книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

40

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ.

3

о

получении равномерного на всем сегменте

0 <Г t ^

Т

приближения как для y(t,

р), так

и для z(t, р),

и

притом

с

любой

точностью. В § 4

главы

1 говорилось

в

общих

ние равномерного относительно t£ [0, Т]

асимптотического

приближения

к

z(t,

р),

y(t,

р),

имеющего

точность

0 ( р " + 1 ) , где

п—любое

целое

число,

и

доказательству

справедливости

указанной

оценки.

Это

будет

сделано

в §§ 9—11. Предварительно, в

п. 1

и

2

данного пара­

• § - = / ( * .

<• I*).

(3.1)

и рассмотрим для

нее

начальную задачу

х(0,

ц) = х°.

(3.2)

Пусть

функция

f(x,

t,

р) дифференцируема

некоторое

число

раз

в

области

З с ( * ) | Ю ;

0 < г < Г ;

0 < p < d ,

(3.3)

где

x(t)—решение

задачи

%-

= f(x,

t, 0),

3ё(0) =

*°,

(3.4)

которое,

по

предположению,

существует

на

O s ^ ^ T ,

Ь > 0

и d >

0—некоторые

постоянные. Требуемый

поря­

док

дифференцируемости

функции f(x,

t,

р)

зависит от

ВВЕДЕНИЕ

41

Будем искать решение задачи (3.1),

(3.2)

в

виде

ряда

по

степеням

р,:

x(t,

\i) = x0(t)

+

\ix-1(t)+

... +\ikxk(t)+

...

(3.5)

Все дальнейшие операции с этим рядом

будут

проделы-

ваться чисто

формально, на_это нужно смотреть просто

как на правило определения xk(t).

Подставляя

(3.5) в (3.1),

раскладывая

правую часть в ряд Тейлора с центром

раз­

ложения в точке (x0(t),

t,

0) и собирая

члены

с

одина­

ковыми степенями ц.,

получим

-jL

(х0 {t)+ ііхг

(0 + . . . +

(0 + • - . )

=

/ (*о (t),

t,

0)

+

+

V-iL(0ч('H

h(')l

+

• •. +

n*[L(t)ч(t)+fk (t)]

+

(3.6)

где элементы

матрицы

fxV)~

(J^7^

и

компоненты

век­

тора M 0 =

-gj7

вычисляются в

точке

(x0(t),

t,

0),

а

век­

торы fk (t) выражаются

определенным образом через ~xi (t)

(i = 0, 1,

k-l).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \і

в обеих частях

равенства

(3.6),

получим уравнения

для

определения

х0

(t), \

(t),

...,

xk

(t), ...

•W

= fiXo.

0),

(3.7)

^ - = Шхк + Ш-

(3-8)

х0(0)

= х\

(3.9)

xk(0)

= 0

(k=\,

2,

. . . ) .

(3.10)

Задача

(3.7), (3.9)

для

определения

х0 {t),

очевидно,

совпадает

с задачей

(3.4),

т. е. x0(t)

=

x(t),

а системы

42

АСИМПТОТИКА

РЕШЕНИЯ

НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

(3.8) для

xk(t) (k=\,

2, . . . )

являются линейными сис­

ловиями

(3.10) существуют и единственны на

сегменте

О ^ ^ ^ Т .

Таким образом, можно определить

коэффи­

вообще говоря, сходящимся, но можно показать,

что

он

будет

асимптотическим

разложением решения

x(t,

LA) за­

дачи

(3.1),

(3.2),

т. е.

при

достаточно

малых

ц

( О ^ ц ^

^ L i 0

^ d )

справедливо

неравенство

x{t,

ц) — 2

И-***(0

C L I " + 1

при

0 < / < 7 ,

ft=0

где с > 0 — постоянная, не

зависящая

от

t£[0,

Т]

и

М<€ [0, Li0] (но

зависящая, вообще говоря, от

п).

Для доказательства этого неравенства подставим в (3.1),

п

(3.2)

x(t,

L

I

)

= 2

H-***(0 + A(tf, М-)- Получим

относитель

à(t,

L I )

начальную задачу, которую запишем в

виде

^

= Jx(t)à

+

G(A,

t, Li),

А(0,

L I ) =

0,

где

G (A,

t,

u.) =

/fÊfc=0 |i*3ëA(0 + A,

*.

A -

У, L L * X Ä

( ^ ) .

Методом последовательных

приближений

fe = 0

і і ) | | ^

отсюда нетрудно получить требуемую оценку ||А(/,

^ с ц п

+ 1 . Мы

не

будем

приводить здесь

детального

дока­

Ar

\x^ = a(t)x + b(t),

х(0, |і) = х°

( 0 < < < Г ) , (3.11)

[*° + гЩ +

^ ( 4 )

' , . о +

. . . ] « p ( J - | e ( S ) d s ) ] . (3-14)

Заметим теперь, что ряд (3.13) можно получить также

другим

способом,

аналогично тому,

как был построен

ряд

(3.5)

в

регулярном

случае.

Для

этого

подставим

в

(3.11)

вместо X ряд

X,

(t) + vixl(t)+...+

\L*xk ( t ) + . . .

(3.15)

и

приравняем

коэффициенты

при

одинаковых

степенях р

в

обеих

частях равенства

d

,-

-hpxj-t-..

Получим

=

a(t)(x0

+

\ix1+

.. . +

p*xA + .. .) + b{t).

0 = a(t)x0

+

b(t),

= a(t)xk

( £ = 1 , 2 , . . . )

шения x(t,

р) задачи (3.11) есть часть, аналогичная в ка­

кой-то мере ряду

(3.5) для регулярно возмущенного слу­

чая,

однако,

как

нетрудно видеть, члены этой части

не удовлетворяют

таким

же дополнительным

условиям,

как

члены

ряда

(3.5) в регулярном случае, так как,

вообще говоря,

х0ф)фхй,

хк(0)фО

{k=\, 2,

. . . ) . Сле­

ния

для

решения

x(t,

р)

по

крайней

мере вблизи

точки

* =

0.

x(t,

Но в

разложении

р)

есть также вторая

часть —

ряд

(3.14). Будем

считать

а ( / ) < ( ) ,

чтобы точка

покоя

х = — b(t)/a(t) присоединенной системы (в нашем

примере

это

одно

уравнение)

ВВЕДЕНИЕ

45

была асимптотически устойчивой (см. требование IV тео­

ремы 2.3). Тогда члены ряда (3.14) будут быстро

затухать

е х рС^"Іа(s) d s

)

= е х

р

(Іа

di

) =

=

ехр 1 J a(0) +

pa'(0)g + 4-p2 a"(0) g» +

40

= ехр ( a ( 0 ) г + pa' (0) \

+

p2a" (0) \

+

• •

=

exp (a (0) T ) { 1 +

[ pa' (0)^ + p*a" (0)

+ . . . j

+• pa' ( 0 ) ^ - + p

2

a " ( 0 ) ^

+

l

7 '

степенного

ряда

по р с коэффициентами, зависящими от т

(т = ^/р). Используем

для

этого ряда

обозначение,

приня­

тое в

§ 4

главы

1, (см. (1.26)),

П0 (т) +

р П 1 ( т ) + . . . + р * П й

( т ) + . . . .

(3.16)

В данном

примере

П0 (т)

=

,

Ь(0)

ехр (а (0) т),

аф)

Пх(т)

=

Ь(0)\

а'(0)-

ехр (й(0)т),.

а(0)У

а(0)

\aJt=oj

Нетрудно

проверить,

что пограничные члены (или по­

граничные

функции)

Ик

(т) обладают всеми

указанными

в § 4 свойствами. В силу

a (0) < 0 они экспоненциально

затухают при

т — > - о о .

Далее, коэффициенты

при

одина­

ковых

степенях

р

в

(3.13)

и (3.16) совместно

уже

удов-

46

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

летворяют

при t — 0 таким же начальным условиям, как

в регулярном случае. Действительно,

нительных

условий.

_

х0

(t) —

=

Из

(3.12)

следует, что

вырожденное

решение

— b (t)/a (t) совместно с главным членом (х° -\- Ь (0)/а (0)) х

X ехр

j " a (s) ds^J

ряда

(3.14)

дает

уже

равноме

относительно

t(t[0,

Т]

приближение к

решению x(t,

р)

(равномерную

асимптотику) с точностью

порядка

р. Так

как П0 (т), очевидно, отличается

на величину порядка

р

от

(х9

+ Ь(0)/а(0))

ехр

^r^a(s)dsy

то

[х0

(t) +

П0

(т)]

также

дает

равномерную

асимптотику

решения

x(t,

р)

с

точностью

порядка

р. Нетрудно проверить далее,

что

если взять

в

(3.13)

и

(3.16) не

только

главные

члены,

а частичные суммы порядка п, то получим

равномерную

асимптотику

решения с точностью порядка

р " + 1 .

x(t,

Итак, асимптотическое

разложение

решения

р)

задачи

(3.11)

состоит

из

двух

степенных

рядов

по

р

с коэффициентами, зависящими соответственно от t

и от т,

X (t, р) = х0

(t)

+ рх, (0 + . . . + П0

(т)+ рП, (т) + . . . ,

(3.17)

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИКИ

47

\i~

= F(z, y,t),

^ = f(z,y,t),

3.18)

z(0,

n) = z\

У(0,Ѵ)

= У°.

(3.19)

По-прежнему

z и F—М-мерные,

y и

f—m-мерные

век­

тор-функции.

Требования

I I , I I I и

V

теоремы

2.3

остаются

без

из­

менений.

Обозначим

их

снова

I I , I I I , V.

Требование

IV в

теореме 2.3

заключалось в том, что

изолированная

точка

покоя

г = ц>(у,

t)

присоединенной

системы

dz

у, t)

(у,

t — параметры),

-j£=F(z,

должна

быть

асимптотически

устойчивой

равномерно

от­

носительно D.

Построение

асимптотики

решения

будем

вести при конкретном требовании, обеспечивающем

асимп­

тотическую

устойчивость,

а именно,

при

условии

устой­

чивости

по

первому

приближению.

Обозначим

через

Х;(у,

t)(i=l,

2 , . . . , M) собственные

значения матрицы

Fz(q(y,

t),

у,

t)=

\jg)z=<p(y

n

- a через À,-(0 —собствен­

ные значения

матрицы Fz(t)^Fz(y(y(t),

t), y (t),

t),

т. e.

ki(t)

= Ki(y(t),

t),

где y(t),

z(t)

= <p (y(t),t)—решение

вы­

рожденной

задачи

0 = F(7,

y,

t),

^r

= f(z,yy

t),

y~(0) = y».

(3.20)

48

АСИМПТОТИКА

РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

Напомним,

что X((t)

находятся

из

характеристического

уравнения

Det(Fz(t)-XEJ

= 0.

(3.21)

(Здесь

и в дальнейшем Ем — единичная

(М х/И)-матрица.)

IV.

Пусть

R e \ - ( 0 < 0

при

0 < г < 7 \

і = 1 , 2

M.

(3.22)

Будем

называть

(3.22)

условием

устойчивости.

При

выполнении этого условия в силу непрерывности

Хі

(у, t),

что обеспечивается непрерывностью^ (ср (у, t), у,

t),

существует

область

D1 = {{y,

t):

\\у — у

(t) ||

^

rj,

г| >

0—некоторая постоянная; 0 < / < Г } Е О

такая, что

Re X; {у,J)

< —а

< О

при

(у,

t)

Ç Д ,

» = 1 , 2

М.

(а

>

0 — некоторая

постоянная).

Отсюда

следует,

что

2 = ф(у, t)

является

асимптотически

устойчивой

точкой

покоя

присоединенной

системы равномерно

относительно

Dt

(т. е. требование

IV теоремы

2.3

будет

выполнено).

Доказательство этого

утверждения

дается в

замечании 3

x(t, |А) = ~x(t, ц) + Ш ( т , (л)

(т = ф ) ,

(3.24)

где

~x(t, |і) = * 0 (0 + (**і(0 +

... +

likxk(t)+

(3.25)

Пх (т, у) =

П0 х (т)+ Ц П ^ (т) +

. . . +

\ikïlkx

(т) + . . . .

(3.26)

Здесь и в

дальнейшем

под х

понимается

у и z

в сово­

купности,

т. е. если выписывается

некоторое

соотноше­

ние для X,

то это значит, что имеют место два в

точности

таких же

соотношения

для у

vi г. Кроме

того, в

отличие

от (3.17) будем обозначать пограничные

функции

Hkx (т)

АЛГОРИТМ

ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИКИ

49

появятся îlkF,

Ukf),

существенных лишь в

малой

окрест­

ности начальной точки, а далее

быстро

затухающих с

ростом т. Символ П А

при каждом

k можно

интерпрети­

ровать

так же, как

некоторый

оператор,

применение

которого к любой функции (х, F, /,) производится по

вполне

определенному

правилу,

которое и будет

указано

в данном пункте.

Подставляя

(3.24)

в (3.18) и умножая для симметрии

второе уравнение на

р., получим

_

_

_

(3.27)

F(7+Uz,

y + Uy,

t) = F{z(t,

р),

y(t,

t) +

+ [F(z(Tp,

р) + Ш ( т , P), y (тр, уі) + Пу(х,

p), тр) —

—F(i(xp,,

p),

у(тц,

p), тр,)] =

F + ïlF.

Подставляя

вместо

x

и Ux

разложения

(3.25)

и

(3.26),

представим

далее

F

и TIF в

виде рядов

по степеням р:

Fs=F(z(t,

р),

y(t,

р), t) =

=F

(F0

(0 + |i F, ( / ) + . . . +

ц*^/) -b . . . io

( t) +

+

(<)+•••.

0 = f

(zo(').

0 +

+ P [ F Z ( 0 ^ ( 0 + ^ ( 0

u

(*)] +

•••

• • • +

Hf e [^г

(0

zft

(0 + Fy(t)

yk

(t) + FA (0] +

.. •

^

=

F 0 + i i 7 1

+ . . . + i i * F I K + . . . ,

(3.28)

где элементы

матриц

Fz(t)=

[~^fj

и

^у^~\~ду7')

вычисляются в точке (z0(t),

y0{t),

t),

а

векторы

F_k (t)

выражаются

определенным

образом

через

zt(t),

y^t)