книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

140

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

Ьи(т0,

|і) = 0.

(4.209)

При этом

построении существенным будет тот факт, что

ß<- (то, Ц) =

о,(т0 ) 4- со (т0 , il) =

в; 4- е,- (т„) 4- со (т0 , іі) =

е,- + со ( L I )

D e t ( ß ( 0 ) ß ( r „ LI))2 2 #=0.

Эти А решений будут иметь вид

"/(т0 ,

=

V/(т0 ,

exp

(Kj(0)

(т0

— т0 ))

(/ =

1, . . . ,

k),

где

(4.210)

У/ (т0 ,

V-) = В (0) ( в / + 8

/ (т0 ) + èj (т0 ) +

со (т0 , ц)), (4.211

причем 8у(т0 )—та

же самая

функция, что

и

в

(4.196), а

| | о у ( т 0 ) 1 К с е х р (и (т0 —т0 )).

сформулируем

в

виде леммы.

Отмеченные

результаты

Л е м м а

4.10. При достаточно

малых

LI система

(4.198)

(эквивалентная

(4.167))

имеет

на

[0, т0 ]

ф.с.р.

вида

(4.207),

(4.210),

причем

решения

(4.207)

удовлетворяют

условию

(4.206),

а

решения

(4.210)—-условию

(4.209).

Запишем

построенную ф. с. р. в матричной

форме,

U (то, V-) =

=

У К .

diag (exp ( ^

(0) (т0

— т,)), . . . ,

ехр (КЛ (0) (т0 —

- т . ) ) , е х р ( ^ + 1 ( 0 ) т о

) , ... ,ехр(Х я ( 0 )т в )),

(4.212)

где

ѵ(т0 , ц)—матрица,

столбцами

которой

являются

Т/(т0 , И)-

Установим важную для дальнейшего равномерную

ограниченность

Ѵ _ 1 ( т 0 ,

Li)

при

0 ^ т о ^ т 0

,

0 < L I ^ L I 0 .

С этой целью разобьем сегмент [0, т0 ]

на три части

[О,

Ь0],

[Ьо> т 0 — Ь 0 \ , [т0 —Ъ0, т 0 ] . _Используя

(4.208)

и (4.211) на

среднем участке [b0, т0 —Ь9 ],

получим

Det у (т0, LI) =

Det В (0) 4- О (ехр (-х&0 )) +

со (т0 ,

L I ) ,

§

H ]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ

СЛУЧАЙ

141

откуда следует, что при достаточно

большом

(но

фикси­

рованном

при р —> 0) Ь0

и достаточно

малых

р

I Det ѵ(т0 , р ) | > с >

0

при

Ь 0

< т 0

< т 0

— \ .

Для доказательства такого же неравенства при 0 ^

т0

^ Ь0

воспользуемся

равенством

Detc7(T0 ,

р)

=

= Det у (т0 , р) ехр [(л, (0) +

._..+%„ (0)) ( т 0 - т 0

) +

откуда

+

(h+i(0)+-..+hi

(0)) T0 J,

Det у (т„, ц)

_

Det у ( 6о, р)

е х р [ ( М О ) + . . . +

(0)) (Ь0-т0)],

(4.213)

а

также

формулой Лиувилля

5 £ ( Л

+

Д. +

А1 )''</т).

& V = i

J

При 0^то^Ьо

экспоненты,

входящие

в (4.213) и в фор­

мулу Лиувилля, равномерно

ограничены

как сверху, так

и

снизу,

некоторыми

положительными

постоянными.

В

силу этого

из (4.213)

получаем

I Det у (т0 , p) I ^ с > 0

при

0 ^ т 0 ^ й 0 .

Аналогичные рассуждения можно провести прит 0 —

^ т 0 ^ т 0 .

Таким образом,

|Detv(T0 ,

р ) | > с > 0

при

0 < т 0

< т 0

,

0 < р < р 0 ,

и, следовательно, -у- 1 (To» Н-)

равномерно

ограничена

при

0 < т о < т 0 , 0 < р < р 0 .

(4.212)

и проводя такие

же вы­

г) Используя ф. с. р.

числения, как

и в подпунктах

Зв)

и

Зг), нетрудно дока­

142

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

Л е м м а 4.11. При достаточно

малых р существует

(0)

единственное решение ua(t,\i)

системы (4.167), удовлет­

воряющее краевым

условиям

(0)

(0)

(0)

аи0

(0, \i) + bu0(t0, |х) = "°»

UAU

\i) = y(t,

р ) х

( о ) ,

(о)

X

diag(e1 (

ek)yii

(0, ц)

diag(ek +

1, . . . . eÄ )vM

(*„, ц)/

• «°-

(4.214)

гое

е,- =

ехр (— Я,,. (0) Л

при

і ' = 1 ,

...,k,

е< = е х

р ( 7 ^ ( ° ) ( ^

— *о))

npui

= k+\,

...,М.

Существование

и

равномерная

ограниченность

при

0 <

р ^

р 0

входящей

(0)

в (4.214) величины ѴІІЧО, р.) следует

(0)

(0)

(0)

(0, р),

откуда

из того, что Det у (0, р) = Det уи

(0, р) Det у22

1

(0)

(0, р)

^

с >

0. Аналогично можно доказать

равно-

I Det уп

мерную

ограниченность

(0)

р) при 0 < р . ^ р о .

y22(t0,

Л е м м а

4.12. При

достаточно

малых

р

матричная

(0)

функция

Грина

G(t,

s, р) оля системы (4.165) с

краевыми

условиями

а«(0,р,) = 0,

bu(t0,

р) = 0

(4.215)

существует,

единственна

и

удовлетворяет

неравенству

!<?(/,

s,

р ) Ц < с е х р

( — ^

J |

)

, 0 < / < / 0

, 0 < s < / 0 .

5) Сегмент [tu 1].

(4.216)

такие

же построения,

как

Проводя

на этом

сегменте

§ H ]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

143

Л е м м а

4.13. При достаточно малых

LI существует

d )

(D

(D

Х[

diag

fej,

. . . , g A )

Yn1

Ci- Н-)

(D

!

d i a g f e Ä +

i

ёГлі).

YalH ' . fA)

(4.217)

где ft = ехр ( ^ - І ; ( 1 ) ( г - / J )

/гры

/ = 1, — , Ä ,

g; =

= ехр

G)

— 1)) я/?" t = Ä + 1, . . . , M , а

матрица

(D

(0)

y(t, р.) в формуле (4.214).

V(^, ii) аналогична

матрице

Л е м м а

4.14. Яр« достаточно

малых

LI

матричная

d )

функция

Грина

G(t, s, LI)

для системы

(4.165) с краевыми

условиями

au(tv

ц) = 0,

&ц(1,ц) = 0

(4.218)

существует,

единственна

и удовлетворяет

неравенству

<-'>•

s, LI) I K

/

K

W -

S

^ i < s <

!•

G(f,

с ехр

^ —

ц

J'

^

^

1

,

6)

Построим

решение

u(t,

LI)

системы

(4.165),

удовле­

творяющее краевым условиям

au (0, р.)+ 6и(1, ц) = и°.

(4.219)

УСЛОВНО

УСТОЙЧИВЫЙ

СЛУЧАЙ

145

Из (4.220) при t = t0

в силу

(4.214) получим

для пер­

вого блока

Ui {t0, р) выражение

М*о. Iх) =

=

Vu CO.

Ѵ) diag Ve •*

,...,<? •*

У Tu (0, |*) «î

+

(0)

(0)

, (0)

\

4

Vis Со- ^ТмМ'о. И) И» С О. Н0 +

( \ ] T G C o ' S ' V)Ï(S>

iïdSJ

•

(4.223)

части fti(pO-

Отметим при этом,

что е*1 k , w t " =

= е Мо)а,ІІпц| =

^аИ ReliWI^öj^j,) (/ =

1, ... » А) (НЭПОМ-

(0)

(0)

Уи Со. И) Ѵй1 Со. И) = ß i a (0) ßü1 (0) +

« (р),

и поэтому (4.223) можно записать в виде

М*о. р) =

[51 2 (0)5а -2 1 (0) + о)(р.)]и2 (С

p) + ^(p).

(4.224)

Аналогичным образом

из (4.221) получим

при t = ta

и2

(t0,

ц) = [ ß 2 l (0) ßfi1 (0) +

ш (fx)] ut (* . ,

| І ) 4

а

при t =

tx

+

И (р) ы2 (/х , р) +

п2 (р,),

(4.225)

"iCi»

1і) = ю (М')"і(^ . l 0 4

+ [ß„(l)ßr.l (l) 4co(p,)]«2 (/1 ,

p ) 4 M ^ ) .

(4226)

И точно так же из (4.222)

при t — tx

получаем

ut(tlt

p )=[ß 2 1 (l)ßu 1 (l )4cu (p)]« l ^ 1 ,

|І) + А*(|І).

(4.227)

Покажем, что при достаточно малых р система линейных

уравнений

(4.224) —(4.227)

имеет и притом

единственное

решение относительно ut(t0,

« г С 0 , р), ux{tx,

р.), « а

С и р).

В пределе при р,—*0 уравнения (4.224),

(4.225) отделяются

от (4.226), (4.227) и поэтому достаточно

показать, что пре­

дельные однородные системы

уравнений, соответствую­

щие (4.224), (4.225) и (4.226),

(4.227), имеют только нуле-

146

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

вые

решения.

Покажем это для предельной

однородной

u ^ ß x . W ß n M O K ,

^ = 0 ^ ( 0 ) 5 ^ ( 0 ) « ! .

С этой целью рассмотрим невырожденное преобразова­

ние

« = В(0)т),

или, в

блочной

форме,

"і =

Ви

(0) т|1

+

В1% (0) л,,

и2

=

Вп

(0)П і

+

Вм

(0) т} 2 .

Отсюда

при

г|г

= 0 имеем

И і

= Я и (0)В£(0)и„

(4.228)

а при

ГІ2 = 0

и9 = Вп(0)В£(0)иі.

(4.229)

Так

как значению

г] = 0 соответствует единственное значе­

ние

« = 0,

то система (4.228),

(4.229)

имеет

только

нуле­

вое решение, что и требовалось

показать.

Таким

образом, при

достаточно малых

р

из

системы

(4.224) — (4.227) можно определить и притом

единственным,

образом значения

^ ( ^ , р), ц2 (г\,, р),

^ ( ^ , р),

u2 (t1 , \х)-

подставляя

которые в

(4.220) — (4.222),

получим

решение

краевой задачи (4.165), (4.219). Нетрудно видеть,

что это

решение является

единственным.

10. Доказательство

теоремы

4.2.

Вернемся

к

систе­

ме (4.161) для остаточных членов u(t,

p.), v(t,

р.) и

запи­

шем в

виде

р ^

= A (t,

р) и +

F у (t,

\i)v

+ G1

(и,

V,

t,

p.),

t

(4-23°)

Tt^ftV'

\i-)u

+

fy(t<

y)v

+ G2(u,

V,

t,

p),

где

A (t,

p) = Fz

(t) + U0FZ (т0 ) +

Q0 FZ

Ю

удовлетворяет

условиям

1°—4° п. 9, вследствие чего для нее справедливы

все

построения,

проведенные

в

п. 9.

Напомним

также,

что Gj и С2 обладают двумя

важными

свойствами,

выра­

женными неравенствами (4.159), (4.160).

Сведем систему (4.230) с дополнительными

услови­

ями

(4.162),

(4.163) к

системе

интегральных

уравнений,

148

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

где

Qj (и, V,

t,

LI) = Gj (ы, v,

t,

LI) + Fy

(t, LI)

Q2

(U,

V, t, L I ) .

В силу (4.159), (4.160) и двух

свойств

Q2(u,v,

t,

LI)

опе­

ратор

Q1(u,v,

t,

LI)

обладает

такими же свойствами,

как

и

Q2(u,

t», t, Li).

Рассматривая

два последних слагаемых в правой

части (4.233), как неоднородность, и используя

построен-

(0)

L I ) ,

G(t,

s, LI

ные

в

п. 9 матричные функции Грина G(t, s,

(D

и G(t,

s,

заменим уравнение

(4.233) с краевыми

усло­

виями

(4.162) системой типа (4.220)—(4.222)

u(t,

[l) =

(0)

U0(i,

L l ) - f

*°

(0)

s

+

§yG(t,

S, Li)

Fy

(s, Ll) J Я (s, p, LI)

u(p, \i)dp

+

+

Q l ( » . V, S, Ll)

ds

при

0 < * < / „ ,

(4.234)

u(t,

[l) =

U0(t,

Ll)

+

+

t,

— G(t, S,

г

s

J

Ll)

Fy

(S, Ll) J Я (s, p, L l ) ü ( p , p.)dp

+

-f- С?! (U,

V, S, Ll)

ds

при t 0 ^ t ^ t u

(4.235)

(D

«(/,

\l)

=

U0(t,

Ll)

+

Л J (D

p

+ j — G (*, s,

LI)

Fj, (s, LI) J Я (s, p, LI)

u (p, LI) dp +

+

Qi (U, V, S, Ll)

ds

при

^ < * < 1.

(4.236)

Разбивая

интегральный член в правой части (4.234) на

два

слагаемых,

обозначим

их

следующим

образом:

(0)

с 1( 0 )

Г

ds,

L u

=

)

jG(t,s,\i)Fy(s,\i)

j H(s, p,

\i)u(p,

Li)dp

§ H ]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

149

Q {и, V,

t, ii) =

j — G (f, s,

LI) Qj (u, y, s,

LI)

ds.

(i)

Аналогичные

обозначения

Lu,

Q (u, v, t, ц)

и

Lu,

(О

Q (u, v, t, ц) введем для (4.235)

и (4.236). В силу экспо­

ненциальных

оценок

для

матричных функций

Грина

(0)

LI),

(1)

LI), полученных в п. 9, и

G (t,

s,

G (t, s, ц)

и G (£, s,

двух

свойств

(u, и, t,

ii),

интегральные

операторы

(0)

|х), Q («, Ü, г1, LI)

(1)

Q (u, у, t,

Q (u, о,

и

(х) обладают такими

же двумя свойствами,

как и

Qi{u, v,

t, ц).

t

t.

Lu. Разобьем

Р

Г

Рассмотрим

(О)

о

о

г

t

тегрируем в каждом слагаемом по частям. Получим

(0)

§jG(t,

p, \i)Fy(p,\i)dp

||

§H(s,p,\i)u(p,\i)dp

Lu =

tf

s

s

ds+

0 L-0

s

1

Г

s

(> 1 (»)

|x) Fj, (p, ix) dp

л

ii) « (p, (i) dp

j

— G (t,

p,

J Я (s,

+'По Г js- ^ ö V . p , \x)Fy(p,

y)dp

j

s

§H(s,p,n)u(p,\i)dp

ids.

t

M„

(0)

п I (0)

Кх (t, s,

LI) = j - i G (t, p, LI) Fy (p, LI) dp,

(4.237)