книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

ОГЛАВЛЕНИЕ

§3. Особенности асимптотического представления решения

§4. Основные моменты исследования асимптотики решения

§6. Некоторые сведения из общей теории дифференциаль­

§9. Алгоритм построения асимптотического разложения

ПРЕДИСЛОВИЕ

В течение последних примерно двадцати пяти лет

.внимание многих авторов, занимающихся асимптотиче­ скими методами теории дифференциальных уравнений, при­ влекали дифференциальные уравнения, содержащие ма­ лый параметр при старшей производной. Этот интерес

уравнения понижается и решение упрощенного таким

ложены разнообразные методы решения этих задач. Однако до самого последнего времени не имелось ни одной моно­ графии, целиком посвященной этому вопросу. Материал по теории сингулярных возмущений содержался в основ­ ном в статьях. Неизбежное при этом отсутствие единства стиля и слишком конспективное изложение представляло значительную трудность как для математиков, желающих ознакомиться с этим кругом вопросов, так и для лиц, занимающихся прикладной тематикой.Ряд обзорных статей, например, [16, 10], а также глава X переводной моно­ графии В. В а з о в а [12] не могли восполнить этот пробел.

Глава J

ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

§ 1. Понятие асимптотического приближения по параметру

На первых исторических этапах изучения дифферен­ циальных уравнений основной целью являлось получение точного решения. Однако в дальнейшем выяснилось, что эффективное представление точного решения через элемен­ тарные функции возможно лишь для весьма частных клас­ сов дифференциальных уравнений. Поэтому все более остро вставал вопрос о способах построения приближенных ре­ шений дифференциальных уравнений. Этот вопрос разра­ батывался по двум направлениям: развитие численных методов решения и развитие асимптотических методов решения.

В настоящей монографии речь пойдет о некоторых асимптотических методах для дифференциальных уравне­ ний, содержащих малый параметр \х. Такое уравнение можно записать в виде

тотических методов отошла на задний план. Численные и асимптотические методы не исключают, а дополняют друг друга. Так, например, во многих случаях асимптотическое выражение удобно использовать в качестве нулевого при­ ближения при численных расчетах. Но наиболее полно взаимосвязь численных и асимптотических методов про­ является, на наш взгляд, в том, что одним из существен­ ных моментов в теории того или иного численного метода является исследование асимптотических свойств некоторых уравнений, отвечающих данному методу. Так, разностные схемы для численного решения дифференциальных урав­ нений (см. [4]) содержат некоторый малый параметр h (шаг), и при использовании такой схемы нужно быть уве­ ренным, что решение разностной системы, отвечающей данной схеме, при достаточно малых h близко к решению исходного дифференциального уравнения. Точно так же при регуляризации некорректно поставленных задач (см. [55]) вводится вспомогательное уравнение, содержащее малый регуляризирующий параметр а, и вопрос заключается в установлении близости (понимаемой в некотором опре­ деленном смысле) решения этого вспомогательного урав­ нения к решению исходной задачи.

§ 2. Понятие сингулярного возмущения

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1). Пусть f(x, t, ц.) непрерывна по совокуп­ ности переменных и удовлетворяет условию Липшица по х в некоторой области изменения х, t, \і. Определим реше­ ние x(t, |л) системы (1.1) некоторым дополнительным усло­ вием, например, начальным

Простейшее асимптотическое представление для x(t, \і) можно получить следующим образом. Полагая в (1.1) \х—0, приходим, вообще говоря, к более простому урав­ нению

Определим его решение x(t) тем же начальным условием (1.2), т. е. положим x(ta) = x°. Естественно ожидать, что если \і достаточно мало, то x(t) будет служить для x(t, \і) асимптотической формулой в том смысле, как это указы­ валось в § 1. Строгое исследование показывает, что это действительно так, а именно, разность x(t, ц,)—x{t) яв­ ляется бесконечно малой при ц - + 0 и стремится к нулю равномерно на некотором отрезке t 0 ^ . t ^ T . Этот резуль­ тат в настоящее время считается классическим и вошел в учебники по дифференциальным уравнениям (см., на­ пример, [47, 32]). Более точная формулировка этого ре­ зультата будет приведена ниже, в главе 2.

Рассмотрим теперь систему вида

В то время как порядок (1.3) тот же, что и (1.1), и ре­ шение x(t) системы (1.3) удовлетворяет условию (1.2), поставленному для (1.1), решение системы (1.5), вообще говоря, не может удовлетворить всем дополнительным условиям, которыми определяется решение исходной си­ стемы (1.4), так как порядок (1.5) ниже порядка исходной системы (1.4). Поэтому априори ясно, что в точках, где