Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

(t)(0)

П 0 г ( т ) - П 0 г ( т )			<
	S l				/(0)	\
	S l				G{U0z(s))			- G ( 0 )
	\| e x p ( F , ( 0 ) ( T - s ) ) \| \| -				G{U0z(s))			- G ( 0 )
	То
	^ J C j e x p ( — о с ( т — s ) ) e ô ^ e x p ( — x ( s — т 0 ) ) ds =
	То
	:ÔC.^ecjexp(—х(т—т0 )) ^ exp(—(a —х)(т—s))dss=;
				То
		<	б с і	e x P (—* ( T —T o))			=
		= ÔCj< 7 e x p ( —х(т—т0 ))						( T ^ T 0	) . (3.65
Отсюда
(i)	г (т) К	(1 + q) exp ( - x			( т - т 0 ) ) <
П0	г (т) К	(1 + q) exp ( - x			( т - т 0 ) ) <
	<	r = ^e x P (—%		( T — T o) ) <		Л		( т > т 0 ) .	(3.66)
Докажем по индукции,				что при т ^ т 0
<*)	г (т) II <	6ct (1+<7+ • - • +qk) exp ( - х					( т - т 0 ) )
П 0	г (т) II <	6ct (1+<7+ • - • +qk) exp ( - х					( т - т 0 ) )
И (ft)	(k-i)		I			(k = 0,		1, . . . ) ,	(3.67)
И (ft)	(k-i)		I
Il П 0 2 (т)— П 0 Z (			T ) I < ОС! <7ft		exp (—x (т—т0 ))
						( f t = l ,		2, . . . ) . (3.68)
Для k=\		(3.67)	и (3.68) верны в			силу		(3.66) и	(3.65).

Пусть (3.67) и (3.68) верны до номера к. Тогда в силу (3.67)

И П"0У (т) I <	Ьс, (1 + q +		. . . + qk~l) exp ( - x ( т - т 0 ) ) <
	м ,	;	е х р ( - и ( т - т , К т і	(r>r0).
	1-Я
Аналогично,	П0 г(т) J]		г\| при т ^ т 0 . Отсюда,	используя

условие (3.61) и неравенство (3.68), получаем

П0 г ( т ) - П 0 г ( т )

exp ( F ,(0)(T - S))

| с ( п 0 2 ( 5 ) ) — G ( nVz(s) ) H

§ Ю]

ОЦЕНКА

ОСТАТОЧНОГО

ЧЛЕНА

Il (*)

(ft-1)

^ C j e x p

(—а(т—s)) в II no z(s)—

П0

z(s)||ds^

<Г ^ cx

e x p (—а (т—s)) еос^* e x p ( — x (s—т0 )) ds =

ôqec^* e x p (—х(т—т0 ))

J e x p ( — (а—x) ( т — s ) ) d s <

ô c i ^

<7*e

x P (—* ( T —T o)) = ôc1<7*+1

e x p ( — X (T — т 0 ))

( T > T 0 ) .

Это доказывает справедливость (3.68) для номера

k+l.

Из

последнего

неравенства

и (3.67)

следует

при

т ^ т 0

(

П ^ ( т )

Ôc, (1 +

<7+ . . . +

qk+1)exp

( - х

(т - т,)),

т. Iе.I

(3.67)

справедливо для номера

(ft)

/(ft)

Из

неравенства (3.68)

и тождества

Ti0z=\Tl0z—

(*-l)

/(ft-l)

(ft-2)

/(1)

(0)

— U0z)-\-\

П 0 z— no zy -f- . . . + \U0z—ïl0z)

вытекает

равномерная

относительно

при

т ^ т 0

сходимость

(ft)

z (т) к решению

последовательных приближений П 0

П0 г(т)

системы

(3.43),

из (3.67)

следует

оценка

| | П 0 г ( т ) | | < ^ е х р ( - х ( т - т 0 ) )

при

т > т 0 .

(3.69)

При

0 ^ т ^ т 0

решение П0 г(т) задачи (3.43), (3.42)

огра

ничено

некоторой

постоянной с2 ,

| | П 0 г ( т ) | | < с 2

при

0 < т < т 0 .

(3.70)

Если

положить

с = т а х | с 2 е х р (хт0 ),

^ ^ е х р (хт 0 )| , то в

силу

(3.69),

(3.70) будет

справедливо

неравенство

| | П 0 г ( т ) | | < с е х р ( — х т )

при

т > 0 ,

(3.71)

т. е. неравенство

(3.58) для і — 0 доказано.

Перейдем к

доказательству

неравенства

(3.58) для

і = 1 .

(3.46)

согласно

(3.34)

n j ( s ) » / ( F e ( 0 ) +

ne z(s),

у*,

0)-/(i"o (0),y0 ,0)e /î-no z(s)


62		АСИМПТОТИКА		РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ			ЗАДАЧИ		[ГЛ. 3
Элементы		матрицы		fl	вычисляются в		промежуточных
точках	(z0 (0) + ei n0 2(s),				у\ 0),	0 < Ѳ , < 1 ,		і = 1 ,	...,т,
j — 1, . ..,		M, откуда следует ограниченность						\|\| fl \|\|. Из пос
леднего	равенства в		силу		(3.71)	получаем
		II П 0 / (s) II <	сехр(—Ks)			при	s > 0 .		(3.72)

З а м е ч а н и е 1. Постоянная с здесь, вообще говоря, не та же самая, что в (3.71). Условимся, однако, подобные, не зависящие от ц постоянные, величина которых в рассуждениях существенной роли не играет, всюду в дальнейшем обозначать одной и той же буквой с.

Из полученного неравенства (3.72'} вытекает сходимость интеграла (3.45) и оценка для П ^ т )

			со
II Пі«/(т) II ^			с J ехр (—xs) ds = ~ ехр (—хт)						(т ^ 0).
			т
Постоянную с/и в соответствии с замечанием									1 обозначим
вновь	через с.		Таким		образом
		l i n ^ W I K c e x p t — х т )					( т > 0 ) .			(3.73)
Уравнение		для	П ^ т )		(см. (3.34))		запишем	в	виде
			^		= F , ( T ) n i z	+	G1 (T),		(3.74)
где Gt	(т) =	F у (т) Іі.гу (т) + Gx (т), Gx					(т) определяется			форму
лой (3.35),		откуда,		аналогично		неравенству (3.72),				полу
чается	оценка
	II G1 (т) II ^			(сх + с) ехр (—хт) при				т ^ О .
Беря	Xj < X,			с	учетом	замечания			1	получим
(сх + с) ехр (—хт) ^				с ехр ( — x t T ) .
З а м е ч а н и е			2. При доказательстве данной леммы и в других

аналогичных случаях подобное уменьшение множителя х придется

проделывать	некоторое конечное число раз. Условимся в дальнейшем
писать одну	и ту же букву х (вместо х ь	щ,	. . .).
Таким	образом,
	\|\|GJ(T) ( К с ехр (—хт)	при	т > 0 .	(3.75)
Из (3.73) и (3.75) следует \|\| G X (т) \| К с ехр (—хт)				при т > 0.

	ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА	63
Решение системы (3.74) с начальным условием (3.48)
можно	записать в виде
	т
П і 2	(т) = — Ф (т) z, (0)+ S Ф (т) Ф - 1 (s) G\ (s) ds,	(3.76)
	о

где Ф(т)—фундаментальная матрица соответствующей

однородной	системы
	d ^	= Fz(r)0,	Ф(0) = £ м .
Аналогично	тому,	как была	получена		оценка	(3.71) для
П0 г(т), нетрудно		показать, что
\| \| Ф ( т ) \| \| < с е х р ( — х т )				при	т > 0 ,	(3.77)
\| \| Ф ( т ) ф - 1 ( 8 ) \| \| < с е х р ( — х ( т — s ) )				при 0 < S < T . (3.78)
Используя эти неравенства и оценку					для jj ö x (т) \| j , из
(3.76) получаем
Ц П ^ т О І К с е х р ^ - хт)				при	т > 0 .	(3.79)

Неравенства (3.73) и (3.79) доказывают (3.58) для і = 1 . Дальнейшее доказательство проведем по индукции.

Пусть неравенство (3.58) справедливо для г' = 0, 1, . . .

k—1. Из второго уравнения (3.37) имеем

П^(т) = П^(0)+ $nÉ _J(s)ds.

Дополнительное условие для ПА і/(т) было задано в виде П*|/(т)—-»-0 при х—»-оо. Отсюда получаем

	да
nky(0) =	-lllk_J{s)ds,
	о

и, следовательно,

nky(x) =	-\nk_1f(S)ds.
	X

Для доказательства неравенства (3.58) для ПА г/(т) доста точно доказать, что

І | П А _ 1 / ( т ) | | < с е х р ( — х т ) при т > 0 .

(3.80)

64	АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ					НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ				[ГЛ. 3
С этой	целью			рассмотрим			подробнее		разложение
П/ = /(2(тц, р) +			ГІ2(т, р),		г/(тр,		р) +	Пг/(т,	р),	тр) —
— / ( г ( т р , р,), у (тр.,				р.), тр)	в ряд		по	степеням р. Введем
функцию
¥ (а) =	/(г(тр,	р) +		оТТг(т,	р),	г/(тр,		р) + аПг/(т,		р),	тр).
Тогда
П/ = ¥ ( 1 ) — Т ( 0 ) =
=	J ^ d c	=	К / , d a )		Ш ( т ,		p ) + ( J / y d a ) l b / ( T ,				р),
где элементы матриц fz					и	fy	вычисляются			в	точке
(г(тр.,	р) + оП2(т,		р), г/(тр, \î)-\-aHy					(т, р), тр).		Подста

вим вместо г(тр, р), г/(тр, р) ряды (3.25), представив ко

эффициенты

хк

(t)

этих рядов в виде хк (t)=xk(x\i)

~хк(0)

+ цххк(0) +

• • • I вместо Пг (т, р), Ну (т,

р)

подставим ряды

(3.26), разложим

fz и fy в

ряд

Тейлора

с центром

разло

жения

точке

(20 (0) +

аП0 2(т),

у0 (0) +

oïl0y(x),

= = ( 2 о ( 0 ) + ( Т По2 (т )>

У0,

0) и

соберем

члены с

одинаковыми

степенями

р. Получим

/ г (2(тр,

р) +

оТІ2(т,

р),

г/(тр,

р) +

оТЪ/(т,

р),

тр)

= Л 0 ( а , ^ + р Л ^ а , т ) + . . . ,

М 2 ( т р ,

р) +

оПг(т,

р),

г/(тр,

р) +

аПг/(т,

р,),

тр)

В0(а,

х) + \іВ1(а,

т)

где Л,-(а, т),

(а,

х) — некоторые

матрицы,

элементы

которых растут при т—>-оо

не

быстрее,

чем

т'. Отсюда

следует,

что

коэффициент

П А _ 1 / ( т )

при

р,* - 1

разложе

нии

П/

имеет

вид

П * _ х / ( т ) =

Л,-(a,

T ) d a )n A _ 1 _ , . 2 (T)+

І = 0

(3.81)

Так

как

по

индуктивному [предположению

П /Z (т), П,г/(т)

(і =

0, 1,

k — 1) удовлетворяют

неравенству

(3.58),

то

§ Ю]

ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО

ЧЛЕНА

из

(3.81)

непосредственно

следует

оценка

(3.80)

для

II П*-і / (т) II

и, следовательно,

неравенство

(3.58) для Пку (т).

Уравнение

для

Ukz(x)

(см. (3.37))

запишем

в виде

= F,(T)nf t z +

G4 (T),

(3.82)

где

Gk(x) = F у (х) ïlky

(т) - f Gk

(т).

Для

Gk (т)

аналогично

П А - І / ( т )

легко

получается

оценка || Gk

(т) || ^ с е х р

(—хт)

при

т ^ О .

Решая

уравнение

(3.82)

с начальным

условием

(3.50)

так

же,

как

задачу

(3.74),

(3.48)

для

(т), по

лучим

II ПА 2 (т) | К с ехр (—ит)

при

т ^ О ,

что

завершает

доказательство

леммы

3.1.

З а м е ч а н и е

Рассмотрим

присоединенную систему

^ - F i l У. 0

( 3 - 8 3 )

при (у,

где Dx

определена

в условии

IV. Замена г = Пг +

+ ф (у,

t) приводит

(3.83) к виду,

аналогичному

(3.43),

£ [W (<p(</, 0 + Пг, у,

t).

(3.84)

Точкой

покоя

системы

(3.84)

является

Пг = 0, а

собственные

значе*

ния

%( (у, t)

матрицы

(qp (у,

t), у,

удовлетворяют

неравенству

(3.23). Отсюда

следует,

что существует

такая

постоянная с > 0, что

II ехр (Fz

(ф {у,

t),

у,

t)(x—s))

H < с ехр (—а(т—s)) п р и 0 < в < т < со

существование постоянной с,

общей для всех

(у,

t) £Dlt

доказано в

[39] (см. также [60]). Рассматривая систему (3.84) с начальным усло

вием

при т = 0,

удовлетворяющим

неравенству

|| Пг (0) || < о,

при

меняя

метод последовательных

приближений так же, как для системы

(3.60)

(в частности,

ô выбирается

достаточно

малым),

получим, что

решение

существует

при т ^ 0

и удовлетворяет

неравенству

ос

| | П г ( т ) | | < - — - е х р ( — х т )

при

тЗгО.

Отсюда

следует, что при

условии

устойчивости

(3.22)

точка

покоя

г = ф(г/,

присоединенной

системы

(3.83)

будет асимптотически

устойчивой

равномерно относительно

Dt.

Тем самым

доказано ут

верждение, сделанное в конце п.

1 § 9.

Доказательство

теоремы 3.1.

Положим

u(t,

ц) = г{і,

p)—Z„(t,

р)

v(t,

\k) = y(t,

\>)—Yn(t,

p),

где

z(t,

p),

y(t,

p)—решение

исходной

задачи

(3.18),

3 A. Б. Васильеве, В. Ф. Бутузов

АСИМПТОТИКА

РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

( 3 . 1 9 ), a Zn(t,

[х), Yn(t,

]І)

определяются формулой

(3 . 51),

т. е.

Z„(t,

v)=

Si** (^і (0 + ПА г(т)),

Ya(t,

И ) = І І І І » ( Й ( 0 + П Й « ) .

k=0

Подставляя

Z =

M +

Z „ ,

y = v + Yn

в (3 . 18),

(3 . 19),

получим

уравнения

для

остаточных

членов

u(t,

p.), v(t,

\і)

V%r = F

+ zn,

v + Yn,

t) —

\idZ'

—

(3.85)

*=:F(u

+ Zn,

v + Y„,

t ) - d 'Yn

и начальные условия

и (0, ц) = 0,

и (0,

ц) =

(3.86)

Как

уже указывалось в замечании после формулировки

теоремы

3.1, существование

решения задачи

(3.85),

(3.86)

на

сегменте

О ^ ^ ^ Т

вытекает

из

теоремы

2.3.

Поэтому

для

доказательства

неравенства

(3.52)

остается

доказать

существование таких постоянных \і0 > 0

и с >

что при

О <

(X ^

р,0 справедливы оценки

\\u{t,

ц ) | | < с ц " + 1 , \\v(t,

| і ) | | < с ц " + і

( 0 < ^ < Г ) .

(3.87)

Однако при доказательстве неравенств (3.87) попутно мы докажем еще раз существование решения задачи (3.85), (3.86), не опираясь на теорему 2.3.

Рассмотрим предварительно выражения

HAU	v) = F{Zn(t,	іі), YAU	Ii), О	- р ^ г ^ ,
				Аѵ it	\	(3.88)
HAU	v) = f{ZAU	Y At,	V,)	І)-ЩШ
и докажем, что при достаточно малых р. (О <					д, ^ ц,0) имеют
место	оценки
Ц Я . С . \| l ) \| K q i - « ,
\| я . ( / . ц ) 1 К « ( - " , + " ^ ( - ? и				< 0 < ' < Г )		( 3 ' 8 9 )

где с у 0—некоторая

постоянная.

Ю]

ОЦЕНКА

ОСТАТОЧНОГО

ЧЛЕНА

Докажем,

например,

второе

неравенство

(3.89).

С этой целью запишем

выражение

для

# 2 (t,

ц)

виде

Я 2 (t,

ц) =

[/ (z„ (тц)+ . . . + ц % (тц) +

+ П 0 г (т)+ • - • +ц"П„г (т), ІГ0 (Т(1)'+

+ . . . + ц"#„ (тц) +

ііПіУ(х)

...+

ц"Плг/ (т), тц) —

— / («о M

• • • + V"zn M ,

• . . + Цпг/„ (тц), тц) —

- ^ ( В Д т ) + . . . + ц " - * П „ * / ( т ) ) ] +

[/(z,

(/) +

. . . + ц %

(/),

у0 ( / ) + . . .

+ ц»уп

(0,

0 -

- ^ ( У о ( 0 + . - . + ^ Л О ) ]

•

(3.90)

Используя

тот

же прием,

что и при доказательстве оценки

(3.80),

легко

показать,

что

при

достаточно

малых

ц (0 <

ц <

ц0 )

/ (z„ M

• -

+ 1 1

" «я М . + П 0 г ( т ) + . . . +

ц"П„г (т),

у0 (тц)+

. . . + У„ M

+ \ЯІіУ (т) + . .. +

ц"П„г/ (т),

тц) —

—/ (z0

(тц) +

.. . +

ц %

(тц),

г/о (тц) +

. .. + цпуп

(тц), тц)' =

2 ^ П А / ( т ) +

0 ( ц " + Ч ,

(3.91)

где

через

0(a(t,

ц)), как и в главе

будем

обозначать

члены, удовлетворяющие

при 0 ^

t ^

Т,

0 < ц ^ ц0

нера

венству \\0(a(t,

n))\\^.ca\t,

ц).

З а м е ч а н и е

4. Требование

достаточной

малости

постоянной

ц,0

неоднократно встречается далее при доказательстве данной теоремы

других

главах.

Аналогично

тому,

что

было сказано

в замеча

ниях

1 и 2 относительно постоянных с и х ,

условимся в дальнейшем

использовать одно и то же обозначение ]х0 во всех требованиях доста

точной малости ц,: 0 <					ц, < ц,0.
	Из (3.91) в силу уравнений (3.34), (3.37) следует, что
первая		квадратная			скобка в	(3.90)		равна	ц"П„/(т)	+
+	0 ( ц " + 1 ) ,		и,	следовательно,		имеет		порядок	О ^ ц " + 1	+
+	ц"ехр	^	—	'	аналогично,	из	равенства
/ (70 (0 +		• • • +		и %	(0, уа (0 +	. . . +	ц"^„ (0, 0		=
								= Е й > / * + О 0 * " + 1 )

68	АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ				[ГЛ. 3
в силу	уравнений (3.31), (3.33),		(3.36)	следует,	что вто
рая квадратная		скобка в (3.90)	имеет	порядок	О (р/г + 1 ).
Таким	образом,
	H2(t,	ц) = о ( \| і » + » + ц»ехр (		- £ ) ) ,

что доказывает второе неравенство в (3.89). Аналогично доказывается первое неравенство в (3.89).

Вернемся теперь к задаче (3.85), (3.86) и запишем систему (3.85) в виде

\>dTt = Fz(t, ц) и + /%(*, V, t, ц),

dî

îz{t,

v)u + fy{t,

\i)v + G2(u, V, t,

fi),

где элементы матриц Fz(t,

\i),_Fy(t,

ц), fz{t,

ц), fy(t, \x)

вычисляются

точке

(zg \t)-{-U0z(x)y

(t),

t);

G^u,

V, t,

p) = F(u + Zn,

v + Y;,

t)-)xd-^-Fz{t,

\i)u~

| X ) =

/ ( M

-Fy(t,

]i)v;

G2(u,

Z „ ,

v + Y„,

t ) - ^ t ~

— fz{t,

\i)u—fy(t,

ц)о.

Отметим два важных для дальнейшего свойства функ

ций G1 и G2 .

1. При 0 < / < 7 \

0 <

ц < р . 0

||GX (0, 0, t, ti)\\ = \\Hx(t,

ц . ) | | < с ц " + \

|f G, (0, 0, t,

(i H = || Я , (Л

ц ) | | < с ( | х » + 1

+ |хв ехр

( - | ) ) -

Для любого 8 > 0

существуют

такие

постоянные

6 = 6(e) и ц0

= р,0 (е), что если

IJu^Kô, | | « 2 | | < ô ,

Ц^ІКб,

II fa I K 6,

0 < p. <

Ц0, TO

\\G,(ult

vlt

t, ц)—G,.(«2 , v2,

I K е (II " i —"211+11 f i — f « II)

(i=

1, 2).

(3.93)

Для

доказательства

этого

свойства

достаточно

применить

к разности, стоящей в левой части (3.93), формулу конеч

ных приращений		и учесть, что	\\GUl\\	— \\Fz(u-\-Zn,
v + YN,	t)-Fz(Z0,	П . Oil и IIG . J,	IIGJI,	\|\|G? „\|\| сколь
угодно	малы при достаточно малых		\|\|«\|\|,	\| \| Ü \| \| , р 0 .

§ Ю]

О Ц Е Н К А О С Т А Т О Ч Н О Г О Ч Л Е Н А

Заменим

систему (3.92) с начальными условиями

(3.86)

эквивалентной

системой

интегральных

уравнений

u(t,

ii) = ^U(t,

Li) y

[Fy (s,

L I )

V (s,

LI)

- f Gt (и, V,

s, y,)] ds,

v(t,

\i) = ^V(t,

!*)"(«.

V) + Ot(u,

\i)]ds,

(3.94)

где

U (t,

L I )

V(t,

LI)—фундаментальные

матрицы

однородных

систем

* W

= F* V'

MU '

(s> s'

V) = Е

м ,

(3.95)

V-W'

V(S<

S >

V) =

Em-

силу

ограниченности

\\L(t,

ц)||

матрица

V(t,

ц)

также

ограничена

при

0 < f s ^ t f ^ Ç 7 \

< L I ^ L I 0

Что

касается

матрицы

U (t, s, L I ) ,

Т О Д Л Я

нее можно при

O ^ s ^ ^ ^ T 1 ,

0 < L i ^ L i 0

доказать

экспоненциальную

оценку

Il U (t,

LI) II <

с ехр ( - ^ — ^ ) ,

(3.96)

где

X >0 — некоторая

постоянная. С этой ц^лью

восполь

зуемся следующей леммой (см. [60]), доказательство

кото

рой мы приведем в п. 5.

Л е м м а

3.2. Пусть

A(t)—непрерывная

при 0 ^ / ^ Т

матрица,

собственные

значения

K{(t) которой

удовлетво

ряют

неравенствам

ReA , , ( 0 < — 2 о < 0

при

0 < * < 7 \

(3.97)

Тогда

при

достаточно

малых

LI (0 < ц ^

L I 0 )

фундаме

тальная

матрица

W (t,

L I )

однородной

системы

= A{t)W,

W(s,s,\i)

= EM

(3.98)

имеет

оценку

| | № ( * , 8 , | і ) | | < с е х р ( —

при

0 < s < f < 7 \

(3.99)

Лемма

3.2

неприменима^ р ^ непосредственно)

системе

(3.95),

так

как

собственные

значения

матрицы

Fz(t,

L I )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 287 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ