Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2825 26 27 28 > Следующая >>>

240 ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 5

Подставляя сюда выражение (5.45) для Г1_1 2(т), запишем

это	уравнение в		виде
			t
		z~0(t)=\K(t,		s)70(s)ds		+ f0(t),		(5.46) „
			о
где	K(t,	s) = K(t, s)/A(t),			M O			ОуАЩа.^
-f- В (t)/A{t).		Обозначим		через R(t,		s)	резольвенту		ядра
K(t,	s). Решение		уравнения		(5.46)	запишем в		виде	(см.
(3.57))
				t
		z9(t)	= ÏAt)+\R(t,			s)f„(s)ds.
Подставляя		сюда	выражение		для Д, (t), получим
г„(0 = Л (0)		К (0	0)+5 R(t,		s) К (s,		0)ds

			+		о
Так	как R {t, s)	удовлетворяет		известному			уравнению
		R(t,	s) = K(t,		t	p) К (p,		s) dp,
для	резольвенты	R(t,	s) = K(t,	s ) + $ / ? ( £ ,		p) К (p,		s) dp,
		при a_j равен		R(t,	s
то коэффициент		при a_j равен		R(t,	0)/Л(0). Обозначая
второе слагаемое через г0 (0, окончательно будем								иметь
для	г0 (0 выражение
								(5.47)
Полученная линейная			зависимость		z0 (0	от	а_г	будет

использована в дальнейшем при рассмотрении основной задачи (5.36), (5.35).

Далее последовательно можно определить П0 г (т), г, (t),

П ^ т ) ,	г2 (0, . . .		Для определения Tlkz(x)	при		каждом k
(£ = 0,	1, 2,	. . . )	получается дифференциальное			уравнение
	^	= -	А (0) I V + Ph (т) ехр ( -	А (0)	т)

§	18]	ОСОБЕННОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ			241
с	начальным		условием
			Г ѵ (0) =	ак-гк(0)
(РА (т) — некоторый известный				многочлен относительно т,
степень		которого не превосходит k). Отсюда получаем
П*2 (т) =		(ak-zk	(0)) ехр ( - А (0) т) +
			+	е х р ( — Л ( 0 ) т ) .	(5.48)

Для определения функций zk (t) при каждом k (k= 1,2,... ) получается интегральное уравнение, аналогичное уравне

нию (5.46) для			zu(t),		t
					t
		zk(t)=\~K(t,				s)zk(s)ds+fk(t),			(5.49)
где
		1
Ш - А ( ( )
	k~l								(5.50)
	(k-				dsk-i-l				(5.50)
	(k-				dsk-i-l
Решение		уравнения			(5.49) запишем в			виде
		zk{t)		= fk(t) +			$R(t,s)fk(s)ds.
						о
Отсюда,		используя		(5.48)		и (5.50), легко усмотреть, что
zk(t)	линейно зависит от ak_1,					причем коэффициент при				ak_1,
как и коэффициент при а_х						в выражении (5.47) для				z0(t),
равен R(t, 0)/А			(0),		т. е.
					R d,	0) ak-i	+ zk	(t),	(5.51)
					А(0)
где	zk(t)	— некоторая			функция. Эта зависимость zk(t)					от
ak_1 также будет использована ниже								при рассмотрении
основной задачи (5.36), (5.35).
	Предполагая		A (t), B(t),			K(t,	s) достаточно		гладкими

функциями, определим члены ряда (5.43) до номера п включительно и обозначим через Zn(t, р) частичную сумму

9 А. Б. Васильева, В, Ф, Бутузов

242 ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 5

порядка

ряда

(5.43):

Zn(t,

р) = ^ П _ і 2 ( т ) + ^ ; р * ( ^ ( 0 + ПА г(т)).

(5.52)

k = 0

Т е о р е м а

5.2. Найдутся

такие

постоянные

р 0

0 и

с >

что при

О <

p ^

р 0 решение

z(t,

р)

задачи

(5.36),

(5.41)

существует,

единственно,

удовлетворяет

нера

венству

\z(t,

\a)—Z„(t,

p ) | < c p n + 1

при

0 < г < 7 \

(5.53)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование и единственность

решения

вытекают

из линейности

уравнения

(5.36). Для

доказательства (5.53) положим и (t,

\i) = z(t,

p)—Zn (t,

p).

Подставляя

уравнение

(5.36) z — u-\-Zn,

получим

урав

нение

относительно

и (t,

р)

= -A(t)u

+ $K(t,

s) и (s, [i)ds + H(t,

p),

(5.54)

где

H(t,

yî) = -A(t)Zn{tt

p) +

§K(t,

s)Zn(s,

VL)]ds +

B(t)-V.dZn^'

^ .

Подставляя

H(t,

выражение

(5.52) для Zn(t,

p),

делая

замену

г = тр, s = o p в соответствующих слагаемых

и используя

уравнения

для

ПА г(т)

(k = —\,

О,

п)

и zk(t)

(k = 0,

п),

нетрудно

получить

оценку

\H{t, р ) | < с р " + 1

при

0 < / < 7 \

0 < р < р 0 .

(5.55)

Начальное

условие

для

u(t,

р),

очевидно,

имеет

вид

и (О, р) = ( р и + 2 а „ + 1 + . . . )/р,

откуда

| ц ( 0 ,

р ) | < с р п

+ 1

при

0 < р < р 0 .

(5.56)

Решение

уравнения

(5.54)

можно

записать

виде

u(t,

р) = Ф(/ ,

р)ы(0,

р ) + Г - і ф ( г ,

р ) Я ( 5 ,

p)ds,

(5.57)

§ 1 8 ]

ОСОБЕННОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО

ПОВЕДЕНИЯ

243

где Ф (t,

p)— решение

однородного

уравнения

] П Ф

= - Л ( 0 Ф ( г ,

s, \і) +

^К(і,р)Ф(р,

tfdp

( 0 < s < ; < T ) ,

удовлетворяющее

условию

0(s,

s, p ) = l .

п. 2

§ 17

для

Ф (t,

s, р) было получено неравенство

|Ф(г,

р ) | < с

p+ e , p ( _ * J L 2 L > ) ] ,

(

5 5 8 )

0 < s < ? < 7 \ 0 < р < р 0 .

Из (5.57)

в силу неравенств (5.55), (5.56), (5.58) непо

средственно

следует

\u(t,

р ) | < ф " + 1

при

0 < ^ < T ,

0 < р < р 0

что доказывает (5.53) и тем самым теорему

5.2.

3. Основная

задача.

Вернемся

теперь к

основной за

даче (5.36), (5.35). Для решения ее воспользуемся по

строенной в

п. 2 асимптотикой решения

вспомогательной

задачи (5.36), (5.41). Обозначим это решение через z (t,

а, р).

Нам

нужно

подобрать

так, чтобы z (t,

а,

р)

удовлетво

ряло условию (5.35). Таким образом, получаем относи

тельно а

уравнение

г{Т,

a, p) =

z°.

(5.59)

Будем

искать

решение

этого

уравнения в

виде

ряда

fl = ö _ 1 + p a 0 + . . . - f p * + 1 ö f t + • • •

Для

определения

коэффициентов

а_и

а0, . . .

подставим

в (5.59) вместо точного решения z(T,

а,

р)

его асимпто

тическое разложение (5.43), т. е. применим такой же

прием, как при решении краевых задач в §§ 13, 15, 16.

Так

как в точке

t = Т

все пограничные

функции имеют

оценку

I Ukz

(Т/р) К

с ехр (— хТ/ц)

( 0 < и < Л ( 0 ) ) , то

уравнение (5.59)

принимает

вид

z„ (Т) + Р?! (Т) + . . . + ц*2* (Т) + . . . = z°.

Приравнивая коэффициенты	при одинаковых степенях р,
в обеих частях равенства и	учитывая	зависимость	zh(T)
от aÄ_! (см. (5.47) и (5.51)),	получим	относительно	а_и

2 4 4 ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 5

аа, . . .

линейные

уравнения

z0 (Г)

а . ,

(T)

z°,

( 5 . 6 0 )

) f l

- i

+ z*(7,) = 0

( А = 1 , 2 , . . . ) .

( 5 . 6 1 )

Пусть

#(7 \ 0)Ф0.

Тогда

уравнения

( 5 . 6 0 ) ,

( 5 . 6 1 )

одно

* (

' )

= ^

значно разрешимы относительно а_и

ak_x.

Обозначим эти

решения ak

(k = — 1, 0 ,

1, . . . ) и

построим

функцию

Zn(t,

L I ) ,

определяемую

формулой

( 5 . 5 2 ) ,

при а_1

— о. _ I, . . . , (Хп — йп.

Т е о р е м а

5 . 3 . Если

R(T,

) ^

, mo найдутся

такие

постоянные

\л0 > 0 и

с > 0 , что при 0 <

LI ^

L I 0

сущест

вует единственное

решение

Z(t,

ц) задачи

( 5 . 3 6 ) ,

( 5 . 3 5 )

имеет

место

неравенство

\Z(t,

\i)—Zn(t,

| І ) К Ф В + 1

при

0 < ^ < 7 \

( 5 . 6 2 )

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Убедимся

вначале,

что для

производной

от

решения

z(t,

а, ц)

задачи

( 5 . 3 6 ) ,

( 5 . 4 1 )

по параметру

а при O ^ z ^ T ,

0 <

^ L

I 0

справедливо

асимптотическое

представление

Щ*и!1

К +

±Щ^+™!£

+ 0(р).

( 5 . 6 3 )

да

да 1

ц.

да

ч г ѵ

Действительно,

уравнение

начальное

условие для

^получаются дифференцированием уравнения ( 5 . 3 6 ) и

начального условия ( 5 . 4 1 ) по параметру а:

t = 0

Это уравнение того же типа, что исходное уравнение (5.36). Строя асимптотику его решения так же, как в п. 2 для самой задачи (5.36), (5 . 4 1 ) , получим (5.63), причем

дг0	R (/, 0)	дП,г	<!сехр ( — X Z V L I )
да	А (0)	да	<!сехр ( — X Z V L I )

( 0 < х < Л ( 0 ) , / = — 1 , 0 ) .

Отсюда и из (5.63) следует д г ^ ' д а ' ^ =

+ Q О1)-

§ 1 8 ]

ОСОБЕННОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ

245

Следовательно,

—

' ^'фО

при достаточно малых р .

Рассмотрим

теперь

решение

z(t,

а_1У

р)

уравнения

(5.36) с

начальным условием z(0, а_11

р ) = а _ ! / р .

Для

него при t = Т

имеем z (T,a_j,p) =

z0(T)

+ О (p) =

z° - f 0 (p),

поскольку

a_1

было

выбрано

так, что

z0(T)

= z°.

Таким

образом,

решение

z(t,

а_х , р) удовлетворяет условию

(5.35) с

точностью 0 ( р ) . В

силу д г ^ Т

^ '

фО

найдется,

и притом единственное,

значение a = a(p) = a_; -f-0(p) та

кое,

что

будет

справедливо

равенство

z (T, a (p),

p) = z°.

Это

означает,

что

решение

Z(t,

р)

уравнения

(5.36)

начальным

условием

Z(0,

р) = а(р)/р

удовлетворяет

условию

(5.35), т. е. Z(T,

p) = z°. Тем

самым

утвержде

ние

теоремы 5.3

о существовании

и единственности реше

ния

доказано.

Докажем теперь неравенство (5.62). Рассмотрим реше

ние

z(t,

а,

р) при а = (а)п =

а_1-\-

ра0

. . . + р п +

1 а „ .

Для

него

при

t = T

силу

уравнений

(5.60),

(5.61),

где

k=l,

tt-f-1,

имеем

z (T,

(а)„, p) =

(T)+

pz, (T) +

. . . + р " + 1 і „ + а (T)

+ O ( p n + 2 ) = z0 + O ( p n + 2 ) .

Отсюда

силу

д г

а ' ^

ф0

следует

неравенство

| а ( р ) — ( а ) „ | ^ с р " + 2 ,

т.

е. для

а(р) справедливо

асимпто

тическое

представление

а (р) = а_1

ра0 +

• • • +

P n + l ß n +

0 ( р г а + а ) . Из теоремы 5.2 теперь

непосредственно

следует

неравенство (5.62). Теорема

5.3

полностью

доказана.

З а м е ч а н и е .

Важным условием в теореме 5.3

было неравенство

R(T,

0) Ф 0.

Если

R (Г,

0) = 0, то,

рассматривая

два

случая:

K(t,

0) =

и ~R{t,

0 ) ^ 0

при

0 < < < Г ,

можно

показать,

что

либо в асимптотике решения задачи (5.36), (5.35) добавляются погра

ничные члены вида —г П_ь	г (т)	(é > 1), либо наряду			с	такими
р в
членами появляются также	члены	вида —^—^ г-^-і)		(О	(и	тогда
решение имеет полюс по jx на всем сегменте			[0, Г]),	либо (при спе
циальном выборе значения	г°) асимптотика		сохраняет вид			(5.43).

Все эти случаи без труда могут быть подробно разобраны читателем

аналогично случаю R(T,0)

Ф0.

Глава 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

§19. Введение

Вэтой главе будет рассмотрен еще один класс урав нений, для которого имеют место асимптотические явле ния, аналогичные рассмотренным в главах 2—4 для син гулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Это—дифференциально-разностные уравнения вида

y(t) =

F(y(t),

yV-v),

y(t-\i),

p),

(6.1)

где y и F—вектор-функции

размерности

означает

производную-^-. В уравнение (6.1) неизвестная

функ

ция

входит

как

при значении аргумента, равном t,

так

при

значении

аргумента,

равном t — р,

где

вели

чина

называется

отклонением

(в случае

р > 0 — з а п а з

дыванием)

и может

быть как постоянной, так и функцией

от ^ и даже от искомого

решения у. Уравнение

вида

(6.1)

называют

уравнением

с отклоняющимся аргументом

нейт

рального типа (см. [63]).

Будем рассматривать случай, когда запаздывание р

постоянно и является малым параметром. Основная							на
чальная задача для уравнения (6.1)			в	этом случае		заклю
чается в определении непрерывной				при t^O	функции,
удовлетворяющей	при t > р уравнению (6.1) всюду, кроме,
вообще говоря, точек t = k\i		(k = 2, 3,	. . . ), а при		0 ^	t	р
совпадающей с	некоторой	заданной		дифференцируемой
функцией q>(t):
	У І . < / < № = Ф(0-						(6-2)

Сегмент [0, р] называется начальным Множеством, а ср (t) — начальной функцией.

ВВЕДЕНИЕ

247

Наиболее естественным методом решения задачи (6.1), (6.2) является так называемый «.метод шагов», позволяю щий отыскивать решение (в смысле данного выше опре деления) путем последовательного интегрирования диффе ренциальных уравнений без запаздывания. На первом шаге (при р ^ і К 2р), заменяя в правой части уравне ния (6.1) y(t — р) известной функцией <$(t — р), получаем дифференциальное уравнение

y(t)	= F(y(t),		с р ( * - р ) ,	і р ( * - р ) , t,	р)	( р < * < 2 р )
с начальным			условием
			г/(р) = Ф(р).
Обозначив		через у = (рх (t) решение этой начальной задачи
на сегменте			[р, 2р], аналогично получим на втором шаге
(при	2р ^	t	Зр) начальную задачу
y(t)	= F(y(t),		ф х ( / — р ) ,	ФЛ* — p ) , t,	р)	( 2 р < г < 3 р ) ,

#(2р) = Ф і ( 2 р ) .

Продолжая этот процесс, можно определить решение за


дачи	(6.1),	(6.2)		на	некотором промежутке,				который
может	быть		конечным		или		бесконечным в	зависимости
от свойств		правой		части		(6.1). Легко заметить,			что	по
строенное		решение		имеет,			вообще говоря,	при	t =	k\i
(k = l,	2, . . . )		угловые		точки,		т. е. точки, в которых про
изводная решения терпит разрыв первого рода.
Если запаздывание					р	мало по сравнению с длиной				от

резка, на котором нужно определить решение, то приме нение метода шагов становится затруднительным ввиду большого числа шагов, которое обратно пропорционально р. В связи с этим при малом р приобретает большую зна чимость асимптотический метод решения задачи (6.1), (6.2),


использующий	малость р.
При р = 0	уравнение		(6.1) переходит	в	обыкновенное
дифференциальное		уравнение
Ù(t)		= F(y{t),	Vit), y(t), t,	0),	(6.3)

решение которого определяется начальным условием в точке

і/(0) = Ф(0),

(6.4)

и, следовательно, не удовлетворяет, вообще говоря, на чальному условию (6.2). Таким образом, при р = 0, как

248	УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ	[ГЛ. 6
и в случае	системы (3.18) (см. главу 3), происходит по

теря дополнительных условий, что влечет за собой появ ление пограничного слоя.

Асимптотические явления при малых р для уравнений


вида (6.1) и некоторых более общих уравнений										рассмат
ривались	в	работах		А.	Б.	В а с и л ь е в о й				[15,	17],
В. И. Р о ж к о в а			[51,52]		и других		авторов. (Подробную
библиографию		см.	в	[10].)	Оказывается, что				построение
асимптотического			разложения			решения		задачи	(6.1),		(6.2)
по малому	запаздыванию				р можно		провести		в	точности
по той же схеме, что и в					начальной			задаче	для сингу
лярно возмущенной системы дифференциальных										уравнений

(глава 3). Это построение будет проведено в § 20, а оценка остаточного члена дается в § 21.

§ 20. Алгоритм построения асимптотического разложения решения задачи (6.1), (6.2)

Рассмотрим вначале формальное построение, не фор мулируя условий, при которых это построение возможно.

Чтобы применить к задаче (6.1), (6.2) асимптотический метод, рассмотренный в главе 3, запишем (6.1), (6.2) в виде системы

z(t) = F(y(t),		y(t-ii),	z ( ^ - p ) ,		t,	p), y =	z	( p < ^ 7 )
									(6.5)
с начальными		условиями
	2 І о < « ( і		= Ф(0,	УІ 0 <*<ц = Ф(0-					(6-6)
Как и в главе 3, будем искать решение задачи								(6.5),	(6.6)
в виде	(х означает		как z, так		и у)
	x = x(t,		p)-f-ITx(T,		p)	(T=Z7P),			(6.7)
где
x(t,	P ) = X 0 ( 0 +		P M 0 +	. . . + P f		t x f t ( * ) + - . . ,			(6.8)
Пх(т,	p) = П0 х (т) + рПѴе (т) + . . .					+ \ikUkx	(T) -f- . . .		(6.9)

Для оператора запаздывания будем использовать символ [ ]

в том смысле, что для любой функции				v(t) аргумента t
символ	[v(t)\	означает v(t—р),	т. е.	[v{t)]==w{t—р),
а для	функции	w(x) аргумента	т символ	[ш(т)] означает

ш(т—1), т. е.

[W\X)\=W(T—1).

20]

АЛГОРИТМ

ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИКИ

249

Подставляя (6.7) в (6.5), запишем полученные

равен

ства в

виде

z + Tlz = F + TlF,

+ ^ - ц ^ + П г ) ,

(6.10)

где F и TIF определяются

по тому

же

принципу,

что

главе

F = F(y(t,

L I ) ,

[y(t,

) ] ,

(z(t,

Li)], t, Li),

IÏF

= F

( T L I , І І ) 4 - Щ / ( Т ,

L I ) , [ « / ( T U . ,

ii)4-

Пг/"(т, L L ) ] , [ Z ( T I I ,

Li) +

nz(T,

L I ) ] , T L I , L I )

—

—FiViW'

М-)'

|*)]«

[ г ( T L I ,

Li)],

T L I ,

Li).

Подставим в (6.10) вместо x и Tlx ряды (6.8) и (6.9), представляя F и TIF в виде аналогичных рядов по сте пеням i l . Для F получается ряд

F = F 0 4 - f i F 1 4 - . . . 4 - f i * F f t + . . . ,

где

?о =

^(£о (0,

Ро (t)L

0),_

Z 7

, (0 У* (0 + Flyi

(t) yk

(t) +

(t) zk (t) +

(t)

(k=ï,2,

...).

Элементы матриц Fy

(t),

Fly]

(t),

Flzl

(t)

вычисляются в точке

(Po О»

Й>(0»

2o(0. t, 0),

a вектор-функции

_Fft

выра

жаются

определенным

образом

через

y,(t),

z,-(0

(i =

k-l).

Для

TIF

получается

ряд

TIF = n„F

4- LiIIjF 4- . . . 4- u*IIA F 4-

. . . ,

где

n0 F =

F (Й, (0) 4- П0г/ (т),

(0) +

[П0г/ (т)], 70 (0) 4-

+ [П0 г(т)],

0 ) - F ( # 0 ( 0 ) ,

У0(0),

(0), 0,

0),

nA F =

F у (т) ПАг/ (т) + Fm

(т) [П,у (т)]

+ F [ Z ] ( T ) [ n f t z ( T ) ] + G F T ( T )

( * = 1 ,

. . . ) .

Элементы матриц Fy

(т), F [

M (т), F t 2 ]

(т) вычисляются в точке

(y0(0)

+ U0y(x), уа(0)+[Поу(х)],

го (0) +

[По г(т)],

0, 0),

а вектор-функции Gf t (x) выражаются определенным обра зом через П,г/(т), [П,г/(т)], [П>(т)] (t = 0, 1, k— 1).

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2825 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ