		u t	h	d .	(13.20)
0						0

Получили интеграл Дюамеля второго вида (интеграл наложения,

свертка функций). Он выражает реакцию на выходе цепи с помощью импульсной характеристики цепи.

П р и м е р 1 3 . 4

Входное напряжение задано на рис.13.15. Записать выходное напряжение, используя импульсную характеристику цепи.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

	259
	u(t)
	u1(t1)
	u1(t)
u1(0)	u2	(t1)
		u2	(t)
			t
0	t1
	Рис.13.15
	Р е ш е н и е

Входной сигнал разбиваем на два интервала.
1. На первом интервале			0	t	t1:
				t	u1 h	t d .
		u	t		u1 h	t d .
		вых
				0
2. На втором интервале			t1	t	:
		t1			t
u	t	u1 h t		d		u2 h t	d .
	вых	0			t1
		0			t1

xвх(t)	ЛЦ	yвых(t)
	ЛЦ
Xвх(p)		Yвых(p)

Рис.13.16

чины.

13.7. Передаточная функция цепи

Передаточной функцией цепи называется отношение операторного изображения выходной величины к операторному изображению входной вели-

Для цепи рис.13.16 запишем передаточную функцию:

		K p	Yвых	p
		K p	Xвх	p .	(13.21)
П рим ер 1 3 . 5
	R			Для операторной	схемы цепи
			рис.13.17 найдем передаточную функ-
Uвх(p)		1/pC Uвых(p)	цию.
Uвх(p)	C	1/pC Uвых(p)
	Рис.13.17

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3727 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
28.02.20242.81 Mб0Laboratornaya_rabota.docx
#
28.02.2024487.27 Кб0Mironenko_RGZ_1_TOE.docx
#
28.02.20243.19 Mб0Otvety_TOE.docx
#
28.02.2024137 Кб0VAFa_05_09.xlsx
#
28.02.20241.42 Mб1zadaniya-neti (1).pdf
#
28.02.20249.47 Mб1Алехин электротехника.pdf
#
28.02.20241.42 Mб0зад. 5.2 (1 часть).pdf
#
28.02.202414.57 Кб0Защита.docx
#
28.02.2024700.67 Кб0магнитные цепи.pdf
#
28.02.2024946.75 Кб0несинусоидальные цепи.docx
#
28.02.20243.68 Mб2практикум СФУ.pdf