Добавил:

89135606891 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Алехин электротехника

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2024

Размер:

9.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3726 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

240

uL ( t )=Ubm p pLI p LiL 0 (12.19).

UC		0
В операторном уравнении			- внутренний источник ЭДС, обу-
	p

словленный начальным запасом электрической энергии в конденсаторе при UC 0 0.

i(t)	UC(0)		I(p)		UC (0)
i(t)			I(p)		p
	+ -				p
	+ -
m	C	d	m	1/рС	d
				1/рС

	uC(t)	Рис.12.8		Umd(p)
Емкость C с начальным напряжением UC 0					(рис.12.8) в опера-

торный схеме замещения надо заменить операторным сопротивлением ем-

кости	1	и внутренним источником ЭДС	UC	0	, направленным
	pC		p

встречно току.

Переход к оригиналу напряжения на емкости надо делать с учетом внутреннего источника ЭДС:

umd ( t )=Umd ( p )	1	I p	UC		0	.		(12.20)
	pC			p

uC ( t ) umd ( t )=Umd ( p )			1	I p		UC		0
			pC				p		.

		12.6. Законы Кирхгофа в операторной форме
П е р в ы й з а к о н К и р х г о ф а в о п е р а т о р н о й ф о р м е
			Сумма операторных токов, сходящихся в узле рав-
I1(p)			на нулю:
	I3	(p)	I3 p I4 p I1 p I2 p 0 . (12.21)
			I3 p I4 p I1 p I2 p 0 . (12.21)
I2(p)	I (p)
	4
Рис.12.9

В т о р о й з а к о н К и р х г о ф а в о п е р а т о р н о й ф о р м е

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

			241
В исходной схеме рис.12.10а в момент t				0 есть ненулевые началь-
ные условия: i1 0		0, , UC 0	0. Составим по второму закону
Кирхгофа уравнение для мгновенных значений:
i1(t)	L		I1	(p)	pL	Li1(0)
	L				pL	Li1(0)
a		b	a			b
		R				R

e2	(t)	E2	(p)
	c		c
i2(t)	e1(t)	I2(p)	E1(p)
i2(t)		I2(p)

	uC				1/pC	UC(0)/p
					1/pC
m - +		d			m		d
	C	а)				б)
				Рис.12.10		б)


	di		1 t
L	1	Ri1 t		i2dt UC 0 e1 t e2 t .			(12.22)
L	dt	Ri1 t	C	i2dt UC 0 e1 t e2 t .			(12.22)
	dt		C	0

В операторной форме для схемы рис.9.10б это уравнение имеет вид:


pL I1 p	RI1 p				1	I2 p E1 p E2 p Li1 0	UC	0	, (12.23)
pL I1 p	RI1 p				pC	I2 p E1 p E2 p Li1 0	p		, (12.23)
где	Li1	0 ,	UC		0	- внутренние источники ЭДС.
где	Li1	0 ,		p		- внутренние источники ЭДС.
				p

Фо р м ули р о в к а

Влюбом контуре операторной схемы замещения алгебраическая сумма произведений операторных токов на операторные сопротивления равна алгебраической сумме изображений реальных источников ЭДС и внутренних источников ЭДС.

Вы в о д

Законы Ома и Кирхгофа в операторной схеме замещения выполняются. Следовательно, расчеты можно проводить любым методом расчета цепей постоянного и гармонического тока.

П р и м е р 1 2 . 3

Найти ток в индуктивности схемы рис.12.11а. Р е ш е н и е

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

242

1. Расчет режима до коммутации: iL 0 1 A .

2. Находим изображения источника сигнала, внутренние ЭДС и операторные сопротивления цепи:

e t 2 В = E p			2 В с , Li			0	1 ГнА		1В с , pL		p 1 Ом .
			p	L
			p
	iL (t)								I(p)	Li(0)=1
										Li(0)=1
	L=1Гн								pL=p
									pL=p		2O
											2O
											M
E=2B	R1 = 2 Ом R2 = 2 Ом							E/p=2/p		2OM
E=2B

							t=0
		а)		Рис.12.11						б)
				Рис.12.11
Составляем операторную схему замещения рис.12.11б.
3. Находим изображение тока:
							2	1
			E p LiL			0	p	1	2	p
	I p		E p LiL			0	p		2	p
	I p		pL	R1R2			p 1		p p	1 .	(12.24)
			pL	R1	R2
				R1	R2

4. Переходим от изображения к оригиналу тока.

12.7. Способы перехода от изображения к оригиналу

Переход от изображения к оригиналу можно выполнить несколькими методами:

1. Использовать обратное преобразование Лапласа и вычислять инте-

грал:

	i t	1

		2 j
		2 j

c j

I p e pt dp .

(12.25)

c j

2. По таблицам преобразования Лапласа.

3. По теореме разложения при простых корнях. Это способ мы рекомендуем применять в электротехнических расчетах.

Найдем оригинал от операторного тока (12.24):

I p	2	p	A p

	p p	1	B p .

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

243

Дробь

A p

должна быть правильной:

степень числителя меньше

степени знаменателя.

Находим корни знаменателя: B p

0, p p

корни:

0, p

Находим производную знаменателя: B

2 p

Находим значения:

A p1

2, A p2

1, B p1

1, B p2

Находим оригинал тока по формуле разложения:

A p1

A p2

p t

i t

2 e

B p 2

П р и м е ч а н и е .

Если один из корней равен нулю, оригинал содержит постоянную составляющую.

12.8. Особенности расчета операторным методом при гармонической ЭДС

i(t)

e(t)

	В цепи рис.12.12 действует гармониче-
L	ская ЭДС e( t ) Em sin t . Найти ток i( t ).

		Рис.12.12
t = 0
t = 0
		Р е ш е н и е
1. Расчет режима до коммутации: Im				Em		Ime j .
1. Расчет режима до коммутации: Im						Ime j .
			R1	R2	j L
			R1	R2	j L
Мгновенное значение: iL t Im sin t				.
При t	0 начальное условие: iL 0			Im sin	.
		С п о с о б ы р е ш е н и я :
а) Расчет для действительной формы ЭДС:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

244

e( t ) Em sin t = Em p2 2 .

LiL 0

Находим изображение тока: I p

R1 pL

В ы в о д : вычисления оригинала сложные !

б) Расчет для комплексной формы ЭДС:

Заменим e t на

E t

E e j t =

Комплексная функция времени для тока:

jLiL

i t =

p j

(для e( t )

sin t

внутренний ис-

точник ЭДС надо взять мнимым). Находим i t Jmi t .

В ы в о д : расчет проще, но требует использования комплексных чисел.

в) Применим метод отделения принужденного режима от свобод-

ного.

2. Выполним расчет принужденного режима символическим методом:

Iсв(p)

e j 2 ,

mпр

j L

iL пр

Im пр sin t

2 ,

iL пр

Im пр sin 2 .

Liсв(0+)

3. Определяем начальные условия для свободных

составляющих.

Рис.12.13

iLсв 0

iL 0

iL пр

4. Составляем операторную схему замещения для

свободных составляющих (рис.12.13).

Находим свободный ток:

LiLсв

R1 t

= i

L .

св

Lсв

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

245

5. Находим полный ток:

sin t

i t i

L пр

t i

L св

m пр

Lсв

0 e L .

12.9. Примеры расчета переходных процессов операторным методом

П рим ер 1 2 . 4

R1 a

E	C
	R2

t=0

		В цепи (рис.12.14) заданы парамет-
	uC	ры: Е =100 В, R1 = R2 = 100 кОм, С = 2
	uC	мкФ.
		мкФ.
		Найти uC(t) операторным методом.

Рис.12.14 b

Р е ш е н и е .

1. Находим независимое начальное условие uC 0

100 В .

2. Составляем операторную схему замещения (рис.12.15):

R1	a
E		UC(0)	UC(p)
E	R2	p	UC(p)
p	R2	p
		1
		pC
Рис.12.15 b

3. По операторной схеме замещения методом двух узлов находим изображение UC(р):

UC ( p ) Uab ( p )

E(1

pCR )

E(1

p 0,2 )

A( p )

p( 2

pCR )

p( 2

p 0,2 )

B( p )

4. Находим оригинал UC(t) = Uab(t) по теореме разложения. Корни знаменателя находим из уравнения:

B(p)=p(2 + pCR) = 0 , откуда:

p	0, p	2	2	10 c	1 .


1	2	RC	0,2

Вычисляем:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

246

B ( p )			2 2 p 0,2, A( p1 )				E , A( p2 ) E ,
B ( p1 )			2, B ( p2 ) 2
						A( p1 )	p t	A( p2 )		p t
U	C	( t )	U	ab	( t )		e 1		e	2
U		( t )	U		( t )	B ( p )p p	e 1	B ( p )p p	e	2


						1		2

5050e 10t B

Прим ер 1 2 . 5

	R1		В цепи (рис.12.16) с параметрами L =
	R1
			0,1 Гн, R1 = R2 = 100 Ом действует источ-
e(t)		i (t)	ником	гармонической	ЭДС
e(t)	L	i (t)	e(t) = 141sin 103t B. В момент t = 0 ключ
			e(t) = 141sin 103t B. В момент t = 0 ключ
			k размыкается. Найти ток после коммута-
	R2	k	ции операторным методом, используя отде-
	R2	k	ление свободного режима от принужденно-
			ление свободного режима от принужденно-
			го.

Рис.12. .16

Ре ш е н и е

1.Расчет режима до коммутации:

Im		Em		141		1e-j45	A ,
	R1	j L
			100 j100
i( t ) 1sin(103t 45			); i( 0- )		i( 0 )		sin( 45 )	0,707 A .

2. Рассчитаем принужденный режим.

После коммутации активное сопротивление цепи станет равным 200

Ом:

Imпр		Em	141			e-j26 30 A ,
	200 j100
			100	5

iпр ( t )		0,63 sin(103t		26 30 )A .
Находим принужденный ток в момент t				0	:
iпр ( 0 )		0,63 sin(	26 30 )			0,281 A.

3. Находим независимые начальные условия для свободной составляющей тока в индуктивности:

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

247

iLсв ( 0 ) iсв ( 0 ) i( 0 ) iпр ( 0 )

0,707 0,281 0,426A

4. Составляем операторную схему замещения для свободных составляющих (рис.9.17). Находим операторный свободный ток:

Ιсв(p)

LiLсв(0)

Рис.12.17

Iсв ( p )		Liсв ( 0 )	0,426 0,1		.
	R1	R2 pL		200 0,1p

По теореме разложение находим оригинал свободного тока:

i ( t )	0,426e-2000t А.
св

5. Находим полный ток:

i( t ) iпр ( t ) iсв ( t )

0,63 sin(103t 26 30 ) 0,426e-2000 A

П рим ер 1 2 . 6

Решить задачу из примера 11.12 (рис.11.33) операторным методом

расчета.
1. Расчет режима до коммутации:
uC 0	uC 0	6 В , iL 0	iL 0	3 А.

2. Составляем операторную схему замещения цепи (рис.12.18):

pL	Li(0)	a
		a
		UC(0)
E/p		p
	R1	1/pC
		1/pC

Рис.12.18

3. По методу двух узлов находим Uab

p :

Li 0

Uab

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

																		248
			12							4			3
							p					3	3		6				1
							p					3							1
								4			p							16				6 p2
								4										16
					3																		48 p		144		A p
					3																							.
							1							1	p			1				p p2	8 p 12				B p	.
			4										2		p		16
							p
							p		3
4. Находим оригинал напряжения по теореме разложения.
Для этого:
Находим корни знаменателя:
	B p 0, p 0, p																	2 1				, p	6	1	.
			1										2							c	3			c
Находим производную знаменателя:
	B	p		3p2							16 p				12 .
Вычисляем:
	A p1		144									12 В .
	B	p1				12						12 В .
	B	p1				12
	A p		6							2 2					48			2			144
		2																						9 В .
	B	p2	3							2 2					16			2			12			9 В .
	B	p2	3							2 2					16			2			12
	A p		6							6 2					48			6			144
		3																					3 В .
	B	p3	3							6 2					16			6			12		3 В .
	B	p3	3							6 2					16			6			12
Получим ответ:
				A p1									p t			A p2						p t	A p3			p t
u		t										e	1								e 2					e 3
u		t										e	1								e 2					e 3
	C			B p1												B			p2				B	p3
				B p1												B			p2				B	p3

12 9e 2t 3e 6t .

Ответ совпадает с расчетом классическим методом.

12.10.Контрольные вопросы

1.Назовите этапы расчета переходного процесса операторным мето-

дом.

2.К каким функциям можно применять преобразование Лапласа ?

3.Приведите примеры изображений простейших функций.

4.Какие основные свойства преобразования Лапласа Вы знаете ?

5.Теорема запаздывания и её применение.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

249

6.Последовательность расчета переходного процесса операторным методом при нулевых начальных условиях.

7.Из чего состоит операторная схема замещения ?

8.Как найти операторное сопротивление цепи ?

9.Операторныя схема замещения при ненулевых начальных услови-

ях.

10.Что такое внутренние источники ЭДС и как из рассчитывают ?

11.Законы Кирхгофа в операторной форме.

12.Способы перехода от изображения к оригиналу.

13.Теорема разложения и её применение.

14.Способы расчета переходного процесса при гармонической ЭДС.

В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3726 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
28.02.20242.81 Mб0Laboratornaya_rabota.docx
#
28.02.2024487.27 Кб0Mironenko_RGZ_1_TOE.docx
#
28.02.20243.19 Mб0Otvety_TOE.docx
#
28.02.2024137 Кб0VAFa_05_09.xlsx
#
28.02.20241.42 Mб1zadaniya-neti (1).pdf
#
28.02.20249.47 Mб1Алехин электротехника.pdf
#
28.02.20241.42 Mб0зад. 5.2 (1 часть).pdf
#
28.02.202414.57 Кб0Защита.docx
#
28.02.2024700.67 Кб0магнитные цепи.pdf
#
28.02.2024946.75 Кб0несинусоидальные цепи.docx
#
28.02.20243.68 Mб2практикум СФУ.pdf