книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

220

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[гл. 4

Явление внутреннего пограничного слоя для квази­

линейной

системы типа

(4.381) было замечено

и описано

М. А. Г а л а х о в ы м

[29]. Решение

с

внутренним по­

граничным

слоем интересно тем, что оно в

известной мере

является модельным для задач гидродинамики.

В заключение

рассмотрим

п р и м е р

(см. [29])

\іу"=

—уу'

— у,

у(0, | і ) = — 1,

г / ( 1 , р ) = 1 .

(О

Согласно

изложенному" выше

правилу

получаем у0 (t) =

=— t — 1,

ya(t)=

—£ + 2, и уравнение (4.399)дает^0 = 1/2.

Условия (4.430) при этом выполнены.

4. Некоторые

родственные

задачи,

а)

При

изучении

также возникает вопрос о построении асимптотики

реше­

ния задачи

с сингулярными

начальными условиями. Так,

в

работе

А.

Б. З и м и н а

[33]

рассмотрено

линейное

уравнение

п-го

порядка с малым

параметром

р. при ут

с

начальным

условием

(0, р) =

р - * П + p - f t + 1

^ i + 1 +...+Ьр

+ ц6(*> +

. . . ,

k = 0,

1 , . . . ,

п—1;

bf}

— заданные

постоянные.

Асимпто­

тика

этого

решения

может

быть

построена

по

описанной

выше схеме, но представление для уш

(t,

р)

при

этом

содержит пограничные

члены, начиная

с порядка р~*.

Интересно отметить, что стремление

у и его

производ­

ных к соответствующим вырожденным значениям

имеет

место, вообще говоря, только в том случае, если

коэффи­

циенты bf)

связаны

между

собой

определенным

образом,

что является новым моментом по сравнению со

случаем

уравнения второго порядка (4.381).

б) Если система уравнений нелинейна, то

характер

поведения решения при р—»-0 в общих

чертах

сохраня­

ется. Пусть имеется начальная задача

dz

р

,

dy

РШ~І'(г'У'1>'

di~z'

(4.431)

у

(0,

\i) = yn,

2 ( 0 , р) =

г 0 ( р ) ^ о о

п р и р ^ О .

Предположим,

что F(z,y,t)

при 2—>• оо растет

как

\z\l,

где 0 < / ^ 2 .

Тогда,

как

показано М. И.

В и ш и к о м

§

16]

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ

ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ

221

и

Л.

А.

Л ю с т е р н и к о м

[26],

решение

y(t,\i)

сис­

темы (4.431)

при

соответствующем

выборе

z0 (р)

будет

стремиться прир,—+0 к решению у0

(t) отвечающей (4.431)

вырожденной

системы, причем

у0

(t) будет

при t = 0 при­

нимать

значение

не у0, как в

случае,

описанном

в

гла­

вах 2 и 3, где z0

было ограниченным, а некоторое значение

у0-\-Ау0.

Таким

образом,

имеет место тот же эффект, что

и

для

случая

(4.381), (4.382),

когда

Ау0

дается

форму­

лой (4.397). Для нелинейного

случая величина Ау0, как

и

характер

особенности

в

z0

(р),

приводящей

к появле­

нию Ау0, зависит от I, а именно, при / = 1 + а,

— 1 < а < 1

нужно

положить

z0 (р,) = с/р, 1 / ( 1 ~ а )

(с — произвольная

по­

стоянная)

и тогда

Ау0 определится

из

уравнения

с ' - а

= - ( 1 - а )

\

^\{y,0)dy,

(4-432)

Уо

где г|э(г/, 0)

есть

значение

при

t = 0

функции

\p(y,t),

ха­

рактеризующей

рост F(z,y,t)

при z—• оо в том

смысле,

В этом случае

из (4.432) получаем

Уо +

ЬУо

z - i = —

S

A(y,0)dy,

Уо

что совпадает

с (4.395) при

у= у0, если

принять во

вни­

мание, что

у0

= у0 +

Ау0.

скачка

y{t,\i)

Таким

образом,

явление начального

\i^

= F(z,

у,

J,

t,

~ =

f(z,y,J,t,\i)

(O^t^T),

(5.1)

где

по-прежнему ix >

0—малый параметр;

гну

(соответ­

ственно F

и

/) — вектор-функции размерностей

Мит',

а

J

=

^K(t,

s, z(s,

ц), у (s, L I ) ,

\i)ds,

о

нение типа Вольтерра), К—вектор-функция

размерности /.

За последние годы многие из результатов, рассмотрен­

уравнений, представляют

интерес

задачи, в которых на­

личие

в

уравнении

интегрального

члена

изменяет неко­

торые

«привычные» для дифференциальных уравнений

свойства

решений.

Такого

типа

задача

рассматривается

в § 18.

§ 17]

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

223

2(0, іі) = 2 ° ,

у(0, д.) = гД

(5.2)

x(t,

\i)

= x(t,

ц)

+ П*(т,

LL)

(T =

/ / L I ) ,

(5.3)

где

x(t,

LL) =

X 0 (t) + nx1(t)+...

+

l

i

k

x k ( t ) + (

5 . 4

)

Tlx

( T ,

L I )

=

U0x ( T ) +

( T)

4-

. . .

+

[ikUkx

(т) +

. . .

(5

(по-прежнему

x

означает как z, так и у).

Подставим

(5.3)

в

выражение

для

J

и

представим

а

J=^K(t,

s,

2 + 112,

у-т-Пу,

\i)ds

в

виде,

аналогичном

о

(5.3),

т. е.

J=J(t,

Li) +

r i 7 ( T ,

Li).

(5.6)

Для этого получим вначале аналогичное

представление

для

К

K

=

K(t,

s,

ц)

+

ШС(*,

о,

ц)

(CT =

S / L I ) .

(5.7)

Оно

строится

по

тому

же

правилу,

что

и

F = F +

П/7

(см.

§

9),

K(t,

S,

2,

у,

\l) = K{t,

S,

2 ( S ,

Ll),

y (S,

Ll),

Ll)

+

+ [ / C

(*, O-Ll^

Ll) +

П2 (O,

Ll),

y (OLl,

Ll) +

Щ ((7, Ll), Ll) —

—K(t,an,z(a]i,

L I ) ,

y(op,

L I ) , L L ) ] =

/ C

(Z1, S ,

L I ) +

I I /

C ( / , a ,

L I ) .

(5.8)

Подставляя

в (5.8)

вместо x(t,

fi) и

Ш:(т,

L I )

ряды

(5.4)

226

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

[гл. 5

где

а

J0(t)=\jK0(t,s)ds

(а

равно

Т

или

t),

(5.15)

о

А ( 0 = $ ^ * ( Л

s)ds+\nk_lK(t,

o)do{k =

\,

2, . . . ) .

о

о

По < /(т) =

0,

І Ѵ ( т ) =

— \

П Д ( 0 ,

а)da, . . .

X

Дальнейшее

построение

асимптотического

разложения

совершается

так

же,

как

в

§ 9.

Подставляя

в (5.1)

х =

= х-\-Т1х,

/ = / +

П7,

преобразуем

правые

части

системы

(5.1)

к виду,

аналогичному

(5.3). Выпишем это преобра­

зование для F (для / оно делается точно так же):

F(z+

Пг,

у+Пу,

J + IU,

t,\i)

=

=

F(z(f,

p), y(t,

p),

J(t,n),

г\ p ) + [ F ( z ( x p ,

р) +

Пг(т, p),

y(i\i,

р) +

Пг/(т,

p),

7(тр,

р) + П/(т,

p),

тр,

p) —

— F(z(x\i,

p),

г/(тр, p), ~J (тр,

p),

тр,

p)] =F+

H.F.

Таким образом,

имеем

И # +

f

= ^ + nF,

p

f

+ ^

= Р 7 + Р Щ

(5.16)

(второе уравнение предварительно умножено на р).

Подставляя

в (5.16) вместо х, Пх, J, Ï1J соответственно

ряды

(5.4),

(5.5),

(5.13),

(5.14),

представим

F,

IlF,~~f

и Щ

в

виде аналогичных

рядов

по степеням р. Выпишем эти

ряды для F и ÏIF. Для F получится ряд

где

T0

= Fjïu(t),

â,(0,

JAt),t,0)z

Fk

= F,(t)

zk(t)

+ Fy (0 yk

(t) + Fj(t)

Jk

(t) + Fh (t)

( A = l ,

2, . . . ) .

Элементы

матриц

Fz(t),

Fy(t),

Fj(t)

вычисляются в точке

(г о(0. #о(0>

Л(0»

U

0),

а

векторы

Fk(t)

выражаются

П0 г(0) = г ° - г 0 ( 0 ) ,

no jy(0) =

0,

(5.24)

СО

Ukz(0)

= -zk(0),

nky(0)

= -luk.1fda

(5.25)

о

( * = 1 , 2 , . . . ) .

(Отметим,

что для

zk(t)

(k = 0,

1,

. . . ) не нужно

задавать

начальных

условий,

так

как

первое

уравнение

в

(5.18),

(5.20) — интегральное.)

Решая

последовательно

задачи

(5.18),

(5.22);

(5.19),

(5.24);

(5.20),

(5.23);

(5.21),

(5.25),

можно

определить

члены

разложений (5.4) и (5.5).

2.

Оценка

остаточного

члена

для уравнения

типа

Вольтерра.

Будем

рассматривать

систему

(5.1)

с

инте­

гральным

членом

J

типа

Вольтерра (а = t). Сформули­

ний, либо

переопределена.

I . Пусть z0(t),

y0(t)

— одно

из

решений

задачи (5.18),

(5.22), определенное при

OsSCz^T.

dFl

Рассмотрим

—

элементы

которой

матрицу Fz(t),

(і, / = 1 ,

М)

вычисляются

в

точке

Через

л.(. (/)

обозначим

собственные

значения

Fz(t)

(і = 1,

. . . . M).

Как

и в

главе 3

(см. (3.22)), в качестве

одного

из основных

требований

введем

условие

устой­

чивости;

I I .

ReXiitXO

при 0 < / < 7 \

1=1,

...,М.

(5.26)

Обратимся

теперь

к системе (5.19). Из второго

урав­