книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

280

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

[ГЛ. 5

и так как в случае уравнения типа

Вольтерра / и (0 ) = 0,

то

для

П0 г (т) получается система

дифференциальных

уравнений

Щ~ = F (*0 (0) + П0 г, g (0), 0, 0, 0)-F

(F0 (0), у0 (0), 0, 0, 0) =

=

F(z0 (0) + n 0 z, i r , ,0,0 f 0 )

(5.27)

с

начальным условием (см. (5.24))

П о г ( 0 ) = г " - і " о ( 0 ) .

(5.28)

Система

(5.27) играет здесь такую же роль, как присое­

диненная

система (3.43)

в главе 3. Так как в силу

(5.26)

Re^,(0)< 0 (і = 1, 2,

М), то значение П0 2 = 0 яв­

системы.

Пусть, как и в главе

3, выполнено условие

I I I .

Начальное значение z°—z0

(0)

для

П0 г (т)

принад­

лежит области влияния точки

покоя

П0 г = 0, т. е. реше­

ние

П0 г(т)

задачи

(5.27), (5.28)

стремится

к нулю

при

т —*• оо.

Введем в рассмотрение следующие множества

точек

(напомним, что {х: Q} означает

множество

точек

х,

обла­

дающих

свойством Q):

S0 1

= {(f, s, z, у, р): 0 < * < Г ; s = 0;

z = z~o(0) +

+ n o z (T) ,

т > 0 ; y--=y°;

p = 0},

S0» =

г '^ > P): 0 < s < i f < 7 ' ;

z = z„(s);

y =

=

y0(s);

p = 0},

Au = {(*. У> J,t,v)-z

= z0 (0) +

I70 z(T),

T

>

0;

y = y°;

J = 0;

t =

Q; p = 0},

L 0 2

= |(z, y,

t, p): z = z0 (0; y = y0(ty>

J = 70(t)

=

=

Jff(f, s,

z0 (s), |/0 (s), 0)ds;

0 < г < Г ;

p = 0> .

о

y

Обозначим

через 50

объединение S01

и S02 ,

через L 0 — объ­

единение L 0 1 и L 0 2

. Потребуем,

чтобы было

выполнено

§ 17]

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ

НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

231

IV.

Функция

K(t,

s, 2 , у,

Li)

имеет

непрерывные

част­

ные производные

по всем аргументам

до (п +

1 )-го

порядка

включительно

в некоторой

Ь-трубке множества S0.

Функ­

ции F (z,

у,

J,

t,

р)

и

f (z,

у,

J,

t,

Li)

имеют

непрерывные

частные

производные

по

всем

аргументам

до (п -\- 2)-го

порядка

включительно

в некоторой

Ь-трубке

множества L 0

(определение ô-трубки см. в п. 1

§

10).

Условие

IV,

проще говоря, означает, что функции К, F и / должны

быть достаточно гладкими в некоторой окрестности нуле­

вого

приближения

х0

(/) +

П0х(х).

При

условиях

I — I V определим члены рядов (5.4),

(5.5)

до номера п включительно и обозначим через Xn(t,

р)

частичную

сумму п-го порядка разложения (5.3), т. е.

X„(t,

р ) =

S

р * М 0 +

ВДт)).

Т е о р е м а

5.1. При

выполнении

условий

I — IV най­

дутся постоянные

р 0

>

0 и с >

0 такие,

что при

0 <

р ^ р 0

решение

г(і,

p), y(t,

р) задачи (5.1), (5.2) существует

на

сегменте

0 <Г t =sC 7",

единственно,

и

удовлетворяет

нера­

венству

\\x(t,

p) — Xn(t,

р ) | | < с р " +

1

при

0 < * < 7 \

(5.29)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство

теоремы

5.1

можно

провести

по

той же схеме, что и доказательство

теоремы 3.1. Напомним основные этапы доказательства и

одновременно

отметим

те

отличия,

которые

возникают

при

доказательстве

теоремы 5.1 по сравнению с

теоре­

мой 3.1 и которые заключаются в основном в некоторых

технических усложнениях, связанных с наличием в урав­

нениях

интегральных

членов.

Так

как

уравнения

(5.19), (5.21), определяющие функ­

ции

пограничного

слоя

\Лкх(т), являются чисто

диффе­

ренциальными, то в точности так же, как в теореме 3.1,

можно

доказать

оценку

|І П**(т ) II ^

с

е

х Р

( — х т )

П

Р И

т ^ О ,

k = 0,

1,

. . . ,

п,

где с >

0

и X >

0—некоторые

постоянные.

Положим

далее

u(t,

р) =

г(/, p)— Zn(t,

p),

v(t,

\i) =

y(t,

[i) — Yn(t,

p).

Подставляя

в

(5.1),

(5.2)

Z

=

M

+

Z „ ,

y = v + Yn,

получим

232

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

[ГЛ.

5

для

остаточных

членов

u(t,

ii), v(t,

LI)

уравнения,

кото­

рые запишем

в

виде

РШ^Р'У,

V)u

+ Fy(t,

ц)о

+

+Fj

(t,

(І)

J Я г

(/,

s,

ii) и (s,

ц.) ds

4-

o

+

Fj(t,

ii) 5 Ky(t,

s,

ii)y(s, LI) ds +

Gx (u,

v,

t,

L I ) ,

л

0

/ , ( / , L I ) U

(5.30)

dî =

lz(t, l*) и +

+

(S. M-) d s

+

+

/y С H-)

0S

V, s> Iх) u

+

Ll) J

S, Ll)ü(S, ll)ds +

G2 (U, l>,

Ll),

0

и начальные

условия

ц(0, ц ) = 0 ,

о(0,

Li) =

0,

(5.31)

где элементы матриц Fz(t,

ц), Fy(t,

L I ) , F

L I )

,

/ г

/з»(Л

Н)>

/у (Л f1)

вычисляются

в

точке

(г0

(/) 4-П0 г (т),

y0(t),

J0(t),

t, 0), элементы матр_иц Kz(t,

s,

ц)

и

Ky(t,

s,

I L

вычисляются

в

точке

(t,

s, г0 (s) -f- П0 г ( S / L I ) ,

T/,, (s),

0),

1. При 0 <

/ < 7 \

0 <

ц < і і 0

Il Gx

(0,

0,

t,

і і ) | | < ф л +

1 ,

110,(0,

0,

t,

i i ) | | < c ( i i " + 1 4 - L i n e x p ( - x / / u . ) )

(по

поводу

постоянных

с,

и

и

L I 0

остаются

в

силе

замеча­

ния

I , 2 и

4 из п. 3 § 10

главы

3).

2.

Для

любого

е > 0

существуют

такие

ô =

ô(e) и

Но -

Ио (е),

что

если

|| и, (s,

L I ) || <

6,

|| иг

(s,

ц) || <

Il Vl

(S, il) II <

ô,

d V2

(S, |l) К

ô

ПРИ 0 <

S < t

<

7\

0<Ll<Llo ,

то

справедливы

неравенства

|G,'("i. «z, /,

fx) —G,-(«2 , v2,

t,

L i ) | | < e

max

[ | | M , ( S ,

L I )

—

0 <

s < t

— M * , |i)||-r

||»i(s, |0—o,(s,

(t =

1, 2).

§

17]

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ

НАЧАЛЬНОЙ

ЗАДАЧИ

233

Обозначим через Ф(7, s, р) матричное решение однород­

ной системы

р

=

Fz

(ttli)<X>+Fj(t,

p ) K z

(t,

p,

p) Ф (p,

s, p)dp

(5.32)

s

( 0 < s < ^ < 7 , ) )

удовлетворяющее

условию Ф (s, s,

p) =

EK(EM—единичная

(МхМ)-матрит),

a через ? ( / ,

s,

p) — матричное

решение

аналогичной однородной

системы

^

= \ у

(t,

p) Y + / у

(0

p)sj

К , (Л P,

P) Y (p, s, p) dp

( 0 < s < / < T ) ,

удовлетворяющее

условию

Y (s, s,

p) =

£ m

(£m —единич­

ная (m х/и)-матрица).

Очевидно,

что

|| Y (0

s, p) ||

с

при

O ^ s ^ i ^ T ,

0 < p ^ p 0 ,

a

для Ф(І,

s,

p)

докажем

оценку

| Ф ( / ,

s,

ц ) | | < с

[р +

ехр

0 < s < / < T 0 < p < р 0 .

p%.=

F,(t,v)U,

U(s, s,p) = £ M

( 0 < s < / < 7 ) ,

H(t,p,\i)

= jr$U(t,q,p)Fj(q,

p) К г (q, p, {*)dq.

t

где Ki(t,

s, p)

= — Ф(*. s,

n)Fy(s,

р) +

- 1

<D(f, р, ц) х

X Fj(p,

\i)Ку(р,

s, \i)dp,

2

(t,

s, p)

s

аналогичное

имеет

K

J

выражение.

Преобразуя

систему (5.33)

так

же, как систему (3.94),

довательных

приближений,

как

и в теореме

3.1, можно

доказать

существование

и

единственность

решения

u(t,

p),

v(t,

р) задачи (5.30), (5.31) и получить

оценку

II «

(t, p) II <

cp"+ 1 ,

II V (t,

p) II < c p n + 1

при

0 < t < Г,

0 <

p ^

Po,

откуда

непосредственно следует

(5.29).

236

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

[ГЛ. 5

В настоящем параграфе будет рассмотрена задача иного

типа, когда добавление в дифференциальное

уравнение

интегрального члена приведет к качественному

изменению

поведения

решения. Для простоты

выкладок

будем рас­

нений,

что детально

разобрано

в работах

В. Ф. Б у т у ­

з о в а

[7, 8].

Рассмотрим

линейное дифференциальное

уравнение

v£

= -A{t)z

+ B(t)

(5.34)

на сегменте 0^.t^T,

где A (t),

B(t) и z(t,

p) — скаляр­

ные функции.

A (t)

и В (t) будем считать

непрерывными

жения

решения, мы будем

считать их также

достаточно

гладкими). Пусть

A (t) > 0

при

0 < С * ^ 7 \

Зададим

дополнительное

условие для

г (t,

р) в

точке

t = T

г(Т, р) = г°.

(5.35)

Так

как A (t) > 0,

то решение

задачи

(5.34),

(5.35) при

р—>-0,

очевидно, стремится

к бесконечности в полуинтер­

вале

0 < t <

Т.

Добавим

теперь в уравнение

(5.34) интегральный член

а

K{t,s)—непре-

lK(t,

s)z(s, p)ds,

где а

равно

t

или

T,

о

(в дальнейшем

также

достаточно

гладкое)

ядро.

рывное

Для определенности будем рассматривать случай

a = t.

(При

а = Т

имеет

место аналогичный

результат.)

Полу­

чим

уравнение

t

V-§=-A(t)z

+ $K

(t, s) z (s, p) ds + В (t).

(5.36)

0

lim

z (t, p) = z0 (t)

(0 < t < T).

(5.37)

Д -f

о

238

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

[ГЛ.

5

По

этой причине

решение

z(t,

р), которое стало конеч­

ным при t — 8 (р), для

t >

е (р) (при малых р) будет близко

уже

не

к решению

z(t)

вырожденного

уравнения

(5.38),

а к

решению

z0

(t)

уравнения

t

О =

-

А (0 г0

(0 +

J

К (t,

s) F0

(s) ds + B (t) +

a.

(5.40)

о

Так

как

z0

(t),

очевидно,

линейно

зависит

от

а,

а г (Г, р) близко

к

z0 (Т), то естественно ожидать, что при

соответствующем

выборе

а решение

г (t,

р) задачи

(5.36),

(5.39) удовлетворит

дополнительному

условию

(5.35).

З а м е ч а н и е .

Отмеченное

изменение

интегрального

члена

t

К

(t, s) z (s,p)

ds

от

нуля

при

t

= 0

до

некоторой

отличной

от

о

Перейдем теперь к

подробному

рассмотрению зада­

чи (5.36), (5.35).

2. Вспомогательная

начальная

задача с бесконечно

чале для уравнения (5.36) задачу с бесконечно

большим

(при р.—>-0) начальным

значением решения,

заданным

при

^ =

0,

z(0,

р) =

^ ,

(5.41)

где

а(р)

представимо

в

виде

асимптотического

ряда по

степеням

р при р—>-0:

а (р) = а_! +

ра0 + . . . +

р А + 1 а * + . . .

(5.42)

Решение задачи (5.36), (5.41) будем искать в виде

z(t,

р ) = 7 0 ( 0 + ^ і ( 0 +

• • • +

P * ï * ( 0 + - • • +

+ ^ n _ l Z ( T ) + n o Z ( T ) + . . . + p * n , z ( T ) + . . . (т = £ ) .

(5.43)

Наличие

в (5.43) члена — U_lz(i)

связано с бесконечно

§ 18]

ОСОБЕННОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ

239

Р ^ ( г „ ( 0 + . . .

+ р Ч ( 0 + . . . ) +

+ І

(іГ П - і г

(т ) + П0 г (т) + . . . + p*nftz (т) + . . . ) =

= - Л ( 0 ( г 0 ( 0 + . . . + 1 * * 7 , ( 0 + . . . ) -

- Л (тр) ( І П . і

2 ( т ) + П0 г(т) +

. . . + p*nf t 2 (т) +

. . . ) +

t

+ S

K(t,

s)(z~0(s) + . . . +

p*7ft(s) + . . . ) d s

+

0

+ р ] > ( Л a p ) ( ^ n _ l Z ( o - ) + n o z ( a ) + . . . +

О

со

+ p*nftz(a) +

. . . ) da - p J /С (тр, op) ( - L n_,z (о) +

+

П0 2 (a) +

. . . + p*nftz (ст) + . . . ) da + В (/).

(5.44)

дифференциальное

уравнение

= — Л (0)11 . ^

с на­

чальным

условием

n_,z(0) = a_1,

откуда

n_1 z(x) = a _ 1 exp( — Л(О)т)

( т > 0 ) .

(5.45)

Для г0 (/)

получается интегральное уравнение

0 = - Л ( 7 ) ! 0 ( 0 +

+ \K(t,

sK( S )ds +J /C(7,

0)11^2 (о)do + В (t).

о

о