книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений
.pdf70 |
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ |
ЗАДАЧИ |
|
[ГЛ. 3 |
|||||||||
не |
удовлетворяют, |
вообще |
говоря, |
неравенствам |
(3.97) |
||||||||
в |
некоторой |
окрестности |
точки |
t == 0. Поэтому |
для |
дока |
|||||||
зательства |
(3.96) |
запишем |
|
систему (3.95) в виде |
|
||||||||
|
[i^ |
= Fz(t)U |
|
+ k(t, |
[i)U, |
U(s,s,ii)=EM, |
(3.100) |
||||||
гдеk (t, \i)=Fz(t, |
p ) - F z { t ) |
= F,(zt |
( О + і Ц - ^ ) , |
y0(t), |
t ) - |
||||||||
— |
Fz(zo(t), |
y0(t), |
t). Матрица |
Fz{t) |
в |
силу (3.22) удов |
|||||||
летворяет |
условию |
(3.97), |
a \\k(t, |
р)||, |
очевидно, |
сколь |
|||||||
угодно мала |
при |
/ ^ т 0 р , |
если |
т0 |
достаточно велико. |
||||||||
Заменяя теперь (3.100) эквивалентным интегральным уравнением
U(t, |
s, \x) = W(t, |
s, p) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
§W(t,p,ii)-^k(p, |
tfUip, |
|
s, |
dp, |
(3.101) |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
где |
W (t, |
s, p)—фундаментальная |
матрица |
однородней |
||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ i ^ = Fz(t)W, |
W(s, |
s, |
р) = Ем, |
|
||
удовлетворяющая |
в силу |
леммы |
3.2 |
неравенству |
(3.99), |
|||
нетрудно доказать, например методом последовательных
приближений, |
как |
при |
доказательстве |
экспоненциальной |
|||||||||
оценки для П0 г(т), что |
U(t,s, |
р) |
удовлетворяет |
нера |
|||||||||
венству (3.96). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя теперь в первое уравнение (3.94) выраже |
|||||||||||||
ние для и (s, р), определяемое вторым |
уравнением, |
полу |
|||||||||||
чим эквивалентную |
систему |
уравнений |
|
|
|
|
|||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t, |
\i) = |
^K(t, |
s, |
\i)u(s, |
p ) d s + Q 1 ( u , |
V, |
t, p), |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t, |
p) = |
$V(*, s, |
p)/^(s, |
p)u(s, |
p ) d s + Q 2 ( « , V, t, |
p), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.102) |
где^ |
K(t, |
s, |
\i) = K1(t, |
|
s, |
ii)fz(s, |
p), |
KAt, |
s, |
p) = |
|||
= ^~U(t, |
p, |
\i)Fy(p, |
ц)Ѵ(p, |
s, |
[i)dp, |
откуда |
в |
силу |
|||||
§ Ю] |
|
|
|
|
|
ОЦЕНКА |
ОСТАТОЧНОГО |
ЧЛЕНА |
|
|
|
|
|
71 |
|||||||||
(3.96) |
следует, что |
Ц К ^ , |
s, |
ц ) | | < с |
при 0 < s < £ < 7 \ |
||||||||||||||||||
0 < ( і ^ і і 0 , |
|
а |
интегральные |
операторы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ql(u, |
|
V, |
t, |
fi) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= J |
— U (t, |
S, |
Li) Gt |
(«, V, S , |
Ll) + |
Kx |
(t, |
S, |
| l ) |
G2 |
(u, V, |
s, LI) |
ds, |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2(u, |
v, |
t, |
\i)=^V(t, |
|
s, |
L I ) G 2 ( « , |
V, |
s, |
u.)ds |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в силу двух свойств Gj и |
G2 |
обладают |
аналогичными |
||||||||||||||||||||
двумя |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
При 0 < / < 7 \ |
|
0 < L l < L l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Il Q/(0, |
0, t, |
L l ) | | < C L l " + |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Для |
|
любого |
8 > 0 |
существуют |
такие |
ô = ô(e) |
и |
|||||||||||||||
1*о = |
М е |
) . |
ч |
т о |
е с л |
и |
|
II "і (s. ^ ) I K Ô . |
|
II "г (s, |
ц ) | | < о , |
||||||||||||
IlV l (s, |
LI) Il < |
Ô, |
\\vt(s, |
|
i i ) | | < ô |
при |
0 < s < ^ < 7 \ |
0 < |
|||||||||||||||
< l l < L l 0 , |
ТО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|| <?,•(«!, vlt |
t, |
n) — Qi(u2, |
v2, |
|
t, L I ) | | < |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
< e m a x |
[\\ut |
(s, ii) — u 2 |
(s, іі)|| + |
|| ѵг (s, |
L I ) — O , (S, L I ) ||] |
||||||||||||||||
|
|
|
0<s<( |
|
|
|
( t = l , |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим через ß(^ , s, |
|
LI) резольвенту ядра K(t, |
s, |
L I ) . |
|||||||||||||||||||
В силу |
ограниченности K(t, |
s, |
L I ) |
резольвента |
R(t, |
|
s, [x) |
||||||||||||||||
также |
ограничена. |
Рассматривая |
|
в |
первом |
уравнении |
|||||||||||||||||
(3.102) |
(ЗДа, V, |
t, |
LI) как |
|
неоднородность, |
и |
используя |
||||||||||||||||
формулу (3.57), можно заменить это уравнение |
следую |
||||||||||||||||||||||
щим |
эквивалентным |
уравнением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u(t, |
\i) = Q1(u, |
V, t, |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
l |
R(t, |
s, |
|
L I ) |
Qt{u, |
V, s, [ifds^S^u, |
|
|
V, t, |
L I ) . |
(3.103) |
|||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначив |
V(t, |
s, |
L I ) / |
z ( S , |
\i) = H(t, |
|
s, |
L I ) , |
Q2 |
= S2 , |
пере |
||||||||||||
пишем второе |
уравнение (3.102) в |
|
виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t,\i)=lH(t,s, |
|
|
ji)«(s, |
ii) ds + |
|
Sa |
(и, V, t, ц). |
(3.104) |
|||||||||||||||
72 |
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. 3 |
Интегральные операторы 5, и S2 обладают, очевидно, такими же двумя свойствами, как и Q2 .
Для завершения доказательства теоремы достаточно доказать существование и единственность решения системы (3.103), (3.104) и оценки
( 0 < * < 7 \ 0 < р . < р . 0 ) . |
( d - 1 U b ) |
С этой целью применим метод последовательных прибли жений. Положим
(о)(о)
и(^,р,) = 0, |
v(t,\i) |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(*) |
|
|
|
и, |
V, t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t, |
p)=*Sx( |
|
|
|
|
|
(3.106) |
|
||||||
(ft) |
|
|
Р |
|
(ft-D |
|
|
(É-D(fe-l) |
|
|
|
|
||
v(t, |
\i)=]H(t,s,\i) |
|
и |
(s, \i)ds + S2( |
и, V, t, p.) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(k=l, |
2, . . . ) . |
|
|
|
|
|
||
|
В силу |
первого |
свойства |
S, и S2 |
при k — 1 |
получим |
||||||||
|
|
|
11%, | і ) | | < С | і в + 1 , |
|
|
|
|
|
( 3 1 |
0 7 ) |
||||
|
|
|
|
( 0 < * < 7 \ |
|
0 < ц < ц о ) , |
|
|
|
|
||||
а |
в |
силу второго |
свойства |
5Х |
и S2 из (3.106) |
имеем |
|
|
||||||
( f t + i) |
|
(ft) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л |
и |
(t, |
| 1 ) - И ( / , |
| |
* Ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<emax |
(*) |
|
(ft-1) |
|
(ft) |
(ft-i) |
|
|
|||||
|
|
|
ji) — u (s, (t)||-f ||o(s, p.)— о (s,|i)||], |
|||||||||||
|
|
|
0 < s « |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.108) |
||
(fe+i) |
|
(ft) |
|
|
|
|
(ft) |
(ft-i) |
|
|||||
|
|
|
|
|
(s, |
p,)||-f- |
|
|||||||
И V |
(t, |
p,)— v(t, |
p.) | K c T m a x I I u(s, |
ц ) — и |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 < S « |
(ft-О |
|
|
|
|||
|
-femax |
(ft) |
|
(ft-D |
|
(ft) |
(s, |
ц ) | | ] , |
||||||
|
[\\u{s, |
p) — |
ы (s, ц ) | | + | i > (s, ц — |
f |
||||||||||
|
|
|
0<s<* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
при 0 < s < * s ^ 7 \ |
0 < |
р,<р, 0 (е) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
| | H W ) I K Ô ( S ) , |
| | ( ? ( S , |i)Jj<ô(e), |
|
( |
З Л о |
д ) |
||||||
І|Ѵ([5,І*)ІІ<в(е), | | V ( s , ( i ) K Ô ( e ) ,
§ Ю] |
ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО Ч Л Е Н А |
73 |
Положим |
a = max{4c7\ 1}, |
D A + 1 = |
||
(ft) |
„ |
,(*+>) |
(ft) |
ii)И]. |
— u(t, |
ц) H+ 11 V |
(t, p) — v(t, |
||
будем |
иметь Z>A + 1 ^ |
— DK + е ( 1 + a) Dk. |
||
(t, р ) —
Тогда из (3.108) Возьмем столь
малое |
е, чтобы |
выполнялось |
неравенство |
8(1 + а ) ^ - ^ - . |
||||
Тогда |
получим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Dk+1<±Dk |
|
|
|
(3.110) |
при |
условии, что выполнены |
неравенства |
(3.109). |
|
||||
Покажем, что при достаточно малых |
р (0 < |
р ^ р„) |
||||||
неравенства |
(3.109) и, следовательно, (3.110) выполнены |
|||||||
для |
всех k |
(k~\, |
2, . . . ) . С этой |
целью |
воспользуемся |
|||
оценками (3.107) и возьмем р 0 |
^ р 0 ( е ) столь малым, чтобы |
|||||||
при |
0 < р ^ |
р 0 выполнялось |
неравенство |
|
|
|||
Dx = |
max [а \\ u\t, |
р) || +1| v\t, |
р) ||] |
< |
|
|
||
|
0<і<Т |
|
< c ( l + a ) p n + 1 < ^ ô ( e ) . |
(3.111) |
||||
|
|
|
|
|||||
Тогда |
при k — 1 будет выполнено (3.109) и, следовательно, |
|||||||
(3.110). Далее предположим, что (3.110) имеет место при
k=l, |
2, . . . . / |
- 1 |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
. . . < |
+ А |
(& = 1, 2, |
/ — 1). |
Отсюда |
следует, |
что |
|||
|
2й |
|
|
|
|
|
|
|
|
(о |
(0 |
<г-і> |
|
е-2) |
„(и, |
|
|
|
|
И К І І и - и 11 + 11 и - |
и Ц + . . . + І Н К |
|
|||||||
<Dl |
+ Dl_1+... |
|
+ D 1 < ( J - i + |
^ - + . . . + |
l ) D 1 |
< |
|||
|
|
|
|
|
|
< 2DZ < |
ô (e) (3.112) |
||
при |
0 < / < 7 \ |
0 < |
p < p 0 . |
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
получается |
|
|
|
|
|
|||
|
||ï|| < ô (e), |
d" и |
< ô (e), |
| | V | | < |
ô (e) |
|
|||
|
|
|
( 0 < f < 7 \ |
0 < p < p 0 ) , |
|
|
|
||
т. е. выполнено (3.109) при k = L Следовательно, и неравенство (3.110) имеет место при £ = /. Таким образом, мы указала такое р 0 , что при 0 < р < р 0 для всех k
74 |
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. 3 |
(k=l, 2, . . . ) справедливо неравенство (3.110). Из этого неравенства вытекает равномерная относительно t g [0, T]
сходимость |
последовательных |
приближений |
u(t, |
|
L |
||||||||||||
(к) |
ii) при k—>оо, |
что доказывает существование |
реше |
||||||||||||||
v(t, |
|||||||||||||||||
ния |
u(t, |
|
L I |
) , |
v(t, |
fi) системы (3.103), (3.104). |
|
|
|
||||||||
Для доказательства единственности достаточно заме |
|||||||||||||||||
тить, что |
правые |
части в |
(3.85) |
удовлетворяют условию |
|||||||||||||
Липшица по и я v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Так |
как |
в |
|
силу |
(3.112) |
все |
последовательные |
приб- |
||||||||
лижения |
<*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
|
|
|
|
||
u(t, |
LI) удовлетворяют неравенствам \\u(t, |
|
L |
I ) | | ^ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ft) |
|
|
|
|
< 2 D X |
( £ = 1 , |
2, |
. . . ) , и |
аналогично |
||t>(*, |
і і ) | | < 2 Д |
|||||||||||
( & = 1 , 2, . . . |
) |
, |
то |
таким |
же |
неравенствам |
удовлетворяе |
||||||||||
решение |
u(t, |
|
|
L I ) |
, v(t, |
L I ) , откуда |
в |
силу |
(3.111) |
получ |
|||||||
|
|
|
\\u(t, |
|
L l ) | | < q i " + |
\ |
\\V(t, L l ) | | < C L l " + |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
( 0 < f < 7 \ 0 < L l < L l 0 ) . |
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
образом, |
неравенства |
(3.105) |
и теорема 3.1 |
дока |
||||||||||||
заны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Доказательство |
леммы |
3.2. Запишем (3.98) |
в |
виде |
||||||||||||
p*£=A{p)W |
|
+ [A{t)--A{p)]W, |
|
W{s,stV) |
= EM, |
(3.113) |
|||||||||||
где |
р—любое |
|
фиксированное значение из сегмента |
[0, |
Т]. |
||||||||||||
Из (3.113), используя формулы (3.54) и (3.55), получаем
W(t, |
s, n) = e x p ( ^ ( / 7 ) ( / - s ) ) |
+ |
|
t |
|
+ |
£ 1 ехр ( 1 Л (р) (*-<?)) |
[Л ( g ) - Л (р)] W (g, s, ^ d ç . |
|
|
(3.114) |
Уравнение (3.114) эквивалентно (3.113) при любом р € [0, Т], в частности, при p — t. Полагая p = t, получим
W(t, |
s, L I ) = ехр ( ± Л (*)(*-s)) + |
|
t |
+ |
j ' l e x p ( ± Л ( 0 ( * - < 7 ) ) [ Л ( ? ) - Л ( 0 ] W(<7, s, v)dq. |
(3.115
§ |
10] |
|
ОЦЕНКА |
ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА |
|
75 |
|||
Положим |
при |
0 ^ |
s ^ |
/ ^ |
Г |
|
|
|
|
|
\\W(t, |
s, p) II ехр (a (^—s)/p) = (ö(/, |
s, |
p). (3.116) |
|||||
Умножая |
(3.115) |
на |
ехр |
(o(t—s)/p) |
и |
учитывая, что |
|||
в |
силу (3.97) |
и (3.56) |
при |
t^O имеет |
место |
неравенство |
|||
К ехр (At) |
II ^ с е х р (—2at), |
получим |
|
|
|
||||
со (t, |
s, |
р ) < |
с ехр ( - |
|
t |
|
|
x j e x p ( |
-22a(t-q)\ |
||
l |
|||
или |
|
|
|
(Ô (t, |
s, |
p) siC |
|
+ ^ ехр ( ^ ) х
o(q-s)\ x
Xco(<7, s, n)dq,
< |
c + |
£ . J e x p |
( - |
^ ^ |
) |
||Л(</) - Л (0 ||<о(?, |
s, |
y)dq. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.117) |
|
Положим |
при |
фиксированном |
p M— |
max со(^, |
s, p). |
|||||||
Тогда |
из |
(3.117) |
следует |
|
|
|
|
o<s<*<r |
|
|
||
|
|
|
J, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
М < с + - М |
max |
|
(3.118) |
|||||
где J = $exp ( |
- |
^ = |
^ ) |
| | Л ( 0 ) - Л ( / ) | | ^ . |
|
|
||||||
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим e ( p ) = |
max |
\\A(q) |
— /1(011- |
В |
силу |
|||||||
непрерывности |
A (t) |
имеем |
е(р)—»0 |
|
при р—>-0. |
Если |
||||||
/ - s < K p , то |
II A (q) — A (t)\\ ^ е ( р ) |
и |
|
|
||||||||
y < B ( p ) J e x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
t — s>J/"p, |
то |
J = Jl |
+ J2, |
где |
|
|
|
|
|||
/ 1 = |
j |
|
|
|
|
exp(-iy=£)\\A(q)-A(t)\\dq^ |
|
|
||||
76 |
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. 3 |
- « P ( - ' - ^ ) ) < 4 . « P ( - ^ ) .
t
J2= |
^ е х р ( - ^ ^ ) | | Л ( < 7 ) - Л ( 0 | | ^ < |
|
|||||||
t-ѵц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<e(p.) |
j |
е х р |
( - 2 І Ь |
З ) ) ^ < |
^ . |
||
Из полученных неравенств следует, что |
|
|
|||||||
|
max |
|
/ ^ р [е (p)/a-f сехр ( — a / K p ) ] . |
|
|||||
|
о< s</ < т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем р 0 столь |
|
малым, |
чтобы при 0 < р, ^ |
р 0 выполня |
|||||
лось неравенство |
|
с[е(р)/а + с е х р ( — с т / К ц ) ] ^ 1/2. Тогда |
|||||||
из (3.118) получим М^.с-\--^М, |
откуда |
M ^.2с, |
и, |
||||||
следовательно, в силу |
(3.116) |
|
|
|
|
||||
|
\\W(t, |
|
s, ц ) | | < с е х р ( - ^ = ^ ) |
|
|
||||
|
( 0 < s < / < 7 \ |
0 < р < р 0 ) . |
|
|
|||||
Лемма |
3.2 доказана. |
|
|
|
|
|
|
||
§ 11. Некоторые |
замечания и обобщения |
|
|
||||||
В предыдущих параграфах было получено асимптоти |
|||||||||
ческое |
разложение |
(3.24) — (3.26) |
решения |
начальной |
|||||
задачи (3.18), (3.19). В (3.24)—(3.26) в качестве началь
ной точки |
берется |
t = 0 и написанное разложение имеет |
|
место для t ^ 0. |
|
|
|
1. Все сказанное |
остается |
справедливым и для случая, |
|
когда в качестве начальной |
точки берется t0 Ф 0 и, сле |
||
довательно, |
вместо |
(3.19) имеем z(t0, р) = z°, у (t0, р.) = у". |
|
Этот случай, очевидно, получается из предыдущего простым
сдвигом независимого переменного /. В описании |
алгоритма |
построения (3.24)—(3.26) это выражается в |
том, что |
теперь в (3 . 26)т= (/ — /0 )/р, в (3.32), (3.34) и (3.37) величины
§ |
11] |
НИКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ |
И ОБОБЩЕНИЯ |
77 |
t, |
zk(t), |
yk{t) появятся не при |
t = 0, а при t = t0 |
и, |
наконец, начальные условия (3.40), (3.47) и (3.49) будут задаваться не при ^ = 0, а при t = t0.
2. Справедливость асимптотики (3.24) — (3.26) доказана при условии (3.22). Полученный результат очевидным
образом |
видоизменяется, |
если |
в |
(3.22) |
имеет место |
про |
||||||||
тивоположный |
знак неравенства |
|
|
|
|
|
||||||||
R e À , . ( 0 > 0 |
при |
0 < ^ < 7 \ |
|
і=\, |
2, . . . . M. |
(3.119) |
||||||||
Это условие мы будем называть |
условием |
устойчивости |
||||||||||||
влево, корень |
|
г = ц>(у, |
t) |
в |
этом |
случае |
будем |
называть |
||||||
также |
устойчивым |
влево. |
В |
противоположность |
этому |
|||||||||
условие |
|
(3.22) |
будем |
называть |
условием |
устойчивости |
||||||||
вправо |
и |
корень z = q>(y, t) |
устойчивым |
вправо. |
Эта тер |
|||||||||
минология будет использована в главе 4. |
|
|
|
|||||||||||
При выполнении (3.119) начальные условия нужно |
||||||||||||||
задавать |
не |
при |
/ = 0, |
а |
при t = T, и решение |
рассмат |
||||||||
ривать |
слева |
|
от начальной |
точки. Этот |
случай |
сводится |
||||||||
к рассмотренному простой заменой |
t на Т — t. В описании |
|||||||||||||
построения (3.24) — (3.26) это выразится в том, что помимо тех изменений, которые указаны в замечании 1 (/„ = 7'), следует еще в несобственных интегралах (например, в (3.49)) заменить о о на — о о , так как т=(^—T)f\i < 0. Кроме того, поскольку пограничный слой здесь появится вблизи правого конца рассматриваемого отрезка, условимся в инте ресах следующей главы обозначать пограничные функции
на |
правом |
конце не символом П, |
а символом Q. Урав |
||
нения |
для |
определения |
Q-функций |
те же самые, что и |
|
для П-функций, только |
они рассматриваются при т<Г0 . |
||||
В |
этих |
обозначениях условия (3.49) |
принимают вид |
||
|
|
|
— со |
|
|
|
|
У*(Г)= S |
{k=\, 2, . . . ) . (3.120) |
||
о
3. Разложение (3.24)—(3.26) было получено при усло вии, что начальные значения z°, у0 не зависят от р. Пусть теперь 2 ° , у0 зависят от р., причем для них имеет место асимптотическое представление в виде ряда по степеням р
х° = х°(р,) = х0 + р . х 1 + . . . |
+ p , % + . . . |
. (3.121) |
Такой случай играет важную роль при исследовании краевых задач (см. главу 4). Доказательство теоремы 3.1 проходит в этом случае без существенных изменений Что
78 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ [ГЛ. 3
касается самого алгоритма построения асимптотики, то
отличие |
заключается в том, что вместо |
(3.40), (3.47), (3.49) |
||||||||||||
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Уо(0) = уй, |
CD |
|
|
|
|
|
|
|
(3.122) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y*(0) = |
^ + S n |
* _ J ( s ) d s |
(k=U 2, |
. . . ) . (3.123) |
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а вместо (3.42), |
(3.48), |
(3.50) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
. llkz(0) |
= zk-lk(0) |
|
(k = 0, 1, 2, |
. . . ) . |
(3.124) |
|||||||
4. |
Остаточный |
член |
асимптотического |
разложения |
||||||||||
(3.24)—(3.26) |
имеет |
|
равномерную оценку |
(3.52) на всем |
||||||||||
отрезке |
0^t^.T. |
Отметим, что если |
взять |
отрезок 0 < |
||||||||||
< t 0 ^ t ^ T , |
где t0— как |
угодно |
малое, но фиксирован |
|||||||||||
ное |
при р —+0 |
число, |
то в качестве |
асимптотического |
||||||||||
приближения |
с той же точностью можно |
|
использовать |
|||||||||||
только |
регулярную |
часть |
(3.25), т. е. будем |
иметь |
||||||||||
|
II X |
(t, |
р) — (*0 |
(t) + |
V L X 1 { t ) + - - - + |
И" *» (0) Il < |
C p " + 1 |
|||||||
при t0 ^ |
t^T, |
0 < p ^ |
р 0 . Это непосредственно следует из |
|||||||||||
оценок (3.58)"для П-функций. |
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Если правые |
|
части F и / |
системы |
(3.18) |
зависят |
||||||||
также от параметра |
p: F — F(z, у, t, p ) , f = f{z, |
у, t, р), |
||||||||||||
причем эта зависимость |
регулярна |
и такова, что собствен |
||||||||||||
ные |
значения |
K{(t) |
матрицы Fz(q>(y(t), |
t), y(t), |
t,0), где |
|||||||||
z(t) |
= (ç(y (t), |
t), y(t) — решение вырожденной системы |
||||||||||||
|
0 = F(z,y,t,0), |
|
ft |
= f(z~,y,t,0), |
y*(0) = y°, |
|||||||||
по-прежнему |
удовлетворяют условию (3.22), то уравнения, |
|||||||||||||
определяющие члены разложений (3.25), (3.26), видоиз
меняются очевидным |
образом, а доказательство теоремы |
||||
3.1 проходит |
без всяких изменений. |
|
|||
6. |
При |
изучении |
некоторых |
вопросов |
(например, |
в главе 4) решение системы (3.18) |
приходится |
рассматри |
|||
вать |
как функцию начальных значений 2°, у". Нетрудно |
||||
видеть, что если х° |
принадлежит |
некоторой |
замкнутой |
||
области Р, причем для каждого х° g Р выполнено условие V теоремы 3.1, то оценка (3.52) носит равномерный харак тер относительно х° Ç Р, т. е. с и р„ не зависят от .v° g P.
Глава 4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§12. Введение
Впредыдущей главе было детально рассмотрено пост роение асимптотики решения начальной задачи (3.18), (3.19). Однако для (3.18) могут быть заданы более слож ные дополнительные условия, а именно, часто приходится рассматривать двухточечную краевую задачу, а также многоточечную, задачу с подвижной границей и другие.
Дополнительные условия достаточно общего вида можно записать как
/?(*) = О, |
(4.1) |
где R — (М +/п)-мерный вектор, каждая компонента кото рого является некоторым функционалом от х.
На основе изложенного в предыдущих главах простей ший подход к построению асимптотики решения такой задачи будет заключаться в следующем. Решение задачи (3.18), (4.1) можно попытаться искать как решение началь ной задачи (3.18), (3.19) с неизвестным начальным зна чением х°(р), которое представим в виде разложения по р:
*(0, p) = x°(p) = x0 + p x 1 + . . . + p * x f t + . . . , |
(4.2) |
где хк— пока неизвестные параметры.
Построив ряды (3.24)—(3.26) для решения задачи (3.18),
(4.2) (см. замечание 3 § |
11), подставим их в (4.1) вместо |
|||
точного решения, после |
чего представим левую часть |
(4.1) |
||
также в виде разложения по р |
|
|
||
/?(х0 + |
ц ^ + • • • + П 0 л : + р П 1 х + |
. . .) = /?0 + ц / ? 1 + . . . |
= 0 . |
|
Отсюда |
получим |
|
|
|
|
Rk = 0 |
(k = 0, |
1, . . . ) . |
(4.3) |