книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений
.pdf150 |
|
|
КРАЕВЫЕ |
ЗАДАЧИ |
[ГЛ. |
получим |
|
|
|
|
|
(0) |
(0) |
(0) |
І |
|
|
LjU + |
L3 u = |
Кг {t, t0, |
p) ) H (t, |
s, p) и (s, p) ds |
= |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
= ]K(t, |
s, ii) и (s, ii)ds, |
|
|
|
|
0 |
|
(0)(0)
где |
|
K{t, |
s, |
\i) — Ki(t, |
t0, |
|
\i)H(t, |
s, p). Из |
выражения для |
||||||||||
(0) |
|
|
s, |
p) |
в силѵ |
оценки |
|
(0) |
|
s, p) |
непосред- |
||||||||
Ki(t, |
(4.216) для G (t, |
||||||||||||||||||
ственно следует |
|
|
|
|
|
|
(0) |
p), |
a |
значит, |
и |
||||||||
ограниченность Кг (t, s, |
|||||||||||||||||||
ограниченность |
(0) |
s, p). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
K(t, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
L 2 M . Так |
как Я (s, p, p) = |
V (s, p, p) f2 (p, |
p), |
|||||||||||||
d l / |
( |
S |
j 5 |
P |
' M ) |
= |
/y (s, |
|
|
|
p, p), |
V(s, s, |
р) = |
£ т , |
то |
|
|||
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T s |
j0 |
/ / ( s , |
p, |
(і)и(р, |
p)dp |
|
= |
s |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
//(s, |
s, |
p)«(s, |
Р) + |
^ Я ( У |
|
|
|
^ |
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
fz |
(s, P) « (s, |
|
p) + S /y (s, p) Я |
(s, p, p) и (p, p) dp. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя последнее равенство и обозначение (4.237), |
|||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(О ) |
|
|
|
І (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L 2 |
« = — ) Kiit, |
S, p) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
fz (s, |
p) и (s, |
p) + |
s |
|
|
p) и (p, |
p) dp |
|
|||||||
|
|
|
S |
/_), (s, p) Я (s, p, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.238), |
|
Из (4.237) в силу (4.216) следует, что при 0 ^ s ^ ^ ^ ^ 0
§ H ] |
УСЛОВНО |
УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ |
151 |
О < р ^ |
р 0 справедливо |
неравенство |
|
|
sSCcexp |
сt |
О) |
) |
\\Кг(і, s, p)||ds<cp . |
о |
^ |
Il Z (t, s, p) Il < jо i-cexp ( _ * < ! = £ > ) d p |
|
откуда |
|
X (t—s)
(4.239)
Из (4.238) теперь нетрудно получить, что линейный ин-
(0)
тегральный оператор L 2 обладает такими же двумя свой-
(0)
ствами, как и Q. В самом деле, первое свойство справед-
|
(0) |
ливо в силу того, что |
L 2 M = 0 при а = 0, а второе свой |
ство легко получить, пользуясь (4.239). |
|
|
(0) |
Аналогично можно |
показать, что L 4 обладает такими |
же двумя свойствами. В дальнейшем всякий линейный оператор, обладающий указанными двумя свойствами, будем обозначать L 6 .
Таким, образом,
(0)(0)
Lu= |
\ K(t, |
s, p)«(s, y)ds + Ltu |
( 0 < * < f 0 ) . |
(4.240) |
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратимся теперь к (4.235) и рассмотрим |
|
|
|||||||
Lu=§jG(t, |
s, |
у.) Fу (s, |
p) §H(s, |
p, ц)и(р, |
p) dp |
1 ds. |
|||
|
t0 |
|
|
|
-o |
t0 |
|
s |
|
|
|
|
|
|
s |
|
полу- |
||
Разбивая внутренний интеграл ^ на сумму ^ + ^ , |
|||||||||
чим |
|
|
|
|
о |
о |
<„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Lu=\j |
о К (t, |
s, |
р) и (s, p) ds -f- Іы, |
|
|
|
|
где |
/((*, s, p) = J |
— G(*. |
p, |
\L)Fy(p, |
\i)H (p, |
s, |
\i)dp |
при |
|
152 |
|
|
|
|
КРАЕВЫЕ |
|
ЗАДАЧИ |
|
|
[ГЛ. 4 |
||||
h ^ t ^ t n |
0 = О = О 0 |
и |
является |
в силу |
(4.191) |
ограни |
||||||||
ченным |
ядром, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
ds. |
|
Lu = ^~G(t, |
s, p) F у (s, р) |
^ # ( s , |
P, p)«(P>p)dp |
|||||||||||
Преобразуя |
Lu |
так же, как |
(0) |
|
получим |
аналогичное |
||||||||
Lu, |
||||||||||||||
(4.240) |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lu |
= l K(t, |
s, p) и (s, p) ds + LçU, |
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/<"(*, s, p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
H (t, |
s, p) |
||||
при t 0 ^ t ^ t l t t 0 ^ s ^ . t |
и является |
в силу |
(4.191) огра |
|||||||||||
ниченным ядром. Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lu = |
|
s, \i)u(s, |
\i)ds + L,u |
|
( * 0 < * < * i ) - |
(4.241) |
||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И, |
наконец, |
преобразуя |
(i) |
аналогично Lu, |
получим |
|||||||||
Lu |
||||||||||||||
(î) |
м |
(И |
|
|
Г Д |
|
p, p) u (p, p) dp |
ds = |
||||||
Lu = |
j — G (/, s, p) 7^ (s, p) |
^ H (s, |
||||||||||||
|
с |
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
\ Kit, |
s, |
|
p)ds + L$ a |
|
& < * < ! ) , |
(4.242) |
|||||||
(i) |
|
|
|
|
|
|
ядро при |
^ |
^ ^ |
^ 1 |
, О ^ |
|||
где K(£, s, p)—ограниченное |
||||||||||||||
^ s ^ t, 0 < p ^ p0 . |
|
(4.241), |
(4.242) |
и |
оставляя |
для |
||||||||
Используя |
(4.240), |
|||||||||||||
|
(0) |
|
|
|
О) |
|
|
|
|
|
|
|
отме- |
|
сумм Q-\-Ltu, |
Q-\-Ltu, |
Q + Le «, обладающих двумя |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
(1) |
ченными свойствами, прежние обозначения Q, Q и Q соответственно, запишем систему уравнений (4.234) —
§ H] |
УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ |
153 |
(4.236) в виде
(0)ç (0)
u(t, |
р) = «„(*. |
|
K(t, s, |
\i)u(s, |
p)ds + |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(0) |
t, ц) |
при |
0 < * < f 0 , |
|
|||
|
|
|
Q(u,v, |
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
и (t, |
p) = u0 (t, |
p) + |
J К (t, |
s, |
p) и (s, p) ds + |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Q(u,v,t,\i) |
при |
f „ < / < * l t |
(4.243) |
||||
и (t, |
|
(I) |
|
r '(i) |
|
|
|
|
|
|
|
p) = u„ (t, p) + ) К (t, s, p) и (s, p) ds + |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Q (и, V, |
t, p) |
при |
|
^ s ^ / s ^ l . |
|
||
Выразим |
из |
системы |
|
(4.243) |
значения |
«j(^0 , p), |
|||||
«2 (4> F)> |
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
(A p), |
||
|
М ^ . P). входящие в u0(t, p), «0 |
||||||||||
(i) |
|
аналогично тому, |
как это |
делалось |
в п. 9 для |
||||||
u„ (t, p), |
|||||||||||
системы |
(4.220)—(4.222). В п. 9 |
было |
показано, |
что эта |
|||||||
операция однозначно выполнима. Полученные выражения
для |
«!(*„. р), ия(і0, |
|
p), |
u^ti, |
р). u2(tlt |
|
р) |
будут |
содер |
||||
жать интегральные |
члены |
|
5 К (t0, |
|
|
|
|
||||||
'"(0) |
|
|
|
\ |
|
/ ' ° |
|
|
\ |
||||
\ К (t0, |
s, р) и (s, p) ds J |
, |
( |
s, |
p) и (s, |
p) ds j , |
|||||||
0 |
|
|
|
/ 1 |
\0 |
|
|
|
|
|
A |
||
\K(tn, |
s, |
p)u(s, |
p)ds) |
, |
[\K(tx, |
s, |
p)«(s, |
p)ds) , |
|||||
0 |
|
|
|
|
/1 |
\0 |
|
|
|
|
/ 2 |
||
каждый |
из |
которых |
обозначим |
символом |
Lu, |
а |
также |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
(1) |
|
|
|
|
блоки интегральных операторов Q, Q, Q и блоки вектора |
|||||||||||||
ы°, |
удовлетворяющего |
неравенству |
|| «° || ^ с р " + 1 (см. |
||||||||||
(4.164)). Подставим эти выражения |
обратно |
в |
(4.243). |
||||||||||
Из |
(4.214), (4.189) |
и (4.217) |
следует, |
что при каждом |
|||||||||
интегральном члене типа Lu будет стоять в первом урав
нении |
(4.243) |
множитель порядка О (ехр ( — * ^ ~ " ^ ) ) ' |
||
во |
втором |
уравнении—множитель |
порядка |
|
О (ехр (—х ( < |
~ ' о ) ) ) |
или О (ехр ( - - * ( ^ ~ ° ) ) |
, в третьем |
|
154 |
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
|
[ГЛ. 4 |
уравнении — множитель порядка О ^ехр |
R |
1 ;' |
|
|
|
||
Произведение любого из таких множителей на интеграль ный член типа Lu обозначим через Ьѵц. Очевидно, что при любых tt и t% из соответствующего сегмента и при лкбой ограниченной функции f(t, LI) ядро Ky.it, s, LI) линейного интегрального оператора удовлетворяет условию
t,
\\\K^(t, |
s, |
LI)\\dt = 0(LI). |
(4.244) |
t,
(0)(D
Выделяя в |
|
членах |
u0 |
(t, fi), «0 (/, |
L I ) , |
« 0 (^, |
LI) |
слагае |
|||||||||
мые вида Lu |
и включая |
остальные |
слагаемые |
соответст- |
|||||||||||||
венно |
(0) |
V, t, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
Q (и, v, t, |
L I ) , |
ОТ |
чего |
||||
в Q (u, |
д.), Q (и, v, t, р.), |
||||||||||||||||
отмеченные вкше два свойства |
этих |
операторов |
не нару |
||||||||||||||
шатся, |
и вводя |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K{t, |
s, Ll) = . |
К (t, S, |
Ll) |
При |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
К |
{t, |
S, |
Ll) |
При |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(t, |
S, |
Ll) |
При |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q (u,v, t, I I ) : |
|
Q [u, v, t, LI) |
при 0 |
|
t ^ |
t0, |
|
|
|
|
|||||||
|
Q (u, v, t, LI) |
при t0 |
^ |
t ^ |
tx, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(1) |
|
|
|
LI) при ^ ^ |
t ^ 1, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Q |
(«, u, t, |
|
|
|
|
|||||||||
запишем (4.243) в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.(t, L I ) = J #(*, s, LI) u (s, LI)ds4-L^M + |
Q (w, i>, |
L I ) . (4.245) |
|||||||||||||||
Далее с помощью |
резольвенты |
|
R (t, s, |
LI) |
ядра |
K(t, |
s, |
LI) |
|||||||||
(R(t,s, |
LI) ограничена |
в |
силу |
ограниченности |
K{t, s, |
L I ) ) |
|||||||||||
заменим (4.245) эквивалентным интегральным уравнением
и {t, \i) = Lvu-\- Q {и, v, t, Li) + t
+ $ /?(/,• s, ц) [Z^M + Q (и, y, s, n)]ds = L u + S(u, v, t, ц).
о
(4.246)
|
|
УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ |
СЛУЧАЙ |
155 |
|
Здесь |
S [и, |
V, t, |
р) обладает такими же двумя |
свойствами, |
|
как и |
Q (и, |
V, t, |
p), в силу двух |
свойств Q |
и (4.244). |
В свою очередь, уравнение (4.246) заменим эквива лентным интегральным уравнением с помощью резольвенты
R^it, |
s, |
р) |
ядра |
Kp(t, s, p) |
линейного |
интегрального |
опе |
|||||||
ратора |
|
(существование |
и |
ограниченность |
Ra(t, |
s, p) |
||||||||
следуют |
из свойства (4.244) |
ядра К (t, s, p)) |
|
|
|
|||||||||
u{t, |
p) = S(«, V, |
t, |
p) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ J |
|
(t, |
s, |
p) S (и, V, s, p) ds = |
|
(u, V, t, |
p). |
(4.247) |
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральный |
оператор St |
(и, |
v, |
t, |
p) |
обладает |
такими |
|||||||
же |
двумя |
свойствами, как |
и S (и, |
v, |
t, |
p). |
|
|
|
|||||
Система интегральных уравнений (4.232), (4.247) отно |
||||||||||||||
сительно |
u(t, |
p), |
v (t, р) совершенно |
аналогична |
системе |
|||||||||
(3.103), (3.104), и поэтому методом последовательных приближений, как и в главе 3, для нее можно доказать
существование |
решения |
и |
оценку |
|[ и (t, р))| ^ |
с р п + 1 , |
||||||
\\v(t, |
р ) | | < с р " + 1 , откуда следует |
(4.150). |
|
|
|
|
|||||
Для |
доказательства |
единственности |
решения |
в |
том |
||||||
локальном смысле, как это утверждает |
теорема |
4.2, |
заме |
||||||||
тим, что для любого е > |
0 можно указать такое ô > |
0, что |
|||||||||
если «j, ѵг и и2 , ѵ2—два |
решения |
краевой |
задачи, |
лежа |
|||||||
щие в б-окрестности кривой |
L 0 (см. п. 6), то в силу |
вто |
|||||||||
рого |
свойства |
Q2 и аналогичного |
свойства |
Sl |
из |
(4.247) |
|||||
и (4.232) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ИМ*, р)—М*> нОІК
< e m a x [||М*> p)—M*, р)|| + |ІМ*> p)—M*, p)||],
0 « * < 1
HM*, P)—M*> p )|[<c max[|M*, p) —M*, p)|( +
о<г<і
+ 8 max [HM*, V-) — M*, p)l| + IIM*> p)~M*, | A ) | | ] .
Отсюда легко следует
max [||М*, p) —M*, p) И + К МЛ H-)—M*, l*)l|] <
0</<l
<(c-(-2)e max [||M*> p) — M*, p)||+||M*. p)—v2{t, p)||].
0<(<1
Взяв е < 1 / ( с + 2), получим т а х [ | | ы 1 ( / , р)—u2 (t, р)|| +
0<*<1
156 |
|
|
|
|
|
|
КРАЕВЫЕ |
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
[ГЛ. |
4 |
||||
+ |
|
|
|
! * ) — » ! С . |
Ц ) | | ] = 0 . |
откуда |
ut{i, |
|І) |
|
|
p), |
||||||||||
^(Л ц) = |
Уа(Л и)- Теорема |
4.2 полностью |
доказана. |
|
|
|
|||||||||||||||
З а м е ч а н и е . |
В работах |
В. А. |
Т у п ч и е в а |
(см., например |
|||||||||||||||||
[57]) теорема, |
аналогичная |
теореме 4.2, доказана |
в |
несколько |
иных |
||||||||||||||||
предположениях. |
На собственные |
значения |
|
А,; (/) |
накладываются |
||||||||||||||||
только |
условия |
(4.96). |
Однако |
существенным |
ограничением |
по |
|||||||||||||||
сравнению |
с |
условиями |
теоремы |
4.2 |
является |
требование |
доста-. |
||||||||||||||
точной |
малости |
|| а (г°—г0 (0)) || и |
||&(г° — г0 |
(1)) ||, |
обеспечивающее |
||||||||||||||||
малость |
пограничных членов нулевого |
порядка |
IT0 z (т0) |
|
и Q0z{ti). |
||||||||||||||||
При этих условиях |
теорема |
легко доказывается по схеме работы [60]. |
|||||||||||||||||||
В качестве |
коэффициентов |
при и и ѵ в системе (4.158) |
нужно |
взять |
|||||||||||||||||
Fz(t), |
Fy(t), |
|
fz(t), |
fy(t). |
|
При этом |
функции Gt |
и G ä |
будут |
удов |
|||||||||||
летворять |
неравенству (4.159), а при достаточно малых |
| | П 0 г ( т 0 ) | | |
и |
||||||||||||||||||
Il Qcz ('r i)|l |
|
также и неравенству (4.160). Далее |
нужно сделать |
замену |
|||||||||||||||||
u = T(t)[ |
|
), |
матрица |
T (t) |
приводит Fz(t) |
|
к |
блочно-диагональ- |
|||||||||||||
ному виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T-Ht)FAt)T{t)=y |
|
|
fC+(t) |
_ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
с |
( |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где С+(/)—матрица |
с собственными |
значениями |
%x(t) |
|
|
{t), |
|||||||||||||||
С~ (t)—матрица |
с |
собственными |
значениями |
|
Я А + 1 ( / ) , |
|
|
X^(t) |
|||||||||||||
(в работе [53] доказано, что такая |
матрица |
существует). |
После |
это |
|||||||||||||||||
го, используя фундаментальные матрицы Wx |
(t, s, р.) и |
W2 (t, |
s,p.) |
||||||||||||||||||
однородных |
систем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для которых |
в силу |
леммы 3.2 |
справедливы |
оценки |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
II ИМ*, |
s, |
ц.) [f < с е х р |
X(i,~S)) п Ри |
0 < s < f < l , |
0 < |
u. < |
u.0, |
|
|||||||||||||
Il 1Г2 (t, |
s, |
(X) И <cex p |
~ |
П |
Р |
И |
0 < / < s < l , |
0 < |
p < p o , |
|
|||||||||||
можно свести систему уравнении относительно а>ь w2, ѵ (аналогично
тому, как это сделано в главе 3) к системе интегральных уравнений, для которой методом последовательных приближений легко доказы вается существование и единственность решения краевой задачи в не которой окрестности вырожденного решения и оценка (4.150).
Более сложное доказательство теоремы 4.2 связано именное тем, что ||а(г° — г^(0))|| и || b (г° — 70 (1)) || не малы.
11. О дополнительных условиях более общего вида. Пусть краевые условия для системы (4.89) имеют такой же вид, как в § 13,
R(2(0, р), у(0, р), 2 ( 1 , р), у{\, р)) = 0, (4.248)
УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ |
157 |
|
где R— (M-f-т)-мерный вектор. |
В этом |
случае можно |
действовать по схеме, изложенной |
в .§ 13, |
но на этот раз |
в качестве вспомогательной задачи, решение которой под ставляется в (4.248), возьмем не начальную задачу, а задачу
с краевыми условиями |
(4.90), (4.91), |
причем |
положим |
|
z?==z?G*) = 2o/ + l « i / + • • • + ! * * * « + • • • ( » = |
1. 2), / 4 2 4 9 ) |
|||
Алгоритм построения |
асимптотики |
решения, |
описанный |
|
в п. 5, при этом несколько видоизменяется |
(в той же |
|||
мере, как это описано |
в п. 3 § 11 для задачи |
с началь |
||
ными условиями, зависящими от ц.).
Подставляя в (4.248) вместо точного решения вспомо гательной задачи его асимптотическое разложение и при равнивая члены с одинаковыми степенями р,, получим уравнения для определения коэффициентов в (4.249),
которые |
заранее не |
известны. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В нулевом приближении из (4.248) получим |
|
|
|
|||||||||
R0^R |
(10 (0) + П0 г (0), ~у0 (0), \ |
(1) + |
Со* (0), |
~у0 |
(1)) = |
0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.250) |
|
Неизвестными здесь являются |
/г компонент |
вектора П0 г (0 |
|||||||||||
(остальные |
компоненты |
ІІ0 г (0) |
определяются |
через |
них |
||||||||
из |
условия |
принадлежности |
П0 г(0) |
многообразию |
S+ ), |
||||||||
M — k компонент вектора Q0z (0) и m компонент у0 |
(0) = у0. |
||||||||||||
(y0(l), z0 (0) |
и z 0 (l ) |
являются |
функциями |
г/0, |
|
которые |
|||||||
задаются вырожденной |
системой (4.117).) При этом, какие |
||||||||||||
именно k компонент П0 г(0) и M—k |
компонент |
Q0 z(0) |
|||||||||||
считать |
независимыми, |
определяется |
тем, каково анали |
||||||||||
тическое |
представление |
S+ и S". В условии V считалось, |
|||||||||||
что |
^ — э т о |
вектор, |
компонентами |
которого |
являются |
||||||||
первые |
k компонент |
£, |
но в |
качестве ^ можно |
|
принять |
|||||||
и любой |
другой набор |
k компонент, |
и тогда |
именно эти |
|||||||||
компоненты |
II0 z (0) |
следует |
считать |
независимыми. Ана |
|||||||||
логичные соображения относятся к Qo z(0). Таким обра
зом, (4.250) представляет собой систему |
M + m уравнений |
|||
с |
714 + m неизвестными. Будем |
считать |
ее разрешимой, |
|
а |
соответствующий |
определитель |
(см. § 13) отличным от |
|
нуля. Тем самым |
определятся |
члены нулевого порядка |
||
158 |
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. 4 |
|
в (4.249): |
|
|
|
Уо = УІ |
foi = z0 1 |
(0) + (П0 г (0))х |
= zji, |
2o3 |
= 2„2 (l) + |
(Qo2(0))2 = 2»2. |
|
Далее из (4.248) получаются линейные системы с отлич ным от нуля определителем, из которых определятся
следующие коэффициенты (4.249). |
|
|
|
|
||||
Таким |
образом, и в условно устойчивом случае для |
|||||||
задачи с |
краевым |
условием |
(4.248) возможна схема |
по |
||||
строения |
асимптотики решения, |
рассмотренная |
в § |
13. |
||||
Мы не будем останавливаться |
на вопросе существования |
|||||||
в окрестности |
х° |
такого Xй (р), |
что |
решение |
X (t, |
р) |
||
краевой |
задачи |
с |
дополнительными |
условиями |
(4.90), |
|||
(4.91), в |
которых z° = Z°(p), |
г/° = У°(р) является |
точным |
|||||
решением краевой задачи с дополнительным условием (4.248).
Для условно устойчивого случая можно исследовать не только двухточечную краевую задачу с условием (4.248),
но также и задачи с иными дополнительными |
условиями. |
|||||||||||
Типичным классом задач, приводящих к условно |
||||||||||||
устойчивому |
случаю, |
являются |
вариационные задачи |
|||||||||
с малым параметром, вырождающиеся при |
р = 0. Рас |
|||||||||||
смотрим простейшую из них. |
|
|
|
|
||||||||
Пусть |
задан |
функционал |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J(y) = |
|
$F(t,ytVLy')dt. |
|
|
|
(4.251) |
||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Будем |
решать |
задачу |
об экстремуме |
этого функционала |
||||||||
при условии |
закрепленных |
границ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
*/(0, р) = |
0 |
у(1,ц) |
= 0. |
|
(4.252) |
|||
Уравнение |
Эйлера |
для |
(4.251) имеет вид |
|
|
|||||||
|
|
|
F 2 ~ |
Р^зі — V-F3îy' — v2F33y" = 0 |
|
|
||||||
(индексы |
снизу |
означают соответствующие |
производные |
|||||||||
по трем аргументам функции F, например, F32 |
= |
d2F/dzdy, |
||||||||||
где z = |
\iy'). |
Используя |
обозначение |
pz/' = z, |
приходим |
|||||||
к системе |
(предполагаем F33 |
Ф 0) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
f |
|
,= z > |
|
( 4 2 5 3 ) |
Г 33
|
|
УСЛОВНО |
УСТОЙЧИВЫЙ |
СЛУЧАЙ |
|
159 |
|||||
которая |
является системой |
рассматриваемого |
типа |
(4.89) |
|||||||
с тем отличием, что р |
входит |
также |
и в правую |
часть, |
|||||||
что, однако, не существенно (см. замечание 5 § 11). |
|||||||||||
Вырожденная система для (4.253) имеет вид |
|
||||||||||
|
|
|
—F32z |
+ F2 = 0, |
z = 0, |
|
|
||||
откуда |
z(^) = 0, |
a y(t) |
определяется как корень г/ = ф(^) |
||||||||
уравнения |
F2 = |
F2(t, |
у, |
0) = 0. |
Характеристическое |
урав |
|||||
нение имеет в данном |
случае вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
—X |
Fn(t, |
Ф(0, 0) |
|
|
|
|||
|
|
|
F sait, |
<f(t), 0) |
= |
0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
— X |
|
|
|
|
|
|
т. е. л2 |
= |
/ > ( ' , |
Ф(0. 0)/FM(t, |
Ф(0. 0)- Если |
|
F22/F33>0, |
|||||
то корни |
A-j(tf) |
и X2(t) |
имеют |
разные |
знаки. |
Уравнение |
|||||
Эйлера (4.253) и дополнительные условия (4.252) пред ставляют собой, таким образом, пример краевой задачи (4.248) в условно устойчивом случае.
Если вместо простейшей задачи (4.252) рассматривать, например, изопериметрическую задачу, т. е. к (4.252) добавить условие
1 |
|
\G(t, у, z)dt = l, |
(4.254) |
о |
|
то система уравнений Эйлера будет содержать помимо
неизвестных |
функций у и z еще неизвестный параметр X, |
а в качестве |
дополнительных условий нужно воспользо |
ваться (4.252), (4.254). К этой задаче также можно при менить рассмотренный метод. Неизвестный параметр X следует искать в виде разложения по р (ср. § 13, п. 3) Х = Х0 + pA,j+ . .. +p f c A, f t + . . . Подставляя в (4.254) асимп тотическое разложение решения уравнения Эйлера при условиях (4.252), содержащее параметры Xk, и прирав нивая члены с одинаковыми степенями р, получим урав
нения |
для последовательного определения Х0, Х1г |
... |
О том, |
как выполняется операция подстановки рядов типа |
|
(4.104) |
в интегральное выражение с последующим разло |
|
жением по степеням р, детально говорится в главе 5,
посвященной |
интегро-дифференциальным |
уравнениям. |
Еще одним |
примером вариационной задачи, |
приводящей |