Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2821 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

200	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ			[ Г Л . 4
показывающем зависимость В		от Т,
<Р, ( Г )	Ф, ( Г )		ф , ( Г )
В(Т) = J	F(z, T )dz — J	F(z,T)dz	= $	F{z,T)dz.
Фз ( Г )	ф » ( Г )		Ф з ( Г )

Геометрически изменение знака ß (Т), как легко видно отсюда, означает, что фазовая картина меняет вид с а) на б) (см. рис. 6) или наоборот. Изменение знака В(Т) при переходе через Т — Т° обеспечивается следующим условием:

	Ф і (П
V.	Я ' ( П = ^ J F(z, T)dz Г = ГОФО.

Полученные результаты можно выразить следующей теоремой:

Т е о р е м а 4.5. При выполнении условий I—Vсущест вует решение краевой задачи (4.355), (4.356), для которого справедливы предельные равенства

д г ^ Н Й)

ZI °><'<Г <4-373>

\mzx{t,

ц) = 0

при

0<t<T°,

T"<t<ï.

З а м е ч а н и я .

1. Может

существовать также

решение,

у кото

рого z2(t,

р.)

стремится

к фх

(t)

на

(0,

Т°)

и к

ф8 (/) на

(7"°, 1).

Формулировка

и условия теоремы остаются без изменений, за исклю

чением того,

что

в I I I

фз (0),

ФІ(1)

заменяются

на фг (0),

ф 3 (1) и

в (4.373) фз (t)

заменяется на

фх

(t)

наоборот.

2. Если на интервале 0 <

Т <

1 несколько раз образуется ячейка,

т. е. В (Г)

обращается в нуль

несколько

раз,

то может существовать

решение с

несколькими точками

перехода.

3. Решение задачи (4.355), (4.356) в целом не единственно. Ука занные решения могут сосуществовать. Кроме того, одновременно с ними может иметь место решение, у которого г2 (t, ц) стремится только к ф! (/) или только к фз (/), т. е. решение без точки перехода, описанное в § 14.

4. Результаты обобщаются на случай, когда в системе (4.355) присутствуют переменные типа у (медленные переменные). Ограни чимся в этом случае следующими краткими указаниями.

Пусть имеется система (у—m-мерный вектор)

			P 2 § W ( * 2 , У, 0,		§ = / ( * 2 , У, t)
при	тех	же	условиях (4.356) и m дополнительных условиях для у,
для	определенности			начальных: у(0,	іі)=у°.	Пусть уравнение
F (*.	У>	() =	0 имеет	корни г = ф,-(у, /)(('=!, 2,		3). Определим ya(t)

		ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ					СЛОЙ		201
из	системы	- ^ = / ( Ф з ( « / з ,	0,	Уз,	t),	у3(0)=У°-		Обозначим	<р,-(0	=
=	Фі (^з (0.	t)- Точка перехода			Т°	с ф3	на	фх определится тогда
уравнением
		$	F {г,	y3(T),		T)dz	=	0.
		Фз(Г)				_
Правее t =		T° определим ух	(t)	системой ^ = / ( ф і ( # ъ t),					~ylt	t),

t/j (Г0 )=г/з(7, °).При некоторых дополнительных условиях, аналогичных условиям теоремы 4.5, можно гарантировать существование решения такого, что

	lira	y(t,	\i) =	\	y3(t)3		при 0 < / < Г » ,
	lira	y(t,	\i) =	\	^ '
	и->о			\	У і		при	T°<t.
					й ( 0		при	T°<t.
	„	«	,	j	Фв(Уа(0. О		при	0<	. <	Г»,
	Hm	г2 (г,	\|х) =	<		_	при Г» < t < 1.
	I* -» о			I	ФіОМО, 0		при Г» < t < 1.
Рассмотренное явление перехода с седла на седло
впервые	исследовано				Ю.	П. Б о г л а е в ы м				[5].	В его
работах	рассматривалась					система	(4.355) и		более		общая,

включающая медленные переменные. При исследовании

существования

решения

им применялся

несколько иной,

определенном

смысле

более

общий, критерий устойчи

вости

виде некоторого

принципа

максимума.

П р и м е р .

= ( Z « + О С * , " 1.5)

( Z , - . ) ,

^ #

( 0 < * < 1 ) ,

2,(0,

Ц) = 0,

2 2 ( 1 , р) =

этом

примере

срх

— 1 ,

Ф2 =

ср 3 =1,5,

Т° = 0,25,

реализуется решение,

для которого

1,5

при

0 <

t <

0,25,

Ѵшгя(і,ѵ)

= гш«)

{

_ !

п р

0 , 2 5 < * < 1 .

Для

вырожденной

конструкции

вида

- 1

при

0 < / < 0 , 2 5 ,

г - « > = {

1,5

„рк

0 . S 8 < * < 1 .

< 4 ' 3 7 5 )

не

выполнено при

^ = 1

условие

I I I теоремы 4.5. Если

же

вместо условия

2 2 ( 1 , р) = 0

задать

z 2 ( l ,

р ) = 1 , то усло

вия

теоремы

4.5

выполнены

для

обеих

вырожденных

202

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

конструкций, т. е. и для (4.374), и для (4.375), и гаран тируется существование двух решений, га -компоненты которых стремятся соответственно к этим двум вырож денным решениям.

У п р а ж н е н и е . Проверить эти утверждения.

Может	случиться,		что в (4.357) ячейка	имеет	место
при любом	Т.	Оказывается, и в этом случае		может	иметь
место решение		типа,	изображенного на рис. 7, с		точкой

перехода Т°. Для нахождения Т° можно воспользоваться теми же соображениями, но вместо (4.360) и (4.364) сле

дует	взять асимптотическое представление с точностью
0 ( р 2 ) .	Уравнение для определения Т° будет более слож

ным, чем (4.372) ((4.372) при этом обращается в тождество),

именно

(формула

написана для случая ср2 (t) =

0):

Y-

ччІТ)s

F (г,

T)dz

\{= 3

V ^ S

[Ф/(Л f «,(«•.

T) +

Ft(2„

T)]dz%

(4.376)

F(z2,

T)dz2

U=i

ч>і'(Т)

Это уравнение получено в работе [18].

Уравнение (4.376) обращается в тождество,

если си

стема

(4.355)

автономна

(ср(- (t) = const и,

следовательно,

ф. (^) =

также

Ft(z2,

t) =

0). В этом

случае задача

(4.355), (4.356) также может иметь решение с точками

перехода,		но	они		находятся	из	других соображений.
Изучению автономной системы посвящены работы								[22,23].
В работе			[22]	рассмотрена		система
					p f = 2 ( 2 ) ,
где z,	Z—двумерные				векторы.	Предполагается,		что	на
фазовой		плоскости			z имеется ячейка типа в) рис. 6,				но
теперь	уже		она	расположена		произвольным		образом
относительно			осей	zlt	z2 (рис. 9).		Точка перехода	Т для

§ 15]

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ слой

203

решения такого типа, как на рис. 7, где фх и ф3 теперь прямые, параллельные оси t, в нулевом приближении определяется формулой *)

—

где Я4 /—положительный корень характеристического урав

нения, отвечающего	ф1 ( а	Я 3 — отрицательный корень
характеристического	уравнения, от
вечающего ф3 . В [22] получена так
же поправка к Т° порядка		О (р).

5. Замечание о других типах пе реходов с корня на корень. Описан ное явление перехода с одного корня на другой, или явление срыва, не исчерпывается разобранными выше ^ случаями. Часто явление срыва мо жет происходить по следующей при чине. Рассмотрим простейший одно мерный случай

					Рис. 9. Аи		А3 — седла,
					А2—центр.		1 — сепа
					ратрисы,		2—одна	из
Пусть уравнение		F (z, t) = 0		имеет	замкнутых		траекто
					рий,	окружающих
три корня, фх (t), ф2		(t) и ф3	(t),	и пусть		центр.
в точке t = T	(f2(t)	и ф3 (t)	сливаются.
Предположим,	что	ветвь ф3 (t) устойчива вправо и корень
<Рх(0 также устойчив вправо, а ветвь ф2 (і)							устойчива
влево. Рассмотрим		начальную задачу			z(0,	p) =	z°, где	z°

выбрано так, как показано на рис. 10. Согласно теории главы 2 соответствующая интегральная кривая для t > 0 приближается при р—>-0 к ф 3 (0 - Теория, развитая в главах 2 и 3, остается справедливой, пока кривая не

попадет	в	окрестность	точки А,	соответствующей	t =	T.
При t = T		ф2 = Ф з и	Р,(Чш(Т),	T) = Ft(4,(T),	Т) =	0.
Поэтому	теория, развитая в главах 2 и 3, не дает				ответа

на вопрос о дальнейшем поведении интегральной кривой. Более детальное исследование кривой в окрестности точки

*) В [22] рассмотрено не условие (4.356), а условие периодич ности, но уравнение для точки перехода в обоих случаях будет одним и тем же.

204

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[гл. 4

t — T

показывает,

что

возрастанием

кривая

как бы

по инерции продолжается вправо, отходит

от

ср3 (t)

и по

падает

в область влияния точек, принадлежащих

устой

чивому вправо

корню

ср1 (0, в силу

чего

быстро

перехо

дит

окрестность

(t)

остается

в этой

окрест

ности. В

пределе

получается

разрывное

решение

Hm z(t,

ц -»• 0

при

0<t<T,

<р,(0

при

t>T,

Фі(0

слу

внешне

напоминающее

чаи, разобранные выше. Здесь

также имеет место внутренний

пограничный

слой,

однако

из-за

особенности,

связан

ной с обращением

Fz(z,

t) в

нуль, асимптотическая

струк

тура

решения

в этом

погра

Рис.

10.

3—графики

ничном

слое

значительно

сложнее,

чем

описываемая

= ф,- (/)

(і =

2, 3), / — график

формулами

(4.360)

и (4.364),

z — z(t,

р).

и ее рассмотрение выходит за рамки настоящей книги. (Интересующихся отсылаем к работам Л. С. П о н т р я г и н а и Е. Ф. М и щ е н к о [49, 43], в которых указанное явление срыва детально рассмотрено для системы достаточно общего вида.)

§ 16. Краевые задачи, приводящие

кбесконечно большим значениям решения

1.Анализ простейшего примера. Рассмотрим линейное уравнение

р#" = ау' +	1	(а = const <	0),
эквивалентное системе
pz' =	a z + l ,	y' = z	(4.377)
при условиях
у{0,	р ) - г / ( 1 , р) = 0.		(4.378)

Попробуем применить к этой задаче одну из описан ных выше схем, отвечающих асимптотически устойчивому


§ 16]	БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ					ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ		205
случаю, т. е. схему			§ 13 либо			схему п. 2 § 15. Нетрудно
убедиться, что условия					применимости схемы § 13 не вы
полнены,	так как система Ro					= 0 оказывается		не разре
шимой относительно х0.					Действительно, в нулевом при
ближении	(4.378)		дает		у0 = 0, уа(1) = 0,		а	так как
г/о = г/„(0),	то это означает, что решение						вырожденного
уравнения	(г/о = —1/а )			должно		обратиться в нуль в двух
заданных	точках 0		и	1, что не имеет места,				так как
вырожденное		решение,			обращающееся в нуль при £ = 0,
имеет вид у0		(t) = — t/a и не равно нулю при t = 1.
Схема § 15 также				не применима, так как (см. заме

чание 3 к теореме 4.3) функция F в данном примере является линейной. Таким образом, асимптотические свойства решения задачи (4.377), (4.378) заведомо отли чаются от описанных в § 13 и 15.

Точное решение задачи (4.377), (4.378) имеет вид

	ч	1		ехр (at/ji)	t_
У"'	V'— а{\— ехр (a/fi))			a(l— ехр (a/fi))
z(t,	(i) =	П Н - 1		, , е х р ( й у ;
v i r /		v \ > г /	H a(l — exp (a/fi))

Из (4.379) видно, что

, п	ч	1	1	i_
Z{V,	\l)—	ja a( l —exp (a/ju)) a '

a '

a(4.379)'

т. е.

значение

z (0, р.) бесконечно

велико при p —>- 0.

Отсюда

становится

понятным,

почему ни одна

из изло

женных

схем

не была

применима: они рассчитаны на

случаи,

когда

z(t,

р,) является

величиной ограниченной.

Рассмотренный

пример

показывает,

что для исследо

вания

подобного типа краевых

задач нужно уметь строить

асимптотику решения

начальной задачи

в случае, когда

начальное значение z бесконечно велико

при р—*-0.

Как

оказывается,

если

система

уравнений линейна по

z и начальные

условия

имеют вид

2(0,

p) = z_1 /p,

у(0,

p) = г/о,

(4.380)

то

для решения такой

начальной

задачи можно

постро

ить

асимптотику

того

же типа, что и в главе 3, с той

только

разницей,

что пограничный

ряд для z(t,

р) будет

теперь

начинаться

с члена

порядка р . - 1

(см. [16]).

206	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

2. Асимптотика решения начальной задачи с беско нечно большим начальным значением z. Ограничимся рассмотрением системы вида

р - ^ = Л(г/, t)z + B(y, t), % = г ( 0 < * < 7 ) , (4.381)

эквивалентной одному квазилинейному уравнению второго порядка. Имея в виду дальнейшие приложения к краевым задачам, зададим несколько более общие, чем (4.380), начальные условия

г (0, | І ) =

- f z0

+ [iz, + . . . ,

y (0,

p) = y0 + pуг

+ ...

(4.382)

Будем

искать

асимптотическое

разложение

решения

задачи

(4.381),

(4.382)

том

же

виде, как

главе

учетом

сказанного

выше

пограничном

ряде

для

z(t,

р), т. е.

z(t,

p) = z0 (0 +

p z j ( 0 + . . .

(т = £

) ,

+ f n _ 1

z ( T )

n o z ( T ) + . . .

(4.383)

У (*.

И-) =

Уо (0

т ( і ) +

• • • +

П0г/

(т)

-1- [ІІІ^

(т)

+ . . .

Коэффициенты

этих

разложений

определим

по тому же

правилу, что в главе 3, а именно, из следующих

уравнений:

= П А _ 1 ( Л г

+ 5),

= I

(k = 0,

1, . . . ) ,

(4.384)

0 = Л(у 0 ,

* ) 2 . + ß(]/o,

^ " = 2 . ,

(4.385)

*%=i = (Az+B)h,

= zk

(k=l,

2, . . . ) . (4.386)

В отличие

от случая

главы

П^г/(т)

и П й _ 1 г (т) описы

ваются нераспадающейся системой уравнений. В частности,

для k = 0	имеем
^	= Л Ы 0 ) + По у, 0 ) П _ і 2 , ^ = П _ і 2 . (4.387)

§ 16] БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ 207

Требуя,

как

обычно,

П„у(оо) = 0,

(4.388)

из второго

уравнения (4.387)

получаем

П0у

(т) = —$ П _ х 2 (s) ds,

(4.389)

однако,

отличие от аналогичного равенства в

главе 3,

выражение

(4.389)

еще не

определяет

П0 іу(т),

так

как

П . ^ т )

пока не известно.

Для

дальнейшего исследования удобно

перейти

к но

вому

переменному

у=у0ф)

+ П0у

(4.390)

(это

тем более удобно, что у0

(0) также

пока

не известно).

Тогда из (4.387)

получим

^ Ь * = Л(£ , 0).

(4.391)

Из (4.382) после подстановки туда рядов (4.383) имеем

n. 1 z(0) =

z.1 ,

у0(0) + П0уф)

уо,

откуда

в силу (4.390) следует

У Ф) = У0.

(4.392)

Интегрируя

теперь

(4.391),

получим

n.1 z

= z_1+J

A(y,0)dy.

(4.393)

Уо

Подставляя

это

выражение

во второе

уравнение (4.387)

dIL0y

и учитывая, ч т о _

^ , = =

" 5 7 і

приходим к

уравнению

= z_1+\A(y,0)dy,

(4.394)

Уо

которое в соответствии с терминологией глав 2 и 3 можно назвать присоединенным уравнением (см. (2.24)). Точки покоя этого уравнения находятся из равенства нулю

208 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [гл. 4

правой

части

z_x

\ А

(у,

0)dy = 0.

(4.395)

I/o

I . Пусть

уравнение

(4.395)

имеет

решение

у=

у0, и

пусть

А (у0, 0) < 0.

Из

этого

предположения

очевидно следует,

что точка

покоя

у= у0

является

асимптотически

устойчивой при

т —• оо .

I I .

Пусть

значение

у0

принадлежит

области

влияния

точки покоя у= у0.

Тогда

lim

у(х) = у0.

Т-*оо

Отсюда следует,

что если

положить

0о (0) =

i/o.

(4.396)

то согласно (4.390) условие (4.388) будет выполнено.

Из (4.394) можно получить

у как неявную функцию т

с помощью квадратур, а тогда из (4.393)

получаем II _ 1 z (т),

а из (4.390) — И0у(х).

Отметим,

что, в отличие от главы 3,

П0у(т)

ф 0, а начальное значение у0{0)

отличается

от у0

на величину у0 — у0

= Ау0,

которую в силу (4.389), (4.390)

и (4.392) можно

записать

в виде

со

АУо=

J U_1z(x)dx.

(4.397)

I I I .

Пусть

система

(4.385) с начальным

условием

(4.396)

имеет

решение

y0(t),

z0(t)

на

сегменте

Q^.t^.T.

IV.

Пусть

А (у0

(t), t)<0

при 0 < t <

Т. Это условие

играет

здесь

такую

же роль,

как условие устойчивости

(3.22) в главе 3.

(у, t),

Введем в рассмотрение

кривую L 0 на плоскости

состоящую из двух

звеньев:

Loi = {(yJ)-

y=~y(t), 0 < т < о о ;

/ = 0},

L0» = {(y,ty. У = ~УоѴ), 0 < / < Т } .

§ 16]	БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ			ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ				209
V.	Пусть функции		А (у, t)		и	В (у, t) имеют		непре
рывные частные		производные по у				и t до (п-\-2)-го		поряд
ка включительно		в некоторой		8-трубке			кривой L 0 .
Для определения следующих членов разложений (4.383)
нужно	воспользоваться		уравнениями (4.384), (4.386), ко
торые,	начиная	с k=\,	будут		линейными.			k ^ l .
Рассмотрим		систему	(4.384)		при произвольном
В развернутой		записи она имеет вид
	= А (т) П А _ і 2 4- Ау		(т)П _ і 2		(т) (yk(0)		+ U„y) + ^ ( т ) ,
dnky	_ п						(4.398)
где А	(т) = Л ( у 0 (О) + По 0 (т), 0), А,						(т) = Л„ (у0	(0) +

+ П0 #(т), 0), Ч;А-І(Т) выражаются через П,д;(т) предыду

щих	номеров,			a	(0) пока		не известно. Как и при рас
смотрении			системы		(4.387),		удобно сделать			замену пере
менных
					У * = Ы 0 ) + ПА у,					(4.399)
после		чего	система		(4.398) примет вид
%		і і =А		(т) nk_lZ		+ Ay	(т)П _ і 2 (т) ^		+	t * . x ( T ) .
						- ^ = Uk_lZ.				(4.400)
Из	(4.383)		получаем			для	П А _ і 2 ( т ) ,	yk	(т)	начальные
условия
				I l f t _ l 2		( 0 ) = 2	A _ 1 - l f t _ 1 ( 0 ) ,			(4.401)
					У(0)=У.					(4.402)
Найдя		решение П А _ і 2 ( т ) , yk(%) задачи						(4.400) — (4.402),
определим			\~[ky(x),		используя второе уравнение в (4.398),
равенством
				nf t y(T) = - $ I I Ä _ l 2 ( s ) d s .						(4.403)
							т

Ниже для П-функций будет доказана экспоненциальная

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2821 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ