Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 282 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

10			О С Н О В Н Ы Е понятия				[гл. 1
заданы		дополнительные условия для			(1.4),	решение	(1.5)
может		сильно отличаться от		решения	(1.4).
С подобного рода явлением мы встречаемся не только
при	рассмотрении		дифференциальной		системы (1.4),		но и
при	исследовании так называемых дифференциально-разно
стных		уравнений	с малым	запаздыванием.		Простейшим

примером такого уравнения является разностное уравнение z(t)=F(z(t-\i), t). (1.6)

Аргумент t может изменяться как непрерывно, так и ди скретно. Будем считать для определенности, что t прини мает дискретный ряд значений: 0, \л, 2ц, . . . Тогда, за давая при ^ = 0 начальное условие

			z(0) = z\						(1.7)
последовательно определим из (1.6) значения z(k[i)									(k—\,
2, . . .),	а	именно
	z(li)	= F(z», ii),		z(2n)	=	F(z(n),		. . .	(1.8)
Если	в	(1.6)	положить	\|я =	0,	то получится конечное
уравнение
			z{t) =	F{z(t),t),					(1.9)
из которого г (t)			определяется		неявно		(при	выполнении
соответствующих условий) как функция							t, и эта функция,
вообще	говоря,		условию	(1.7)	не	удовлетворяет.			Таким

образом, если ставить вопрос о том, служит ли решение (1.9) приближением для решения задачи (1.6), (1.7), то можно априори высказать совершенно те же соображения, что были сделаны по поводу (1.4) и (1.5).


Причина отмеченного несоответствия				в	обоих	случаях
одна и та же: при	ц = 0	меняется	тип	уравнения;			урав
нение вырождается	в том	смысле,	что	его	решение		опре
деляется меньшим	числом	дополнительных			условий,		чем
решение исходного (для (1.9), в частности,					вообще ника
кого дополнительного условия не ставится—это						конечное

уравнение). По этой причине для систем (1.5)		и (1.9)
многие авторы употребляют название вырожденная		система,
которого мы также	будем придерживаться.
Система 1.1) по	отношению к системе ( (1.3)	обычно

называется возмущенной. Изменение, которое вносит в урав нение наличие отличного от нуля параметра \л, называется


			П О Г Р А Н И Ч Н Ы Й С Л О Й						11
возмущением.		Эту же терминологию можно принять и для
(1.4) , (1.5) и		(1.6), (1.9), однако в случае (1.1),						(1.3)	бу
дем говорить,		что	возмущение			является регулярным,			а
в случае	(1.4), (1.5)		и	(1.6),	(1.9) возмущение			является
сингулярным.		Другими словами, если при наличии						отлич
ного от	нуля	возмущения		тип	системы		меняется	по срав
нению с	невозмущенной системой					таким	образом,	что	для

определения решения возмущенной системы требуется боль

шее число	дополнительных	условий,	чем для определения
решения	невозмущенной	системы,	то возмущение будем
называть	сингулярным.

§ 3. Особенности асимптотического представления решения

сингулярно возмущенной системы. Пограничный слой

В настоящем параграфе мы для определенности будем говорить о сингулярно возмущенной системе (1.4).

Несмотря на отмеченные выше трудности, попытаемся все же воспользоваться решением (1.5) в целях получения асимптотического приближения для решения (1.4), удов летворяющего некоторым дополнительным условиям (пока не конкретизируем, каким именно). При этом мы сразу сталкиваемся с необходимостью решить следующие два вопроса:

1. При построении решения (1.5) сначала нужно раз решить первое из уравнений (1.5) относительно г. Это

уравнение	нелинейное	и	поэтому	может	иметь несколько
решений вида z = q>(y, t).			Какое	из них следует		выбрать?
2. Если	этот выбор	каким-то		образом	сделан	(напри

мер, в линейном случае имеется вообще только одна

возможность), то, подставив z = q>(y, t) во второе						уравнение
(1.5) ,	нужно	для однозначного определения			его	решения
задать	для у	дополнительные	условия.	Выше уже			было
сказано, что		всем поставленным для (1.4)		дополнительным
условиям удовлетворить таким образом нельзя.						Спраши
вается, какие же из дополнительных условий,						заданных
для (1.4), надо оставить для			определения		решения		(1.5)
и какие отбросить?
Заметим,		что для регулярно	возмущенного случая				(1.1)

ни того, ни другого вопроса не возникает.

Обратим теперь внимание на другую особенность за дачи о сингулярных возмущениях. Для большей вырази-

ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

[гл. 1

тельности рассмотрим пример, где указанные выше два вопроса решать не приходится, а именно, рассмотрим начальную задачу для простейшего линейного уравнения

az + b,

z{tB,

\i) =

(1.10)

где а и b—постоянные

коэффициенты.

Первый

вопрос

здесь

отпадает

в силу

линейности

уравнения,

а второй —

в силу того, что в этом случае (1.5) содержит

лишь пер

вое (конечное) уравнение. Это уравнение имеет вид

Отсюда

0 = а г + Ь.

(1-11)

ъ_

z = •

(1.12)

Непосредственное

интегрирование

(1.10)

дает

z(t,

| i ) =

z ° + -

ехр

a(t — t0)

(1.13)

Из этого выражения

видно,

что

z = — bja

будет

асимп

тотическим

приближением

для z(t,

р) только при выпол

нении некоторых специальных

требований. Именно, чтобы z

было

асимптотическим

приближением для

z {t,

р)

с п р а в а

от

t0,

нужно,

чтобы было а < 0 и р —>-{-0

(рис.

1),

либо

а > 0

р —>-—0.

В любом

из этих

случаев

z(t,

ц)—z—>0

Рис. 1.

А—начальная

точка

с ко

при

р—*0 для

t > t0.

самой точке t0 это не спра

ординатами

(t =

t0,

2 = г°),

1—

график

решения

z =

z(t,

ц)

урав

ведливо,

что

подтверж

нения

(1.10)

для

случая

а <

дает сказанное в § 2. Если

ц > 0,

2—график

вырожденного

а > 0 и р. —>- + 0, либо а < 0

решения — прямая

z = 2 = — bja.

и р.—>•—0,

то

служит

асимптотическим

приближением для z (t,

р) с л е в а от

t0,

но справа от t0

ничего

общего с z (t, р) не имеет, так как

при этих условиях

z(t,

р.)—* оо

при

р.—»-0 для

t >

•

Если

же р —• 0 произвольным образом, то z (t,

р) ни к г,

ни к какому-либо

другому

пределу

не

стремится.

Ничего

подобного

для

регулярного

случая (1.1)

не

наблюдается. Решение

задачи

(1.3), (1.2) является

асимп-


§ 3]	П О Г Р А Н И Ч Н Ы Й слой			13
тотическим приближением к решению задачи			(1.1), (1.2)
при стремлении ц к нулю		произвольным образом,		и ни
каких	специальных условий на функцию f (х, t, \і) (по
добных	условию на знак а в (1-.10)) налагать не требуется.
Достаточно, чтобы / (х, t,		ц) удовлетворяла	лишь	неко

торым требованиям гладкости, например, таким, которые отмечены в начале § 2.

Итак, пример (1.10) показывает, что решение невоз мущенной системы (1.5) может служить асимптотическим приближением для (1.4) лишь при выполнении некоторых специальных требований, которые в частном случае (1.10) сводятся к условиям знакоопределенности а и односторон него стремления \і к нулю.

Всюду	в дальнейшем мы будем	считать, что в (1.4)
\і —>• + 0,	и, так как только с таким предельным переходом
придется	иметь дело, будем опускать	знак «+» и писать

ПрОСТО (Л —»- 0.

Как оказывается, специальные требования на правые части (1.4) существенно зависят от характера тех допол нительных условий, которыми определено решение (1.4). Эта зависимость также будет выяснена в следующих гла вах книги.

А пока проследим в какой-то мере за характером этой зависимости опять-таки на одном сравнительно простом линейном примере. Рассмотрим систему двух уравнений с постоянными коэффициентами

dz		dz
\*>-âï = a11z1	+ a12z2	+ b1,	[	i ^ = a2 1 21 + a2 2 z2 + è2 . (1.14)
Поставим начальную		задачу	(пусть для простоты t0(1=.150)
гДО, n) = zï,			z,(0, p) = zl
Общее решение	системы (1.14)			имеет вид
				(1.16)

Здесь Ях, л-2 —корни характеристического уравнения, от вечающего (1.14), которые для определенности считаем простыми; aik—некоторые определенные постоянные, не зависящие от \і, поскольку ц может входить только в ком-

14	ОСНОВНЫЕ	п о н я т и я	[гл. 1
бинации — ; гъ	z2—частное	решение (1.14), в	качестве ко-
Iх
торого возьмем	решение вырожденной системы (1.5), от

вечающей (1.14) и представляющей собой систему двух

линейных алгебраических уравнений; сх ,					с2 — произволь
ные постоянные.
	Чтобы удовлетворить поставленным начальным усло
виям (1.15), постоянные сх				и с2 нужно	определить из
уравнений
	г і —с іа и~г"с 2а і2~Ь z i>			2j = ct a2 1 + с 2 а 2 2		+ z 2 .
Отсюда видно, что cx			и c2 от	\a не зависят.		Подставляя
их	в (1.16),	нетрудно	убедиться, что если
		R e ^ < 0 ,		R e X 2 < 0 ,		(1.17)
то	при / > 0	решение	задачи	(1.14), (1.15)	действительно

стремится к решению вырожденной системы. Условие (1.17) на действительные части корней характеристического урав нения является обобщением условия на знак а, получен ного при рассмотрении простейшего примера (1.10).

Если R e Â . 1 > 0					, R e À . 2 > 0 ,		то стремление		решения		за
дачи	(1.14), (1.15)				к решению вырожденной системы					будет
иметь	место для			t < 0.
Если же действительные части корней характеристи
ческого уравнения имеют разные знаки,
					ReÀj <	0,	R e b 2 > 0			(1.18)
(заметим,		что	в	данном		двумерном		случае это все		равно,
что A,j <		0, Л,2	>	0), то в		решении		начальной	задачи		не

будет наблюдаться предельного перехода к решению вы рожденной системы ни справа, ни слева от £ = 0 (не счи тая того специального случая, когда zj и г\ таковы, что одна из экспонент пропадает, т. е. либо сх , либо с2 обра щается в нуль). Однако если задать не начальные усло вия (1.15), а определить решение (1.14) краевыми условиями

Z l ( 0 , ц) = 2», 2,(1, n) = z°, (1.19)

то нетрудно видеть, что на интервале 0 < / < 1 это ре шение при |д,—>-0 будет стремиться к решению вырож денной системы, причем не требуется специально выби рать г\ и г\. Действительно, подставляя (1.16) в (1.19),

П О Г Р А Н И Ч Н Ы Й слой	15
имеем
z\ — C i - { - с 2 а 1 2 -f- Zj,
zî = Cia„exp ( ^ ) + с 2 а 2 2 е х р	(^f)+z.
Отсюда

где ß! = 2i—zl f ß 2 = z^—z2, а через 0((x) здесь и в даль нейшем обозначается величина, имеющая порядок малости

не ниже ц. Поэтому решение задачи (1.14),				(1.19)	имеет
вид
M l + O G i ) ) е х р ( ^ ) +
	+ g	ß2 (1 + О M ) ехр ( hStzlTj + г,,
z*(U ^ ) = ß i \| - ; ( l +		0(n))exp	( ^ ) +
	+ ß 2 ( l + 0 ( t x ) ) e x p ( ^ p i ) ) + z2 ,
и, действительно, при 0 < t < 1 стремится к решениюz,, z2
вырожденной	системы.
Итак, требования, обеспечивающие близость решения
системы (1.14) к решению вырожденной системы,					дейст
вительно связаны с видом дополнительных				условий, ко
торыми определено решение (1.14).
Рассмотренный пример дает, кроме того, возможность
проследить за	поведением		решения (1.14) в	окрестности

точек, в которых заданы дополнительные условия для (1.14) , теряющиеся при вырождении.

Обратимся к решению (1.16) начальной задачи (1.14),

(1.15) , считая	выполненным	условие	(1.17). Предельный
переход
lim	Zj^it, [i) = z:	lim z2(t,	\i) = z,
	V	M-0
		M-0

16	О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я

[гл. 1

как уже говорилось,	имеет		место	для	t > 0.	Обратим
' теперь внимание на	то,	что	этот	предельный		переход
равномерным не является.		Вблизи		/ = 0	появляется зона,

в которой, как бы мало ни было \і, решение сильно от личается от вырожденного, что, собственно говоря, и ожи далось с самого начала. Наличие такой зоны обнаружи


вается также		и на простейшем примере (1.10) (см. рис. 1).
В решении краевой задачи (1.20) также					обнаруживается
подобного рода явление, по в этом случае					зона, в	которой
решение	исходной системы		сильно отличается от			вырож
денного,	возникает как		в	окрестности	^ = 0,	так и
в окрестности		t= 1.
Явление,		заключающееся		в том, что при		наличии

сингулярного возмущения могут возникать зоны, в кото рых решение исходной (возмущенной) системы значительно отличается от решения вырожденной системы при сколь

угодно малых		получило название явления		пограничного
слоя.	Сами эти зоны называются зонами		пограничного слоя,
или	областями	пограничного слоя, или	просто		погранич
ным	слоем.
Термин «пограничный слой» заимствован				из	гидроди

намики. Система, описывающая вязкую жидкость, по отношению к системе, описывающей идеальную жидкость, представляет собой как раз пример сингулярно возмущен ной системы. В гидродинамике давно уже было замечено, что уравнения идеальной жидкости даже в случае малой вязкости не пригодны для описания процесса, например, вблизи границы обтекаемого тела. Эту область и назвали в гидродинамике пограничным слоем. С точки зрения математики причина этого явления в гидродинамике со стоит опять-таки в том, что решение уравнений идеальной жидкости не может удовлетворить граничным условиям, имеющим место для уравнений вязкой жидкости.

Рассмотренный линейный пример (1.14) демонстрирует не только наличие пограничного слоя, но и структуру решения в этой области. Мы видим, что разность между решениями исходной и вырожденной систем носит экспо ненциальный характер. Входящие в (1.16) или (1.20) экспоненты как бы осуществляют поправку к вырожден ному решению, давая возможность удовлетворить допол нительным условиям, чего нельзя добиться, используя только решение вырожденной системы, и, выполнив свою

§ 4] АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 17

роль в окрестности соответствующих начальных или гра ничных точек, по мере удаления от них эти экспоненты очень быстро затухают.

Оказывается, закономерность, наблюдаемая в простом линейном случае (1.14), имеет весьма общий смысл: пове


дение	решения	сингулярно	возмущенной	системы		в погра
ничном	слое	описывается	экспоненциально		затухающими
функциями для весьма широкого класса				случаев.		Изучение

этого класса и представляет собой основную цель настоя щей книги.

§ 4. Основные моменты исследования асимптотики

решения начальной	задачи
Обратимся к общему		случаю	(1.4).	Поставим	началь
ную задачу
z(t0,	ц) =	г°, y(t0,	ц,) =	*Л	(1.21)

Эта задача, как наиболее простая, была изучена с точки зрения построения асимптотического приближения раньше других. Первым вопросом, подлежащим исследованию, был вопрос о предельном переходе к решению вырожден

ной	системы	(1.5).	Наиболее полные	результаты в этом
направлении		были получены в работах А. Н.			Т и х о н о
в а	[54] и	И. С.	Г р а д ш т е й н а	[31].	Результаты

А. Н. Тихонова будут изложены в главе 2 настоящей книги.

При рассмотрении предельного перехода от решения задачи (1.4), (1.21) к (1.5) нужно ответить на два вопроса, поставленные в начале § 3, т. е. на вопрос о выборе ре шения уравнения F (z, у, t) — 0 и на вопрос о задании начальных данных для (1.5). Кроме того, как мы видели, требуется еще наложить на правые части (1.4) некоторые специальные условия, сводящиеся в частном случае линей ных систем к рассмотренным выше условиям знака дей ствительных частей корней характеристического уравнения.

Что касается вопроса о начальных данных для (1.5), то в -случае задачи (1.21) представляется естественным сохранить для (1.5) условие

~У(іо) = У°

(1-22)

и отбросить условие на г, поскольку Шенно производные

ОСНОВНЫЕ понятия

[гл. 1

от z в вырожденной системе выпадают. В главе 2 мы увидим, что это предположение оправдывается. На вопрос же о выборе решения уравнения F{z, у, t) = 0 и о спе циальных условиях на правые части (] .4) априори ответить труднее. В главе 2 и тот и другой вопрос будет разрешен и при этом выяснится, что оба они связаны с теорией устойчивости Ляпунова.

Там же будет доказана теорема о предельном переходе при [ і - > 0 в решении задачи (1.4), (1.21) к некоторому строящемуся по определенному правилу решению вырож денной системы (1.5), удовлетворяющему (1.22). Этот предельный переход имеет место не на отрезке t0 ^.t^T, как для регулярного случая (1.1), (1.2), а только на интер

вале	t0	< t^T	(в рассмотренном выше линейном примере
Т = оо,		но, вообще		говоря, это не так), причем равномер
ным	является		на	множестве t 0 < t 0		^ . t ^ T , где t0	как
угодно		близко	к t0,	но фиксировано		при ц—»-0, а	не на
всем	интервале		t0	< t^Т,	что уже	наблюдалось	выше
на примерах.

Этот результат означает, что в сингулярно возмущен ном случае решение вырожденной задачи может служить для решения исходной задачи асимптотической формулой в смысле § 1, однако эта формула обеспечивает равно мерную точность на отрезке ^ s ï ^ s ^ T , в отличие от ре гулярного случая, где равномерная точность гарантируется на всем отрезке t 0 ^ t ^ T . В количественном же отно шении при достаточной гладкости правых частей эта точность и в том и в другом случае имеет порядок \і.

Естественно поставить далее вопрос о построении асимптотических приближений с более высокой точностью.

В случае регулярного возмущения (1.1) с. этой целью поступают следующим образом. Ищется формальное ре шение (1.1) в виде степенного ряда по \і:

x(t,	ii) = x0(t)	+ lix1(t)+		... +likxk(t)+	. . .	(1.23)
Подставляя (1.23)		в	(1.1),	можно записать	после	этого
обе части	(1.1) также		в виде разложения по		степеням ц.

Приравнивая далее члены с одинаковыми степенями ц, легко получить уравнения для определения коэффициен тов (1.23): уравнение для xu(t) совпадает с невозмущенным уравнением (1.3), а остальные коэффициенты xk{t)

§ 4]			АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ		НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ			19
(k = 1,		2,	. . . ) определяются		линейными		уравнениями.
Для	х0	(t)	естественно задать такое же начальное					условие
x0(t0)	= x°, к а к Д л я исходной системы					(1.1) (и тогда x0(t)
совпадет			с решением х (t) уравнения (1.3), упоминавшимся
в § 2), а для xk (t) (k = 1, 2, . . . ) нулевые начальные								условия
			**('о) = 0	(k=l, 2,		. . . ) .		(1.24)
Более подробно об этом будет сказано в главе								2. При
наличии			у f(x, t, [i) достаточного			числа	непрерывных
производных частичная				сумма	ряда	(1.23)
			X„(t,	\|І)=І Ѵ **(0				(1-25)

является асимптотическим приближением для решения

задачи	(1.1), (1.2), имеющим точность 0(ц.л + 1 )					равномерно
на отрезке		t0^.t^.T.		является		асимптоти
Ряд,	частичная сумма которого
ческим	приближением		с точностью	0(цп+1)	к	некоторой
функции	x(t,	fx), будем	называть асимптотическим рядом
(или асимптотическим			разложением)	для x(t,	pi). Ряд (1.23)

является, таким образом, асимптотическим разложением для решения задачи (1.1), (1.2). Вместо того, чтобы ска зать: «построим асимптотическое представление или асимп


тотическое		разложение		для		такой-то функции»,				часто
употребляют более краткое выражение: «построим										асимп
тотику»,	которым мы также					будем	пользоваться.
Если	применить тот же метод к						системе (1.4),			т. е.
искать ее решение в виде					(1.23) (х теперь означает					у кг
в совокупности), то действительно можно получить									асимп
тотическое представление, имеющее точность 0(\іп+1),										но
приближение			будет носить		равномерный			характер	на от
резке t0^.t^.T.			При	этом		необходимо		заметить,		что
перенесение		на случай		(1.4)		схемы,	развитой для			(1.1),

не является тривиальным, а именно не очевидным является вопрос о задании начальных условий для определения коэф


фициентов xk(t)		(k=l,	2, . . . ) . В регулярном случае эти
условия имеют		вид (1.24).		Если же и для случая (1.4)
по аналогии с		регулярным		случаем	положить Уиіи) — ®
{k=\,	2, . . . ) (для zk(t)		начальных условий задавать не
нужно,	так как в систему			уравнений	относительно хк (t)

<<< < Предыдущая 12 / 282 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ