книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

30

ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

[ГЛ. 2

ранства

переменных

{у, t)

решение

(корень)

z = ф (у, t)

такое,

что

1.

ср (у, t) — непрерывная

функция

в D,

2.

Точки

(ф(г/, t), y,t)ÇG

при

(у, t)ÇD,

_

3.

Корень

2 =

ф(г/,

t)

является

изолированным в

D,

т.

е.

существует

такое г\ > 0, что

F (z, у,

t)^0

при

0 < | | Z - < p O / ,

t)\\<i\,

(у,

t)ÇD.

I I I .

Система

(2.22)

имеет

единственное решение

y(t)

на

сегменте

O^it^T,

причем

точки

(y(t),

t) £ D

при

t € [0, T], edeD—

множество внутренних

точек области

D.

Кроме

того,

предположим,

что f (y (у, t), у, t)

удовлетво­

ряет

условию

Липшица

по у в D.

Введем

теперь

так

называемую

(по

терминологии

Тихонова) присоединенную

систему

£=F(ly,t)

( т > 0 ) ,

(2.23)

в

которой

у

и

t

рассматриваются

как

параметры.

В

силу

I I

z = ф (у,

t)

является

изолированной

точкой

покоя

системы

(2.23) при (у, t)£D.

Пусть

IV.

Точка

покоя

z — q>(y,t)

системы

(2.23)

является

асимптотически

устойчивой по Ляпунову

равномерно

от­

носительно

(у,

t)(tD-

Это

означает,

что для

любого

е > 0 существует ô(e)

(общее

для

всех

(у,

t)£D)

такое,

что

при

||z(0) —

— Ф (Уу t) II < ô (е ) выполняются условия II z (т) — ф (у,

0 ||<8

при т ^ О и г(т)—>-ф(г/, t)

при т—>-оо.

В

случае

выполнения

условия

IV корень

г = ц>(у,

t)

будем

называть устойчивым

в области

D.

(2.23)

Рассмотрим

присоединенную

систему

при

у = у\

t = 0;

^

= F(z,y\0)

( т > 0 )

(2.24)

с

начальным

условием

z(0) =

2 ° .

(2.25)

Так как начальное

значение г°, вообще говоря, не близко

34

ТКОРЕМА

О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

[гл. 2

г(т)—*(р(у°,

0)

при

т - ^ о о .

Следовательно,

найдется

т0 = т0 (о) >

0

такое,

что

1ЙТ0 )-Ф0Л 0 ) | | < | Ô .

(2.33)

Сделаем

в

исходной

задаче

(2.18), (2.19)

замену

t =

x\i.

Получим

^

= F(z,

у, Т | І ) ,

df =

ц/(z,

тц),

С 2

341

2|т=о = г°,

г/|т=о = г/°.

*

'

'

Так как

в

силу

V

точки

(г(т),

г/°, 0)6 G

при

т > 0 ,

то

по теореме 2.2 при достаточно малых р, решение

z(tp, р.),

г/(тр., р.) задачи (2.34) существует на сегменте

0 ^ т ^ т 0 ,

единственно и равномерно

относительно

т £

[0, т0 ]

выпол­

няются предельные

равенства

1ітг(тр,

p) = z(x),

lim у (тр., ц) — у0.

(2.35)

ц-* 0

и. -> 0

Следовательно,

найдется такое р 0 > 0, что при 0 <

[ х ^ р0

будет выполнено неравенство

П z (тр.,

— Z ( T ) | |

< y ô

при

0 < т < т 0

.

(2.36)

Возьмем, кроме того, ц0 столь малым, чтобы (у (тц, р,), тр.) £ D

при 0 ^ т ^ т 0

,

0 < ц ^ ц о

,

что возможно

в силу

ограни­

ченности

f(z,

у,

t),

и столь

малым, чтобы

IIФ(УКН. I*). w)

— ф(</°> °)ІІ < { б

при

0 < р < и , 0 ,

(2.37)

что возможно в силу второго равенства

(2.35)

и

непре­

рывности

ф(г/, t).

Тогда из (2.33), (2.36) и (2.37)

получим

I! z (т0р,,

р,) — ф (г/ (т0|х,

р,), т0 ц) II < о.

Следовательно,

решение г (t,

ц) =

z (тр,, р.), г/ (?, р,) — у (тц, ц.)

(г (to, V), У (t0. P),t0)€Ut.

(2.38)

В

силу

леммы

2.2

при достаточно

малых р , ( 0 < р ^

р 0

= р,0 (е))

решение

z(t, р,), y(t, р,) однозначно продол-

жимо

при

t > t0

и не выходит из

Ut

до тех пор, пока

(y(t,

p.), t)£D.

Следовательно, при t

^ t 0

до тех пор, пока

36

ТЕОРЕМА

О ПРЕДЕЛЬНОМ

ПЕРЕХОДЕ

В самом

деле, при t = t0

неравенства (2.43)

и (2.44) вы­

полняются

в силу (2.42) и (2.38). При

продолжении ре­

шения вправо от точки t = t0 в силу непрерывности z (t,

y(t,

(f(y,

t)

неравенство

(2.44)

будет

справедливо

в некоторой

окрестности

(t0, t0-{-h)

точки t = t0

и, следо­

вательно,

в

силу

свойства

А

системы

(2.39)

при

t€(^о>

U + h)

точки

(y(t,

ц), t)£D

и выполняется

нера­

венство

(2.43). Если

при t = tu-\-h

(2.44)

имеет

место, то

решение

можно однозначно продолжить, и так до тех пор,

пока

не

достигнем

t = T или не будет

нарушено

(2.44).

Предположим, что при некотором

Т0

(t0

< Т0

< Т)

нера­

венство (2.44) нарушается, т. е.

\\z{t,

\i) — q>{y{t,

ц), / ) | | < е

при

t 0 ^ t < T 0 ,

\\г(Т0, іі)-ц>(у(Т0,

Т 0 )|| =

е.

( 2 ' 4 5 )

Тогда при t0^t^.T0

в силу свойства А точки (у (t, ц), t)Ç-D

и, следовательно,

в силу

леммы 2.2

при t = T0

решение

находится внутри і/в ,

что противоречит

(2.45).

Таким

образом,

решение

однозначно

продолжимо до

t = T

и имеют место

неравенства (2.43),

(2.44). Из (2.42)

и (2.43)

следует

\\y(t, v)-y(t)\\<r\

при

0 < * < 7 \

что доказывает в силу

произвольной малости т) предельное

равенство (2.26). Из

(2.26) и непрерывности

у (у,

t)

сле­

дует,

что равномерно

относительно

t £ [О, Т]

имеет

место

предельный

переход

lim ср (у (t, ц), t) = y(y.(t),

t) =

z(t).

и -* о

Для

доказательства (2.27)

остается

заметить,

что е в

(2.44) произвольно мало, a ta

= xu\i

также

можно

сделать

произвольно

малым

при достаточно малых

\х (О < ц ^

ц0 ).

Теорема

2.3

доказана.

З а м е ч а н и я .

1. Траектория L(t,

ц), соответствующая

решению

z(t,

fi), y(t,

J A ) , Т . е. кривая

в

пространстве

(z, у,

t)

при [ X — î - 0 ,

стремится к кривой L 0

, состоящей из

двух непрерывных кривых L 0 1 и L 0 2 , где L 0 1 = {(z, у, t):

z=z(x),

т ^ О ;

у = у°;

і = 0; здесь

z(x) — решение

присоединенной

= z(t); y = y(t);

O^tt^T}—

кривая, соответствующая

вырожденному

решению.

ТЕОРЕМА

ТИХОНОВА

37

2. Предельный

переход

(2.26)

для у (t,

\і)

является

равномерным относительно

[0> Т], в то время

как пре­

дельный переход (2.27) для

z(t,

ц)

не является равномер­

ным относительно

[О, Т],

но

является

равномерным

относительно t£[t0,

Т],

где

t0

> 0—сколь угодно'малое,

но фиксированное

при

f i — ч и с л о .

Рис. 2.

/ — поверхность

2 =

<р(«/,

t),

II—область

D,

А — начальная

точка

с координатами

(г =

г°,

</ =

t/°,

£ =

0), Л'—точка

с

коорди­

натами

(г =

г°, у =

0,

t = 0),

А"—точка с координатами (г =

0,

у =

у°,

t = 0),

1—кривая

L

(t,

отвечающая

решению

z(t,

y(t,

JX)

задачи

(2.18), (2.19),

/ ' — график

z =

z(t,

ц), /"—график

y = y(t,

ц),

2—кривая

L 0 2 , отвечающая

вырожденному

решению

z(t),

у

(t), 2'

—

график z = z(t),

2" — график y=y(t),

3—кривая

L 0

1 .

V

Рисунок 2 дает наглядное представление о поведении

решения

задачи

(2.18),

(2.19)

при

малых

\і.

5. Структура области влияния в скалярном случае.

Если

г—скалярная

функция,

то

присоединенная

система

(2.24)

является

скалярным

уравнением.

Точки

покоя

і = ф . (г/°,

0) ( / =

1,

2, . . . ) изобразятся на плоскости

(z, т)

прямыми,

параллельными оси т (рис. 3). Пусть F (z, у0,

0)

меняет знак при

переходе через значения ср,- (у0,

0), и пусть

38

ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

[ГЛ.

2

V =

(z—ф2)2. Тогда

j ^ - =

2 (z —ф2 ) F (z,

у0,

0)

не

зависит

от

т и

является

отрицательно

определенной

функцией

г,

+

2

^

-

г —

2°

+

J

Рис.

3.

/ ,

2,

3— прямые

z =

ф; (у0,

0) (t'=l,

2, 3),

/ и

II

—

графики

двух

решений

присоединенной

системы,

соответствующие

различным значениям г°.

всюду в области ф 3

<

z < ф 0

что гарантирует

как

асимпто­

тическую устойчивость

точки покоя

г = ф2 (г/°, 0), так и то,

что

если

z° лежит

в

интервале (ф3 ,

фі), то

Z ( T ) — » - ф 2 ( # 0 ,

0)

при

т—>• оо.

Таким

образом, точка

покоя

z = ф2 (у0,

0) асимптоти­

что y(t)

можно использовать в качестве

асимптотического

приближения

к y(t,

р), имеющего

равномерную

точность

на

всем

сегменте

0^t^.T

(см. замечание

2,

стр.

37).

Что касается

z(t),

то здесь положение несколько иное.

В

точке

£ = 0 z(t)

отличается

от

z(t,

р)

на

величину

2° — z(0),

поэтому

(при z°—z ( 0 ) ^ 0 ,

что, вообще говоря,

имеет

место)

и в

некоторой окрестности

начальной точки

/ = 0

z(t)

не может

служить

приближением

для z(t,

р).

Эта малая

окрестность точки

^ = 0, в которой происходит

быстрое

изменение

z(t,

р) от

значения

2° при t=0

др

значений,

близких

к z (t), называется, как уже было

ска­

зано в главе 1, зоной

пограничного

слоя.

На

сегменте же

вида

0 <

t0 ^

t ^

Т,

где

t0 сколь угодно мало, но фикси­

ровано при р—>-0,

z(t) уже можно использовать в ка­

честве

равномерного

асимптотического

приближения

к

z(t,

р).

Однако

теорема

2.3 ничего не говорит о точности

этих

асимптотических

приближений.

Естественно

поставить

вопрос об оценке

этой точности и далее

поставить вопрос