книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

190

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

поводу f), имеет

вид ( ^ = 1 / 4 ,

t2 =

3/4)

t/2

при

0

1/4,

Уоі (0

1/4 —1/2

при

1/4 < * <

3/4,

t/2 — \/2

при 3 / 4 < * <

1,

(4.353)

—t

при

0

1/4,

У02 (0

—1/4

при

1 / 4 < і < 3 / 4 ,

г! —1

при

3 / 4 < / < 1 .

убедиться

в

том, что

«/-компонента решения

при р,—*-0

стремится

к

ломаной

(4.353)

*

lim y(t,

p) = ï U 0

п р и 0 < / < 1.

(4.354)

Ц->-0

У п р а ж н е н и е .

Найти точное

решение задачи"(4.351), (4.352)

собственных

значений Я,- с

отрицательной

действитель-

ной

частью,

(/)

(к)

т. е. корни

отвечающих ф и ф, совпадают,

(/")

<*)

эквивалентной одному

уравнению

второго

порядка

Р2

&=Р(г,

t),

^

= F(zt,

t),

P ^

= Zi

( 0 < * < 1 ) ,

(4.355)

с

краевыми

условиями

г2 (0,

р) = 0,

z 2 ( l , [І) = 0.

(4.356)

192

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

Рис.

6.

1 — график Ф (г2 ).

Точки

Ах с координатами (г1

=

0, г2 = фх )

и А3

с

координатами (Zi =

0, г2 =

ф3 )—седла; точка Аг

с

координа­

тами

(г1

= 0, г2 = ф2 ) — центр. 2—сепаратрисы;

3—одна

из замкнутых

траекторий, окружающих

центр.

Стрелки

указывают

направление

В Н У Т Р Е Н Н И Й

П О Г Р А Н И Ч Н Ы Й СЛО Й

193

Ф 2

фг

в)

J F{z)dz=

J

F(z)dz,

(4.359)

т. е. площадь

/

равна

площади

/ / ,

или

Ф(фх ) = Ф(ср3).

В этом случае

седла

Ах

и

А3

(рис. 6, б))

оказываются

соединенными

сепаратрисами, т. е.

имеет

место

так на­

зываемая

ячейка.

Обратимся теперь

к

(4.355).

I .

Пусть

функция

F (z2,

t) имеет

непрерывные

частные

производные

до

второго

порядка

включительно

в

некото­

рой

области

D

на плоскости

(z2,

t).

I

I .

Пусть

уравнение

F (z2,

t) = 0 имеет

три корня

2 2 = Фі(0

( ' = 1 .

2, 3)

такие,

что:

1)

Фі (0 <

Ф2

(t)<

Фз (0

при

0 < / < 1 ,

2)

область

{(z2, t)\qt

(t)

s?; z2

<

ф3

(t), О <

t <

1 } с D,

3)

^ ( Ф . - ( 0 ) > 0

np«

0 < * < 1

( / = 1 ,

3),

^ Л Ф Л О Х О

при

0 < f < l .

Из условия

I I

следует,

что

график

/''(z,,,

^)

при

каждом

фиксированном

t € [0,

1]

имеет

вид

такой,

как

на рис. 5.

в частности, может меняться соотношение между

площа­

дями

In

II.

Оказывается, явление

перехода

решения

за­

дачи

(4.325), (4.326)

с корня

ф 3 ( 0

на

корень ^(t)

(оба

эти

корня

условно

устойчивы:

%li2 (t)

= ±

V FZi

(ф,- (t)),

i = l , 3) может наблюдаться, если при некотором

значе­

нии

t = T

площади I

м I I становятся одинаковыми, т. е.

на фазовой

плоскости присоединенной

системы, отвечаю­

щей

значению

t = T,

имеет

место

ячейка

(случай

в)).

Образно

говоря,

для

перехода

с

седла на

седло

между

ними должен быть как бы

«мост» в

виде

сепаратрисы

(см.

рис.

6,

б)).

тическими формулами § 14.

Покажем,

что

существует

решение такого типа, как изображенное

на рис. 7, с точ­

кой перехода Т (так условно

назовем значение

t,

принад­

лежащее (0, 1), при котором

г2 = ф2 ),

которой

соответ­

ствует

рис. 6, б). Для этого поступим следующим

образом.

Считая,

что Т—некоторое,

не

известное

пока

значение

194

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

между

t = 0 и t — 1, построим, пользуясь алгоритмом § 14,

асимптотическое

представление

решения

системы

(4.355)

на отрезке [0, Т],

удовлетворяющее условиям z2

(0, р,) — 0,

z2 (7\

р) = ф2 (Т),

и стремящееся

при р,—>0

к

(0,

Ф3 (0)-

Другими

словами, построим

асимптотику решения, отве­

чающего

левому

полуциклу

на рис. 7. Все условия су­

ществования такого решения,

указанные в § 14, за исключе­

нием

пока

условия

V,

вы­

полнены

в

силу

I и

I I . Об

условии

V

будет

сказано

ниже *).

Заметим, что мы имеем не

совсем тот

случай, который

подробно описан в § 14, так

как здесь

на концах задается

одна и та же компонента z2.

Рис.

7.

1,

2, 3—графики

г2

=

Но

теория

справедлива

и

= ф,- (t)(i=

1, 2,

3),

/ — график

для

такого

случая

(см. п.

г2-компоненты решения задачи

11

§

14).

(4.355),

(4.356),

Г —точка пе­

Точно

так

же

построим

рехода.

на отрезке [T, 1] асимптотику

решения

системы

(4.355),

удовлетворяющего

условиям

22(7",

р) = ф2 (7'),

z 2 ( l , р) = 0, и стремящегося

п р и р , - ^ 0

к (0,

фх

(t)),

т. е. решения,

отвечающего правому полу­

циклу

на рис. 7. Условия существования такого решения,

кроме пока условия V, также выполнены в силу

I и I I .

Приравнивая

в точке Т выражения для ги

отвечающие

верхнему

и нижнему

полуциклам, получим уравнение для

*)

Собственные векторы

Ьх

(t) =

(

fy1^]

и b2

(t) = (

fy1

^ )

(О

(0I

у

J

\

b12 (t)J

\

b22

(t)J

( i = l ,

3)

1 т

(О

матрицы

,

соответствующие собственным

значениям кх (t) и Я2

(t),

обладают

тем свойством,

что bkJ- (t)

ф 0

при

0 < * < 1 ,

k,j=l,2.

Поэтому

условия {Det Вп

(0) ф 0,

Det ß 2 2

(0) Ф 0, содержащиеся в V, а) § 14, и аналогичные

условия,

содержащиеся в V, б) § 14, которые сводятся в нашем случае к усло-

(3)

(3)

(3)

(3)

виям

Ъ,х (0) ф 0, Ь22

(0) ф 0,

bu (Г) Ф 0, Ь22

(Г) Ф О, будут выпол­

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

195

zx(t,

d)

(D

р) = П 0 г 1 ( т 0 ) + С 0 г 1 ( т г ) + О ( р ) ,

d)

d)

(4.360)

z2 (t,

р) = фз (t) + П 0 г 2

(т0 ) + Q0z2

(тГ )4-0 (р),

n U 2

(0) = - Ф з (0), г Ц (оо) = 0

( t = l ,

2),

dXT

= F (Фз ( Г ) + Q z 2

,

'

T),

^ = Q z

x

( Т г = Ц ^ < 0

* V f » ^ ' 1 ^0~*'

"

àlj

vu .

v

.

^

(4.362)

(D

(D

2). (4.363)

Q0z2

(0) = Ф2

( Г ) - Ф з ( Т ) ,

Q 0 Z / ( - ° ° )

= 0

( t = l ,

zx{t,

p) =

n 0

z 1 ( x R ) + Q 0 z 1

( T 1 )

+

O(p),

(4.364)

(2)

(2)

z2 (t,

p) =

фх (t) + П 0 2 2 ( T 7 ) + Q 0

Z 2 ( T X ) + О

(p),

где

^ 1

= £ ( ф 1

( Л + П 0 2 2 ,

Г),

^

= П Л

( т г > 0 ) , (4.365)

196

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

І.і)

(2)

П о 2г (0) = Ф 2

( 7 , ) - ф г ( Л ,

1102,(00) = 0 ( і = 1,2),

(4.366)

( 2 )

( )

( 2 )

(2)

( Ф

І ( І ) +

С А , О, ^

=

Qo^x

( т І =

Ь І

< о ) ,

С0 г2 (0) = - Ф

і ( 1 ) .

<?U(—оо) = 0

(г =

1,2).

Приравнивая

(4.360)

и (4.364)

при t — T и

учитывая,

(1)

(2)

что в этой

точке П0 г(

и Q0zi экспоненционально малы,

в нулевом

приближении

получим

< Qo z1 (0) = no z1 (0),

(4.367)

Фз (Т)

+ Q0 23

(0) = Ф і

(T) + S U

(0).

(4.368)

ние относительно T (Q0z1(xT)

И

(ХТ) зависят от Т, так

как Т входит в правую часть уравнений (4.362) и (4.365)

и

дополнительные

условия (4.363)

и (4.366)).

(4.363) за-

С целью

определения Т сделаем в (4.362),

(1)

_

(D

мену переменных zx

(xT) = Q0z1

(хг),

z2

( т г ) = Ф з ( Т ) 4 - Q 0 z 2 (хг).

В

этих

переменных (4.362),

(4.363)

примут вид

§T

=

F ( Z 2 ,

Т ) ,

^

= 2,,

(4.369)

22 (0) = Ф 2 (Л - ^

( - « , ) = О,

2 f

( - o o ) = q>8(7).

Точно

так же в (4.365), (4.366)

сделаем замену г2 (тГ ) =

(2)

=

(2)

=

U0zx

(хг),

г2 (т г ) = Ф і

(Т) + Пц г2

(хт).

Получим

WT

= F & '

П

§Т

= 1 ,

(4.370)

г2 (0) = ф 2 ( Л ,

Zi (оо) = 0,

22 (оо) = ф1

( Т ) .

В

новых переменных

уравнение

(4.367) примет вид

§ 15]

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ слой

197

Рис. 8. 7 —прямая z2 = <p2

на фазовой плоскости ( г ь

г2 ), отвечающей

t = T,

2

и 3—два

различных

положения прямой

г2

= 0 на фазовой

плоскости

(гІ Р

г2 ), отвечающей t =

0.

нужное

равенство. Итак,

мы приходим к выводу, что Т

должно

быть

тем значением,

при

котором

на

фазовой

плоскости

образуется

ячейка.

Это будет сформулировано

ниже

в

виде требования

IV,

после

того

как

уравнение

(4.371) будет преобразовано к надлежащему виду.

Кроме этого, для реализации каждого полуцикла фа­

зовые

картины, при ^ = 0 и t= \ должны

удовлетворять

определенным условиям,соответствующим требованиям V, а)

и V, б) § 14.

В точке

^ = 0 для левого полуцикла

нужно

обеспечить выполнение требования V, а), а в

точке ^ = 1

для правого полуцикла—выполнение

требования

V, б).

Заметим,

что

требование

V, б) для левого полуцикла и

V, а) для

правого полуцикла,

т. е. условия в точке t = T,

вания

существования

ячейки

при t — T.

Действительно,

точка

(0, ФаСО)

лежит

внутри ячейки и,

следовательно,

прямая

z2 = ф2 (Т)

пересекает

сепаратрису,

идущую из

седла

(0, ФзСГ)) в седло (0,

ух{Т)). Иначе

говоря,

зна­

чение

z2 = ф2 (Т)

принадлежит

области определения функ­

ции

z1

= f(z2),

описывающей

многообразие

S"

седла

(0, Фя(Т)), которое

совпадает

с многообразием S +

седла

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

199

в точку

(0,

Ф1 (Т))

при т г = оо, получим

г1 =

-

] /

2 "І // 5 \ (Т) F (г,

T)dz.

Уравнение

(4.371)

дает

_

/ " Ф І m

Г ф 2 (Г)

— / 2

у

J

F(z,

T)dz = — / 2 | /

J

F(z,T)dz.

Отсюда

Ф . ( Л

Ф , ( Г )

Фі(Г)

Фг ( Л

J

F(z,

=

J ^(z,

0^ г .

(4.372)

<Р.(Г)

Ф

І (T)

ячейки,

обеспечивающей

переход

с корня ф3 (t)

на корень

Фі (0. нужно,

чтобы выполнялось

условие

IV.

Пусть

уравнение

(4.372)

относительно

Т имеет

решение

Т = Т° и пусть

0 < Т° <

1.

Мы

рассмотрели

условия

формального

построения

асимптотики

решения

такого

типа, как на рис. 7. Вы­

ясним

теперь

достаточные условия его фактического су­

ществования.

Выражение

обращается в

нуль

при Т~Т".

Пусть

В(Т)

меняет знак

при

переходе

через

Т = Т°. Выражение

В (Т) с точностью

О (р,)

представляет

собой разность значений

гг для левого

и правого полуциклов в точке

t — T,

в

которой z2 (и для

того и для другого

полуцикла)

равно

у2(Т).

Отсюда сле­