260
|
|
K p |
Uвых |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uвх |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uвх |
p |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uвх p |
|
R |
1 |
1 |
RCp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С в я з ь п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и и и м п у л ь с н о й |
|
|
|
|
|
|
х а р а к т е р и с т и к и ц е п и |
|
|
|
В цепи рис.13.18 известна передаточная функция K |
p . Найти им- |
пульсную характеристику цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uвых(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛЦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uвых p |
K p Uвх p |
|
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на входе действует - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция: |
|
|
|
|
|
Рис.13.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
uвх |
t t =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда реакция на выходе цепи будет импульсной характеристикой цепи:
Uвых p |
K |
p 1= h |
t . |
Следовательно: |
|
|
|
h |
t |
= K p . |
(13.22) |
П р а в и л о : Импульсная характеристика и передаточная функция связаны между собой преобразованием Лапласа.
С в я з ь п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и и п е р е х о д н о й х а р а к т е р и с т и к и ц е п и
Пусть в цепи рис.10.18 на входе действует единичная функция:
1 uвх t 1 t = p .
Тогда:
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
261
|
Uвых p |
|
K |
p |
1 |
= h t . |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
h t |
= |
K |
p |
. |
|
(13.23) |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
П р а в и л о : Переходная характеристика цепи равна оригиналу от передаточной функции, деленной на p .
Эти формулы можно применять для расчета импульсной и переходной характеристики.
13.8 Примеры расчетов переходных процессов с использованием интегралов Дюамеля
П рим ер 1 3 . 6
Заданы параметры цепи рис.13.19: R1 = R2 = 500 кОм, C = 1 мкФ. такую цепь называют пропорционально-интегрирующий фильтр.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти передаточную функцию по напря- |
|
|
|
R1 |
|
|
|
жению K(p), переходную характеристику h(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходную входную проводимость g(t), импуль- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 (t) сную характеристику |
hδ (t) , |
импульсную вход- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
ную проводимость gδ (t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Передаточная функция цепи: |
1 |
|
|
|
|
|
Рис.13.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 ( p ) |
U1( p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ( p ) |
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1( p ) |
|
|
Z ( p ) |
|
U1( p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
0,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
R2 |
1 |
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Переходная характеристика h(t).
а) Определение классическим методом:
Считаем u1(t) = 1(t). Тогда, рассчитаем цепь первого порядка, полу-
чим:
h( t ) 1-0,5e-t .
б) Определение операторным методом:
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
262
|
|
|
|
h( t )= |
K( p ) |
|
|
0,5 |
|
p 2 |
|
=1 0,5e t . |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p( p |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Переходная проводимость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
10-6 |
|
|
|
|
-6 t |
. |
g( t ) |
|
pZ ( p ) |
0,5 |
p( R1 |
R2 |
1 |
|
) |
|
p 1 = g( t ) 10 e См |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Импульсная характеристика: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ( t )= K( p ) 0,5 |
p 2 |
|
0,5( |
|
p 1 |
|
|
|
1 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0,5 |
|
0,5 |
|
= 0,5 ( t ) |
0,5e tc-1. |
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р о в е р к а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ( t ) |
h( 0 ) ( t ) |
h ( t ) |
0,5 ( t ) 0,5e tc-1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Импульсная проводимость: |
|
|
|
|
|
g |
( t )= |
1 |
|
10-6 p |
10-6 (1 |
|
1 |
|
). |
Z ( p ) |
|
p 1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
g ( t ) 10-6 ( t ) 10-6e tСм / с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П рим ер 1 3 . 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
заданную цепь (рис.13.19) воздействует импульс напряжения |
u ( t ) |
Ue- t |
|
длительности |
t |
(рис.13.20). Параметры импульса |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
U = 100 B, 2 c-1 , t1 1c.
Определить напряжение u2 ( t ) при помощи интегралов Дюамеля
первого и второго вида. У к а з а н и е :
Следует обратить внимание на разбиение временной области на интервалы интегрирования, правильную расстановку пределов в интегралах, особенности вычисления интегралов, содержащих импульсную функцию.
1 . П р и м е н е н и е и н т е г р а л а Д ю а м е л я п е р в о г о в и д а
U |
|
На интервале 0 |
t |
t1: |
|
|
|
|
|
u1(t) |
|
|
t |
|
|
|
u |
|
( t ) u ( 0 )h( t ) |
u' |
( )h( t |
)d . |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
Рис.13.20 t1
В.А. Алех н. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
|
|
|
|
|
|
|
|
263 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ( 0 ) |
100B; u ( t ) |
100e |
2t |
В; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h( t ) |
1 0,5e t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h( t- ) |
1 0,5e ( t |
|
) , u' ( ) |
Ue- |
|
200e-2 B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
200e2 |
|
0,5e-(t- ) )d |
|
|
u |
2 |
( t ) |
100(1 |
0,5e |
t ) |
( |
)(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
50e t |
200e-2 d |
|
100e t |
e- d |
50e t B |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
На интервале t1 < t < ∞: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
Ue- t1 h( t t ) |
|
|
|
u |
2 |
( t ) |
u ( 0 )h( t ) |
|
u' ( )h( t- )d |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50e-t |
|
t1 |
e-2 (1 |
0,5e-t |
|
|
100e-2t1 (1 |
0,5e-(t -t1 ) ) |
|
|
|
100 |
200 |
|
)d |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50e-t (1 - e-t1 )B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . П р и м е н е н и е и н т е г р а л а Д ю а м е л я в т о р о г о в и д а . |
|
|
На интервале 0 |
t |
t1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
100e-2 ( 0,5 ( t- ) |
0,5e-(t- ) )d |
u |
2 |
( t ) |
|
u ( )( )h |
( t |
)d |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50e-2 ( t- )d |
50e-te- d 50e-2t |
|
50e-t - 50e-2t |
50e-t |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П о я с н е н и е : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На интервале интегрирования по |
( 0 |
t ) |
при |
t |
действует |
фильтрующее свойство - функции. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
50e-2 ( t- )d 50e-2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На интервале t1 |
t |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
264
|
|
|
t1 |
|
|
t1 |
|
t1 |
u |
2 |
( t ) |
u ( )h ( t - )d |
50e-2 ( t - )d |
50e-2 e-te d |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
50e-t - 50e-t1 e-t |
50e-t (1 - e-t1 ) |
|
|
|
|
П о я с н е н и е : |
|
|
|
|
|
Так как t1 |
t |
при интегрировании по |
( 0 |
t1 ) условие t не |
выполняется, ( t - ) под интегралом будет равна нулю. Поэтому: |
|
|
|
|
|
t1 |
50e-2 ( t- )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
0
Результаты, полученные с использованием первого и второго интеграла, Дюамеля совпадают.
На рис.13.21 показаны графики входного воздействия (сплошная линия) и реакции на выходе (пунктирная линия).
100 В
100e-2t
50e-t (1- e-t1 )
|
|
|
|
t |
|
|
t1=1c |
|
|
Рис.13.21 |
П рим ер 1 3 . 8 |
|
|
|
На цепь (рис.13.19) |
на интервале времени t 0 воздействует им- |
пульс напряжения u ( t ) |
1 e-4t B . |
1 |
|
|
|
|
Операторным методом найти выходное напряжение.
Ре ш е н и е
1.Находим изображение входного сигнала:
u ( t ) 1-e-4t = |
4 |
|
U ( p ) . |
|
|
|
|
1 |
p( p |
4 ) |
1 |
|
|
2. Находим передаточную функцию цепи (см. пример 13.6):
K( p ) 0,5 pp 12 .
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
|
|
|
|
265 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Находим изображение выходного сигнала: |
|
|
U2 ( p ) |
K( p ) U ( p ) 0,5 |
( p 2 ) |
4 |
|
|
|
2( p 2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p 1) p( p 4 ) p( p 1)( p 4 ) |
|
|
|
|
|
4. |
По теореме разложения находим оригинал выходного напряжения: |
|
|
u ( t ) 1 |
|
1 |
e 4t |
|
2 |
e t В . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.9.Контрольные вопросы
1.Какие элементарные воздействия применяют в интегралах Дюаме-
ля ?
2.Что такое переходная характеристика цепи и как её определяют ?
3.Какие виды переходных характеристик применяют в расчетах ?
4.Правило записи интергала Дюамеля первого вида.
5.Что такое импульсная характеристика цепи и как её можно опре-
делить ?
6.Какими свойствами обладает дельта-функция ?
7.Как рассчитать импульсную характеристику, зная переходную ?
8.Правило записи интеграла Дюамеля второго вида .
9.Что такое передаточная функция цепи и как её можно рассчитать ?
10.Как связана передаточная функция цепи и импульсная характери-
стика ?
11.Как связана передаточная функция цепи и переходная характери-
стика ?
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
266
Глава 14 . ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ 14.1 Разложение периодических функций в ряд Фурье
На рис.14.1 показан пример периодической негармонической функции времени, удовлетворяющей условию периодичности:
где T - период повторения функции.
Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в гармонический ряд Фурье, в котором составляющие имеют кратные частоты и называются гармониками.
П е р в а я ф о р м а з а п и с и р я д а Ф у р ь е выглядит так:
f t |
|
a0 |
|
|
|
|
|
an cos n t |
bn sin n t |
(14.2). |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом уравнении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(14.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- частота первой гармоники; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t0 |
T |
|
cos n tdt |
|
|
an |
|
|
|
|
|
f |
t |
(14.4) |
|
T |
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- амплитуды косинусных гармоник; |
|
|
|
|
|
|
|
2 t0 |
T |
|
sin n tdt |
|
|
bn |
|
|
|
|
|
f |
t |
(14.5) |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- амплитуды синусных гармоник;
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
267
|
|
|
|
|
|
a |
1 t0 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
f t |
dt |
|
|
|
|
(14.6) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
T |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- постоянная составляющая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В т о р у ю |
ф о р м у |
|
з а п и с и |
р я д а Ф у р ь е |
записывают в |
таком виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
t |
|
a0 |
|
|
|
|
An cos( n t |
n ). |
|
(14.7) |
|
|
|
|
2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем слагаемые этого ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An cos( n t |
|
|
n ) |
|
An cos n t cos n |
An sin t sin n |
|
|
|
|
|
an cos n t |
|
bn sin n t , |
|
|
|
|
(14.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
. |
где a |
A cos |
n |
, |
b |
A sin |
n |
, |
A |
|
a2 |
b2 , |
tg |
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.2. Дискретные спектры |
|
|
|
|
|
Во второй форме записи разложения Фурье (14.7) |
каждая гармони- |
ческая составляющая An cos( n t |
|
n ) |
|
характеризуется |
частотой |
n |
n , амплитудой An , |
фазой n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуды и фазы можно изобразить на оси частот. |
|
|
|
|
|
Совокупность амплитуд гармонических составляющих, отнесённых |
к частотам, называется а м п л и т у д н ы м |
с п е к т р о м . |
|
|
|
|
Совокупность начальных фаз гармоничных составляющих, отнесённых к частотам, называется ф а з о в ы м с п е к т р о м .
П рим ер 1 4 . 1
Рассмотрим негармоническую периодическую функцию напряжения
f t |
3cos t 450 |
2 cos( 2 t |
300 )В . |
Эта функция имеет две |
гармонические составляющие. |
|
|
|
Для построения амплитудного спектра (рис.14.2a) на частоте от- |
ложим амплитуду первой гармоники |
A1 3В , |
на частоте 2 отложим |
амплитуду второй гармоники A2 2В . Получим дискретный амплитуд-
ный спектр, состоящий из двух амплитудных спектральных составляющих.
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
268
Амплитудный спектр |
Фазовый спектр |
|
Для построения фазового спектра (рис.14.2б) на частоте отложим |
начальную фазу первой гармоники |
450 , на частоте второй гармо- |
1 |
|
|
ники отложим начальную фазу второй гармоники 2 |
300 . Получим |
дискретный фазовый спектр, состоящий из двух фазовых спектральных составляющих.
О т м е т и м в а ж н о е с в о й с т в о :
Периодическая негармоничная функция
|
f t |
a0 |
An cos( n t |
n ) |
|
2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
имеет дискретные линейчатые спектры (рис.14.3).
|
|
|
|
|
|
|
Амплитудный спектр |
Фазовый спектр |
|
|
Разность частот соседних составляющих |
|
2 |
. Все спек- |
|
T |
|
тральные составляющие имеют частоты, кратные . |
|
|
|
|
|
|
Спектральные составляющие с кратными частотами называется гармониками сигнала. Спектр, состоящий из гармоник, называют гармоническим спектром.
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
269
Спектры, заданные на положительной оси частот, называются односторонними.
14.3. Пример разложения функции в ряд Фурье
На рис.14.4 показан график периодической последовательности прямоугольных импульсов. Амплитуда импульсов 1 В, период повторения Т. Требуется найти разложение этой функции в ряд Фурье.
1, |
0 |
t |
|
T |
|
|
|
2 |
|
f t |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
1, |
|
t T |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1. По формуле (14.6) находим, что постоянная составляющая
T
f t dt 0 , так как функция симметричная относительно оси
0
абсцисс.
2. Находим амплитуды гармоник:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t0 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 T |
|
a |
|
f |
t |
cos n tdt = |
2 |
2 |
1 |
cos n tdt |
1 cos n tdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T 0 |
|
|
|
T T |
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
sin t |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n T |
|
|
n T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin n |
T |
sin 0 sin n T |
sin n |
T |
|
|
|
n T |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
sin n |
2 |
sin 0 sin n |
2 |
sin n |
2 |
0 . |
n |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016
