книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

210

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Ы 0 ) = & + $ П А _ і 2 ( т ) Л .

(4.404)

о

н а й д е м > й ( 0 ,

zk(t).

Определим

таким образом члены разложений (4.383)

до номера п

включительно (условие V позволяет это

(4.384) при & = я + 1

определится

г/п + 1 (т),

которое

понадо­

бится при оценке остаточного члена.

Обозначим, как и

раньше, через Zn{t,

Yn(t,\i)

частичные

суммы

рядов

(4.383),

содержащие

члены

до

номера

п

включительно.

Т е о р е м а

4.6.

При

выполнении

условий

I — V

най­

дутся

постоянные

\і0

> 0

и с >

0

такие,

что

при

0 < ц ^

[х0

на

сегменте

0 ^

t ^

Т

существует

единствен­

ное решение z(t, ц), y(t,

L I )

задачи

(4.381),

(4.382)

и

имеет

место

неравенство

\x(t,

[x)—Xn (t, [ л ) | < с ц л + і

при

0 < ^ < 7 \

(4.405)

З а м е ч а н и я .

1.

Для

доказательства

существования

и един­

ственности достаточно

взять

в условии V я = 0.

2. Обратим

внимание на то,

что

поведение у (t,

ц.) при [і—Ю в

данном

случае

напоминает

поведение

z{t,

ц.)

в

начальной

задаче

(3.18), (3.19): (/(/, и.) быстро

изменяется

от значения

у0

при г = 0 до

значений, близких

к (/„. Происходит

так называемый

начальный ска

чок (/-компоненты

решения

за счет бесконечно

большого начального

значения для г.

Величина Ау0 этого

скачка дается

формулой (4.397)

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

4.6

проведем

потому

же плану, что и доказательство

теоремы

3.1

в главе 3,

но с некоторыми отличиями в деталях.

Сначала докажем для Uk_1z(x),

Ilky

(т)

(fe = 0,

1,...),

экспоненциальную

оценку типа

(3.58):

I ПА х(т) I

^ с е х р (—хт)

при

т ^ 0 .

(4.406)

§ 16]

БЕСКОНЕЧНО

БОЛЬШИЕ

ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ

211

его можно записать

в виде

аП„у

5о+п0у

j

A(y,0)dy,

что для П-функций меньших номеров

справедливо

нера­

венство

(4.406), для % - Л т ) ,

как

и

в лемме 3.1

для

П*-і/Чт )

(см.

(3.80)),

получается

оценка

| % - і ( т ) | ^

^ с е х р ( — х т )

при т ^ О . Из

второго

уравнения

(4.400)

с начальным условием (4.402) имеем

Ук СО(Ѵ== 0 * + $ П А - І 2

( S ) D S -

Подставляя это выражение в первое

уравнение

(4.400)

получим

для

ïï-k-izix)

интегро-дифференциальное

урав­

нение

т

•%^

= А (т) П А _ і 2 + Ау

(т) П _ і 2

(т) J° П А _ і 2 (s)

(4.407)

где

% _ 1 ( т ) = % _ 1 ( т ) +

AyWn^zfäyk

имеет

такую

же

оценку,

как и

tyk-i(x)-

Заменим

уравнение (4.407)

с

на­

т

nf t -1 z(r) = ( 2 f t _ 1

— гА _!(0))ехр ( J A (s) ds

x

J X

\ Г

N0s

1

+ J exp( \A{p)dp

) Ау(8)П_іг(5)

S

ик^г(р)ар+^к-і(5) ds,

§ 1 6 ]

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ

213

Для k=l

это

неравенство

справедливо

в силу

(4.409).

Предположим,

что

оно

выполнено

для

/(A _j(T »

s)>

т - е -

Г с

1*-2

— (ехр (— xs) — exp

(—хт)) |

| ^ C A - I ( t >

s ) | < c e x p ( — ит) -L2

(А—2) I

(4.414)

Используя (4.409)

и (4.414),

из выражения

(4.412)

для

Кк (т, s )

получаем

/С*(т,

s)|<cex p ( — х т ) х

— (exp

k-2

( — хр) — exp (—хт))

•cexp ( — xp)dp =

x

( * - 2 )

I

ife-i

=

cexp ( —

хт)

-{•

— (exp

(—xp)

— exp

( — X T ) )

( £ - 1 ) 1

— (exp

( Xs)

exp

( X T ) )

k-l

Решение

уравнения

(4.408) можно записать

в виде

(см. (3.57))

т

ПА _хг (т) = <р* -1 (т) + J /? (т, s) фА _х (s) ds,

откуда в силу (4.409) и (4.410) непосредственно

следует

неравенство

(4.406) для

І\к_хг{%). После

этого

из

(4.403)

сразу же получается оценка (4.406) для Пк

у(х).

Тем самым

экспоненциальная оценка для П-функций

доказана.

Отметим,

что функции ук (т) = ук (0) + Пку

(т) = ук +

x

-\-\)Ilk_1z(s)ds

являются

ограниченными

при т ^ 0 .

о

214

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Обратим внимание на то, что второе

равенство

несколько

отличается

от

обычного

введения

v(t, р.),

например,

в теореме

3.1,

а именно,

добавлен

член — Р - " + 1 # п + і ( т )

(о значении его будет сказано ниже). Обозначим

HAt, рО = Л ( Г „ + р " + ^ + 1 ,

t)Za+B(Ya+\?+*yn+ut)-^,

H2(t,\i)=Zn-^(Yn

+ ^ y n + 1 ) .

^W =

A^'

I*) " +

[^у С

Ѵ) Zn(U

v) +

By(t,

p)]u +

ÈL-„

+ G (ы,

V, t,

p),

(4.416)

dt

~

'

где

A (t, p) = A (Yn + №n+1yn+i>

О и

такой же смысл

имеют

обозначения Ay(t,

p), By(t,

p),

а

функция

G(«, v.

t,

р) =

= Л ( К я + | і » + 1 у в + 1 + о , t) (Zn + « ) + ß ( У Я + | І " + ^ В + І + О ,

0 -

-A(t,

v)u-[Ay{t,

\i)Zn(t,

V-) +

B,(U

р)]ѵ~ѵа-Щ^

обладает

следующими

легко

проверяемыми

свойствами:

1.

G(0,

0,

*,

\i) =

H1(t,

р) =

0 ( р " + і ) .

постоянные

2.

Для

любого

е > 0

найдутся

такие

ô = ô (е) и

Ро =

Ро (е), что если

| «х

[ ^

о,

| и2 1 ^

б, | ѵх |

б,

I V, К о, 0 < р < р 0 , то

I G («1. t»i, /, p)—G(w2 ,

и„

/,

p ) K

< е [ | Ы і - н 2 | + ( і + і - е х р

( - ^ ) ) | 0

l

- 0 i | ] .

(4.417)

Начальные

условия

для u(t,

p), v (t,

p)

получаются

из (4.382)

и имеют вид

и(0,

р) = 0(р"+1 ),

о(0, р) = 0(р"+3 ).

(4.418)

Из

второго

уравнения

(4.416)

имеем

t

v(t,

р) = 0 ( р п + 2 ) - т - $

и (s, \i)ds.

(4.419)

§ 16]

БЕСКОНЕЧНО

БОЛЬШИЕ

ЗНАЧЕНИЯ

РЕШЕНИЙ

215

Подставляя

это выражение

в

первое уравнение,

получим

H^

=

A(t,

v)u+[A,(t,

p)Z„(A

Р ) +

,

t

+

By(t,

и)] ï

и (s. v)ds+Q(u,

t,

p),

(4.420)

о

где интегральный

оператор

Q (и,

t, \I)=G(U,

J и (s, \i)ds -f-

+ 0 (p" + 2 ),

t, p) + 0 ( p n + 1 ) обладает, как легко проверить,

следующими

двумя

свойствами:

1.

Q(0,

t, р) = 0(р"+1 )*).

(4.421)

2.

<?(«!,

p) — Q(u2,

t,

р ) | < е

max \u1(s,

p) — u3(s, p) |

0 <

s < f

(4.422)

при I M ^ S ,

p ) / < ô ( e ) ,

| « 2 ( s ,

p ) | < ô ( e ) ,

0 < p < p 0 ( e ) .

Неравенство

(4.422)

получается

из (4.417), если

учесть,

что

—ехр

у——

J

и поэтому

< (

1 + — ехр

( —

)

• t

max

j ых (s, p ) — « 2 (s,

p ) | <

V

У

V

r / /

0 < s < t

^.c

max

I «i (s,

p.)— M 2 ( s , p)|.

0 < s < <

*) Если в выражении (4.415) для v(t,

ц)

отбросить член цп + 1уп + 1,

т . е . положить, как обычно, vit,

р.) = </(/,

ц) — Уп(^>

И-).т о

будут

иметь место равенства

H2(t,

р) = 0 ^

ц" ехр

^ — р ~ ) ) '

^ =

= 0 (u . n + 1 ),

и

тогда,

в

отличие

от

(4.421),

получим

Q (О, t, ц.)=

= 0 ( ц п + 1 ) 4 - 0

^р"ехр

^

— * f

î r

)

) '

^ т 0

п о з в о л я е т

получить для u(

такую же

оценку и (/,

р.) =

О ( р " + 1 ) + 0

^р," ехр ^ — ~ р ~ ) ^

в м е с т о

Заменим уравнение (4.420) с начальным условием (4.418)

эквивалентным

интегральным

уравнением

u(t,

ц.) = е х р ^ Л ( 5

, L i ) d s y O ( u " + 1

) +

+ §jexp(j§A(p,

\i)dp\<

[Ay(s,\i)Zn(s,ii)+By(s,n)]x

0

V s

/ l

X§u(p,

\i)dp+Q(u,

s,

\i)\ds,

о

)

которое

перепишем

в

виде

t

u(t,

\i) =

^K(t,

s,

\i)u(s,

\i)ds + S(u,

t,

L I ) ,

(4.423)

о

t

t.

ii)dp\[Ay{p,\i)Z„(p,\i)+

где

K(t,

s, u.) = Js-jUxp

(±-^A(p,

\

p

/

-\~Bv(p,

L I ) ] dp

и

имеет,

очевидно, оценку

\K(t,

s,

p , ) | < C ( l 4 - l - e x p

( - £

) ) ,

0 < s < / < 7\

0 < i i < i i o ,

u(t,

\i) = S(u,t

t,

u.)

+

+

$ # ( / ,

s,

|*)S(«, S, n)ds

= J(u,

t, L I ) , (4.424)

о

в котором

интегральный оператор

J (и,

t,

LI)

обладает

такими же двумя

свойствами, как S (и,

t,

L I ) .

Применяя

к (4.424) метод последовательных

приближений

так же,

как

к системе

(3.103), (3.104) в главе 3,

получим, что

§

16]

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ

РЕШЕНИЙ

217

решение u(t,

LI) уравнения (4.424) существует, единственно

и

удовлетворяет

неравенству

| и ( / ,

| І )

К Ф " + 1

при

0 < ^ < 7 \

0 < L I < L I 0 .

Из

(4.419)

тогда

сразу

же

последует

такое же неравен­

ство для v(t,

L I ) . Так как

уп+1Щ\и) — ограниченная

функ­

самым

теорема

4.6

доказана.

3. Приложение к краевым задачам, а) Зададим для

(4.381)

краевые

условия (Т =

\)

у(0,

р) = а,

у(\,

L I ) = Ъ.

(4.425)

Уо

_

у0 = а,

у0(1) = Ь.

Из первого уравнения

сразу же определится у0:у0 = а,

виях можно найти z_j. Зависимость у0

(1) от z_x обусловлена

тем, что начальное значение

у0 для

у0 (t) (см.

(4.396)),

определяемое

из уравнения

(4.395),

является

функцией

от z_j. Для

определения z_1

можно

поступить

и иначе.

ным условием

не в точке

/ = 0, а

в точке t =

1 :у0 (1) —Ь.

Найдя у0 (t)

и

зная

тем

самым

у0 (0) = у0,

из уравне­

ния (4.395)

при у = Уо найдем z_x .

Аналогичным образом можно продолжить определение

коэффициентов

(4.382)

и

получить

асимптотическое раз­

Вычитая

одно из другого уравнения, отвечающие

і — 1 и

і = 2, получим

у,

«.)

J

А (у, t0)dy = 0.

(4.429)

Ус

de)

Отсюда

определяется

t0.

Оно должно принадлежать интер­

ства (см. III)

Ш

А

(у0 (t),

t)>0

при

0 < г < / 0 ,

(2)

(4.430)

A

(y0(t),

t)<0

при

* 0 < * < 1 .

Неизвестные z_x

и у0 из уравнений (4.428)

не опре­

деляются, так как в силу (4.429)

из двух уравнений (4.428)

одно

является

следствием другого,

и из

(4.428)

можно

определить

в

лишь связь

z_x и у0.

Окончательно

они определятся

следующем

приближении.

Детально

должно

принадлежать

интервалу

с граничными

точками

Уо (А>)>

Уо ('„).

представляющими

собой

в

силу

(4.428)

и (4.430) устойчивую

влево и устойчивую вправо точки

покоя присоединенного

уравнения (4.394), в котором

тоже

надлежит А (у, 0) заменить на А (у, t0),

и требуется, чтобы

других точек покоя в этом интервале не было.

Построение

можно

продолжить

и

определить

все

члены (4.427).

Тем самым можно

построить

разложение

одновременно решением

краевой

задачи

(4.381),

(4.425).

В случае, описанном в а),

г/-компонента

решения

в пре­

деле при р —»0 разрывна

при / =

0,

(

у0

при ^ =

0,

1 і т * ( Л ц ) = Ш

о

п р и

0 <

/ < 1 >

разрывна при t =

t0,

ty~(t)

при

0 < / < / 0 ,

lim у (t,

p) = )

y0

при

t =t0,

\

y0(t)

при