книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

50

АСИМПТОТИКА

РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

(і = 0,

fe-1),

UF = F (г(тц,ц) + uz (т, ц), у (тц, ц)+ Пу (т,

ц), тц) —

—F{z(x[i,\x),

і/(тц, n),Tn) = F(z0 (Tfi) + (xz1

( т ц ) + . . . +

+ ц*7, (тц) + r

. + no z (т) + ц П і 2

(т)+ -

+

. . . + H*nftz (x)+

...,y0

M +

(Xt/i (тц)+ .. . + [xftt/ft (тц)+ . . .

...+U0y

(т) +

Ц П ^ ( T ) +

. . . + j i * n f t

y (T) +

.L . , T ( J ) —

— F ( Z 0

( T ( I ) + H Z 1 ( T H ) + . .

. +fx Ä z A (xn) +

. . . , y0 (тц) +

+

Ѵ-Уі Сч*) +

• • • +1**0* C4*)+ •

=

= [F (z0

(0)+n o z (т),у0

(O)-f П0 #(т), 0 ) - F

(z,(0),

y0 (0), 0)] +

+

ц [ F z ( T ) n,z ( T ) + Fy

( T )

( T ) +

G1 ( T ) ] + . . .

. . . +

| i *

[F,

( T ) nÄ z ( T ) + F , (x)Uky

( T ) + Gft

( T ) ] + . . . =

. s

n 0

F

+

| i n i F + . . . T n V T . . . ,

(3.29)

где

элементы

матриц Fz(x)

И Fy(x)

вычисляются в

точке

( z0

(0) + no z (т), г70(0) + П0 г/(т),0),

а векторы

Gk(x) вы­

ражаются

определенным

образом

через

И{х (т)

(г =

= 0, 1,

fe-1).

Такие же разложения имеют

место и для функции /.

Последнее

тождество в (3.29) и является

фактически

определением

операторов П й

(ß = 0,

1, 2 , . . . ) .

Подставляя

теперь в (3.27) F = F + IIF

и

/ = / + П/,

получим

4

+

ъ

=

7

+ ™>

и

| +

^ 7

+

и п / .

(з.зо)

АЛГОРИТМ

ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИКИ

51

системой

(3.20)

- U0F ^ F (7„ (0) +

П,г, 7Л (0) H - По і /, 0 ) -

—F

(То (0), & (0), 0) =

F (7. (0) +

II0 z, i

0 (0) + U0y, 0),

dx

(F(T„(0),#0 (0),0) = 0

в

силу

(3.31)).

(3.26)

с

номером

1

Для

членов

разложений

(3.25),

получаются

уравнения

(3.33)

d-^f

= n,F

=

Fz

(т) П і

2

+ F у (т) П і У

+

G, (т),

(3.34)

d x

no z, у0(0)

+ Пау,

^

= n o

/ ^ / ( z o ( 0 ) +

0 ) -

- f ( i o

( 0 ) , 0,(0),

0),

где

Gi (т) =

( T) -

F,

(0)) ( i ; (0) T +

z, (0))+ (F, (т)_-

-Fy

(0)) 0/. (0) T + y\ (0)) +

(Ft

(x) - F ,

(0)) т.

(3.35)

(k=\,

Вообще,

для

членов

разложений с

номером

k

2, . . . ) получаются уравнения

— F k== Fz

(t) zk-\-

F y (t)~yk+

Fk(t),

(3.36)

dyk

ïk

=

ïz(t)4+fy

(t)yk+fk(t);

І ^ !

=

UkF ^

Fz

(x) Пй г +

F y

(т)П,у +

Gk

(x),

(3.37)

где

fk(t),

как

и F A (/),

выражаются

определенным

обра-

зом

через z{(t),

&(0(» = 0.

1,

. . .

.

ft—1),

П 4 _ , / — коэф­

фициент

при

} x f t - 1 в

разложении

П/,

аналогичном

(3.29)

52

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

У* (0) + m

(0)

+ - - - + П0 у

(0)

+ ІІПіУ

(0)

+

. . .

=

я".

Приравняем

коэффициенты

при

одинаковых

степенях ц

в обеих

частях равенств

(3.38). В нулевом

приближении

получим

i o ( 0 ) +

no z(0) = z\

y0(0)

+ U0y(0)

= y\

(3.39)

Так как

z0 (t), y0(t)

является

решением

системы

(3.31),

то для z0 (t)

не нужно задавать дополнительных условий,

а для у0 (t) естественно задать такое же начальное

усло­

вие, как

и в

вырожденной задаче (3.20), т. е.

Уо(0)=у°.

(3.40)

Тогда решение z0(t),

y0(t)

задачи (3.31), (3.40) будет

сов­

падать с вырожденным

решением

z(t)

= <f(y(t),

t),

у

(t),

которое

фигурировало

в

теореме

2.3

о предельном

пере­

смотренному в § 8 линейному

примеру.

Из (3.39), учитывая (3.40), получим начальные

усло­

вия

для

системы (3.32):

П„г/(0) = 0,

_

(3.41)

no z(0) = z ° - z o ( 0 ) .

(3.42)

Из

второго уравнения

(3.32)

в силу (3.41) следует

П0«/(т) =

0

при тГ^О,

а тогда

для

1T0Z(T),

учитывая (3.40), получим

систему

=F(z0(0)

+ noz,

уо,

0),

(3.43)

где

z0 (0) = ф (у0,

0). Нетрудно

видеть,

что система

(3.43)

может

быть

получена

из

присоединенной

системы

dz

—

j^=F{z,

у",

0)

заменой

z = z0 (0) + IToz.

Поэтому

точкой

54

АСИМПТОТИКА

РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

Обратимся далее к системе (3.33).

Чтобы

ее

решить,

нужно из первого уравнения выразить гг (t), что

возмож­

но,

так как DetFz(t)=£0

в

силу условия

ReÄ,,-(^)<0

(см. (3.22)), подставить полученное выражение для

гг (t)

во

второе уравнение и

решить

линейную

систему

дифферен­

циальных уравнений

относительно y^t)

с начальным

ус­

ловием (3.47). В результате

будет найдено z1(t),

ух(1),

и

из

первого равенства (3.44)

получим

П > ( 0 ) =

— zi(0).

(3.48)

нение

(3.34) с начальным условием (3.48), учитывая, что

П2 г/(т)

уже найдено (см. (3.46)). Тем самым будут опре­

Совершенно аналогично

определяются

ПА г/(т),

yk{t),

zk{t), nf t z(x) (£ = 2,3, ...) из

систем (3.36),

(3.37)

с по­

мощью дополнительных

условий

П/г#(т )—»-0 при т—>-оо,

00

yk(0)

=

\uk_J(s)ds,

(3.49)

о

Пкг{0)

=

-7к(0).

(3.50)

F(z,y,t),

f(z,y,t).

Напомним,

что в

главе 2 через L 0 мы

обозначили

кривую

в

пространстве

(z, у, t),

к

которой

стремится

траектория

L(t,

р),

определяемая

решением

z(t,

р),

y(t,

р) исходной

задачи, при р—>-0

(см. замеча­

ние

1

к

теореме

2.3).

Под

г-трубкой кривой

L 0

будем

понимать

множество

точек

в пространстве

(z, у, t),

рас­

стояние которых

от

L(i (в смысле введенной

в § 6 нормы)

56

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ

НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 3

Тогда

для любых векторов

х,

у и матриц

А,

В

справед­

ливы

соотношения

||* +

У | | < | М1 + Н</11.

||Л +

Я | | < | | Л | | +

||В||,

| | і 4 * К | | і 4 | | . | | * | | ,

| | Л В | | < | | Л | | . | | Я | | ,

||сх|| = |с|-||х||,

||сЛ|| =

|с| . ||Л| |

(с - число) .

Если

A — A{t) = {at] (t)),

то

A'

(t) =

(а\{(t))

— производная

от матрицы, J A (t)dt

=

(

§ ai}(t)dt)—интеграл

от

мат-

а

\а

J

рицы. Нетрудно

видеть,

что ]A{t)dt

<

J II A

(t)

\\dt.

Рассмотрим

линейную

однородную

систему

дифферен­

циальных

уравнений

%=A(t)x

( / > 0 ) ,

(3.53)

где

x(t) — /-мерная

вектор-функция,

A(t)

— непрерывная

при

t^O

квадратная (/х/)-матрица.

Пусть X (t)—фундаментальная

матрица

(т. е. матрица,

ния системы

(3.53)),

удовлетворяющая

условию

X (0) =

= Et (£,—единичная

(Iх/)"матРиЦа)-

Тогда решение

x(t)

системы (3.53)

с начальным

условием х(0) = х° имеет вид

x(t)

=

X(t)x\

Решение

неоднородной

системы

%=A{t)x

+

f(t)

с начальным

условием х(0) = д;°

можно

записать

в

виде

t

x(t)

= X(t)x°-}-\X(t)X~1(s)f(s)ds.

(3.54)

о

X(t) = exp(At) = El

+ tA + t-^- +

' * '

> t A

k\

•

' - *

2|

X _ 1 ( s ) = exp(—As), X{t)X~1(s)

= exp(A {t—s)). (3.55)

§ 1 0 ]

ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА

57

| | е х р ( Л 0 | | < с е х р ( — a t )

при

* > 0 .

(3.56)

Это следует из того, что линейно

независимые

решения

Xi(t),

являющиеся

столбцами

фундаментальной

матрицы

exp(At),

имеют вид xi (t) = Pni{t) ехр (Я,^) ( i = l , 2 ,

. . . , / ) ,

где

Pni{t)

— многочлены от t.

Рассмотрим теперь линейную неоднородную систему

интегральных

уравнений

Вольтерра

t

x{t)

= [K{t,

s)x(s)ds

+ f(t),

где x(t)

и f(t)

о

K(t,s)

— /-мерные

вектор-функции,

— мат­

ричное

ядро (квадратная (/х/)-матрица). Пусть

K(t,s)

и f(t)

непрерывны соответственно

при

O ^ s ^ ^ ^ T и

0 ^

t ^

Т. Тогда

существует

единственное

непрерывное

x(t)

=

f(t)+[R(t,s)f(s)ds,

(3.57)

о

где

R(t,s)—резольвента

((/х^-матрица)

ядра

K(t,s),

которая

определяется

как ряд

ft=i

(сходящийся

равномерно

в области 0 ^

s ^

t ^ Т) из пов­

торных

матричных

ядер

Кг(і,

s) =

K(t,

s),

Kk{t,

s) =

S Kk-X(t,

p)K(p,

s)dp

(k = 2, 3,

s

. . . )

(см.,

например,

[44]).

3.

Оценки пограничных

функций.

Л е м м а

3.1.

Для

пограничных

функций

П,х(т)

(/ =

0, 1,

п)

справедливо

неравенство

||П,.л;(т)|Ксехр(—ит) при

т > 0 ,

(3.58)

где с >

0 и и >

0—некоторые

постоянные.

ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА

59

применим

метод

последовательных приближений

(0)

П 0

z (т) = ехр (Fz(0)

(т—т0 )) П 0 2 (т0 ),

П 0

z (т) = exp (F, (0) (т—т0 )) П0 г (т0 ) +

+ 5exp(Fz (0)(t-s))G(< n0 1 )

z(s))ds

( £ = 1 , 2 , . . . ) .

*о

Так как в силу требования IV собственные значения

Я-,- (0)

матрицы Fz(ö)

удовлетворяют

неравенству

ReX,-(0)<

< — а < 0

(см. (3.23)), то существует

такая

постоянная

ct

> 0,

что (см. (3.56))

II exp (Fz

(0) (т—s)) II <

с, ехр (—а (г—s))

(т„ ^ S

< со).

Отсюда в силу

(3.62) следует,

что при т ^ т 0

||(о)

M

II П 0 г (т) II < сг ехр (—а (г—т0 )) ||П0 г (т0 ) || <

<

ôcj ехр (—а (т—т0 )).

Зафиксируем

произвольное к

из интервала

0 < к < а.

Тогда

и

И (о)

Il IIe z (т) II ^

ехр (—и(т—т0 ))

при т ^ т 0

. (3.64)

Возьмем

теперь

столь

малое

г > 0,

чтобы

имело

место

неравенство

q = ec1f(a — и) < 1.

Этому

е соответствует некоторое

т] = т](е) такое,

что

спра­

ведливо условие

(3.61). Возьмем далее ô в

неравенстве

(3.59)

столь малым, чтобы было

6^/(1— <7)<г|.

Такое

ô всегда

можно

взять

при достаточно

большом

т0 = т „(о) .

Тогда

в силу

(3.64) и (3.61) будут

справедливы

неравенства