Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 289 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

80			КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ. 4
Так		как Rk	зависят от коэффициентов разложения (4.2),
то	уравнения (4.3) можно рассматривать как			уравнения,
из	которых		эти коэффициенты определяются. Можно ожи
дать,		что построенное таким образом разложение (3.24) —

(3.26), являясь асимптотическим разложением решения начальной задачи (3.18), (4.2), будет в то же время асим птотическим разложением решения задачи (3.18), (4.1).

Такова основная идея применения результатов главы 3 к решению задач с дополнительными условиями, более сложными, чем начальные. В § 13 настоящей главы будет показано, как на основе этой идеи строится асимптотика решения двухточечной краевой задачи для системы (3.18), и одновременно исследуется вопрос о существовании и единственности решения такой задачи. Там же показы


вается,	как эти		же соображения можно применить к реше
нию многоточечной				задачи, задачи с		подвижной границей
и другим.
Следует, однако, обратить внимание на то, что при
таком	подходе		заранее предопределен асимптотический
тип решения		задачи		(3.18), (4.1), а именно—заранее			пред
полагается,		что	это решение		имеет	пограничный	слой
в окрестности t = 0.				Так естественно считать, если урав
нение F (z, у,		t) = 0		имеет устойчивый вправо корень z =
= у (у,	t). Если		же	уравнение	F (z, у, t) = 0 имеет корень,

устойчивый влево, то естественно искать решение той же задачи (3.18), (4.1) с пограничным слоем на правом конце рассматриваемого отрезка. Этот случай сводится к пре дыдущему простой заменой независимого переменного и поэтому специального рассмотрения не требует. Если же


уравнение F(z,y,t)			= 0 имеет	несколько		корней, среди
которых		есть как	устойчивые	вправо, так		и устойчивые
влево,	то	решение	с пограничным		слоем на левом конце
может	сосуществовать с решением,				имеющим пограничный

слой на правом конце, точно так же, как могут сосуще ствовать несколько решений с пограничным слоем на

одном	из концов. Соответствующий пример будет приведен
в п. 2 § 13.
Однако этим не исчерпываются возможности примене
ния	результатов, полученных для начальной задачи,

к	исследованию краевых задач. При наличии как устой
чивых		вправо, так и устойчивых влево корней уравнения
F	(z, у,	t) = 0 могут существовать решения краевой задачи,

§	12]		ВВЕДЕНИЕ		81
исследование		которых	можно	свести к начальной	задаче
с	начальной	точкой tg	внутри	рассматриваемого отрезка.

Значение решения в этой точке, как и раньше, представ


ляется в виде (4.2). Кроме того, само ід				также		является
величиной, заранее не известной. При				этих	начальных
условиях		строится разложение вида (3.24) —(3.26), причем
при	построении слева от t0 используется			корень		уравне
ния	F (z,	у, t) = 0,	устойчивый влево, а	справа от t0 —
корень, устойчивый вправо. Подставляя				эти	разложения
в (4.1),		получим	уравнения для определения			t0 и х{.

Можно ожидать, что построенное таким образом разло жение для начальной задачи с начальной точкой (х°, / 0 ) , имеющее пограничный слой в окрестности точки t0, пред ставляет собой асимптотическое разложение некоторого


решения		задачи		(3.18), (4.1).	В § 15 для	двухточечной
краевой		задачи будет доказано существование решения
с	только	что	описанными асимптотическими			свойствами,
т.	е. с	пограничным слоем в окрестности t0,					который
получил		название		внутреннего	пограничного	слоя,	так как
t0	находится		внутри того сегмента, на котором				рассмат
ривается		решение.
	Только что изложенная идея сведения решения						краевой

задачи к решению начальной задачи с асимптотикой вида (3.24) (несмотря на то, что начальную точку можно брать как на концах отрезка, так и внутри него, и тем самым строить решения задачи (3.18), (4.1) с различным асимп тотическим поведением) позволяет, к сожалению, рас смотреть лишь довольно ограниченный класс задач. Дело в том, что при таком подходе требуется наличие устой чивых вправо или влево корней уравнения F (z, у, /) = 0, и только такие корни участвуют в построении асимпто тики вида (3.24).

Однако, как мы видели в главе 1, решение краевой задачи (см. (1.14), (1.19)) может иметь вполне определен ный предел в случае, когда корень уравнения F (г, у, t) = = 0 не является устойчивым ни вправо, ни влево: корни характеристического уравнения имеют разные знаки (см. (1.18)). Очевидно, для построения асимптотики такого решения ни один из изложенных выше способов не при годен. При исследовании таких краевых задач нельзя опираться на результаты главы 3, здесь нужен какой-то новый прием.

82	КРАЕВЫЕ	ЗАДАЧИ	[ГЛ. 4
В §	14 будет предложен	метод доказательства	суще

ствования решения и построения асимптотики двухточеч ной краевой задачи для случая, когда корень уравнения

F(z,y,	t) = 0 является		условно	устойчивым,	т. е.	отвечаю
щие	ему	характеристические		значения Х{ имеют		действи
тельные		части разных	знаков. Интересно		отметить, что

в этом случае асимптотика решения строится по-прежнему по схеме, развитой в главе 3, но с тем усложнением, что

пограничный

слой

появляется

как

на

левом конце,

так

и на правом

конце отрезка, и пограничные функции опре

деляются несколько иначе, чем в главе 3.

Введение

в рассмотрение

условно

устойчивых

корней

и построение разложения типа (3.24)

с двумя погранич

ными

слоями значительно

расширяет

класс задач

(3.18),

(4.1),

для

которых

можно

построить

асимптотику

ре

шения.

частности, в §

будет

рассмотрено

реше

ние краевой задачи, для которого

пограничный

слой

имеется

нескольких

внутренних

точках

сегмен

та [О,

1J.

Во

всех

перечисленных

случаях

предполагалось,

что

при каждом значении независимого переменного решение представляется в виде степенного ряда по \х типа (4.2). Однако этого может и не быть. В § 16 приводятся про стые примеры краевых задач, для которых указанное


свойство		не	выполнено,		а именно, значение			z	в точке
^ = 0	стремится			при и.—>0 к бесконечности. Можно						ли
распространить				описанные в главе 3 и в § 14 построения
также	и	на	этот случай?		Как	оказалось,	если в		уравне
ния (3.18) функция z входит						линейно,	то для		случая,
когда	в	(4.2)		присутствуют		отрицательные		степени		ц,

можно написать представление, аналогичное (3.24), в кото ром, однако, появляются пограничные члены с отрица тельными степенями L I . Такое представление будет полу чено в § 16. Возможность построения асимптотики решения начальной задачи для случая, когда в (4.2) присутствуют отрицательные степени (х, дополнительно расширяет круг краевых задач, для которых может быть получена асим птотика решения. Такие задачи будут рассмотрены также в § 16.

Таковы вкратце методы асимптотического решения краевых задач, которые будут рассмотрены в данной главе.

§ 13]

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ОДНИМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

§ 13. Краевые задачи с одним пограничным слоем

1. Двухточечная краевая задача. Алгоритм построения асимптотики. Рассмотрим на отрезке 0 ^ t ^ 1 систему

		^	=	F(z,y,t),			$	= f(z,y,t),		(4.4)
где z и F—М-мерные,					у	и /—/п-мерные вектор-функции,
и зададим для			нее	краевые			условия
			R(x(0,			L	I ) ,	х(\,	(і)) = 0,	(4.5
где	R—(M	-г-т)-мерная вектор-функция.
Докажем, что при определенных условиях краевая за
дача	(4.4),	(4.5)		имеет		решение с			пограничным	слоем
в окрестности			точки t		= О, и		построим асимптотику этого
решения. (Такого типа решения краевых задач рассматри
вались в [14].)
Исследование будем вести по определенному										плану.
Сначала по		способу, указанному						в § 12, построим некото
рые ряды типа (3.24)—(3.26), представляющие собой										асимп
тотическое		разложение			решения			вспомогательной		началь

ной задачи. Второй этап заключается в доказательстве того, что в окрестности главного члена построенного таким образом разложения действительно существует решение


задачи (4.4), (4.5), а построенное разложение является									для
этого	решения		асимптотическим				разложением.
В ходе построения на правые части (4.4) будут посте
пенно	налагаться некоторые					условия. Мы их		будем,	как
и в предыдущих				главах,	нумеровать I , I I , . . .
I .	Пусть	уравнение F {z,y,				t) = 0 имеет корень		z = ср (у,		t),
определенный			и	изолированный			в некоторой	области		D
пространства			переменных		(у,	t).
В	соответствии со сказанным						в § 12 зададим при £ =			0
начальное		условие
	Х(0,	Ll) =		X°(Ll) = X 0	+	L l X 1	+ . . .	. • - ,	(4.6)
где xk	(& =	0, 1, . . . ) — пока не известные параметры. Напи

шем асимптотику решения начальной задачи (4.4), (4.6) по

формулам	(3.24)—(3.26).
X (t, II) =	X (t, Li) +	ТІ.Х ( t ,	Li) =
= хй	(t) + ц £	(0 +	• • • + П0 х (T) + ц П ^ (т) + . . . (4.7)

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

В это разложение войдут параметры хк из (4.6). В х0 (t) войдет параметр у0, поскольку ~х0 (t) определяется из си стемы (см. (3.31))

			^ Г = /(*о. УоЛ),				г"0 = ф(Уо. О			(4-8)
с	начальным		условием (см. (3.122))
					У„(0) = У0.					(4.9)
	Далее,	хх(і)		будет	зависеть от параметра ylf				а	также
от	у0, г„,	поскольку (см. (3.33), (3.123))
^	= Fz(tUi		+ Fy(t)yi,		^		= lAt)~*x+ty{t)y-lt			(4.10)
						сю
				^i(0) = ^ +		S n j ( T ) J T .				(4.11)
						о
Зависимость			от у9 и z0		осуществляется через коэффициенты
					dz
правых частей				(4.10),	и	интегральный		член	в	(4.11)
(см. (3.34), (3.43) и (3.124)),						а	зависимость	от ух	(именно

эта зависимость будет нас интересовать в дальнейшем)

имеет	место вследствие того, что г/х входит в					(4.11).
И	вообще,	xk(t),	определяемые из	системы		(см. (3.36))
	^	=	FAt)~zk + Fy(t)lJk	+	Fk(t),
		л-				( 4 Л 2 )

^-=L(t)zk+fy(t)yk+fk(t),

будут зависеть через начальные условия (см. (3.123))

			Ук(0) = yk	+ ]nk_J(x)dx		(4.13)
от ук	(а также,		конечно,	от	xt(i<k)).
Чтобы найти все члены разложения (4.7), нужно знать
параметры		xk(k	= 0, 1, . . . ) . Их можно			последовательно
определить. Для			этого подставим формально (4.7) в (4.5),
после	чего представим (4.5) также в виде разложения по р .
При	этом	надо учесть, что х(\,			\i) = x(l,	р), так как члены
Ukx	j	при t = 1 экспоненциально малы и их можно от-

§ 1 3 ]

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ОДНИМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

бросить, поскольку они более высокого порядка малости, чем любая степень р, (см. также замечание 4 § 11). Что касается х (0, р), то х (0, р) = х° (р) и дается формулой (4.6). Таким образом,

Я(х°(р), x{l,VL))

= Re

+ \LRl+...+v.*Rk+...=0.

(4.14)

Отсюда

Rk = 0

(£ = 0 , 1 , . . . ) .

(4.15)

При

k = 0 имеем

Я 0 =

# ( х в , * 0 ( 1 ) ) = 0.

(4.16)

В этих

TH-f m уравнениях в

качестве неизвестных можно

рассматривать

М + т координат х0,

так как х0 (1) в силу

(4.8), (4.9) является известной функцией у0

(предполагаем,

что

задача

(4.8), (4.9)

имеет

решение на сегменте [0, 1]

при

произвольном у0 из некоторой области его изменения).

I I .

Пусть

система

(4.16) относительно х0 имеет реше

ние

хе = х%, и

функциональный

определитель

D (R0)/D

(х0)

А0

(х0 ) | w „ = А» Ф 0.

(4.17)

Найдя

х\,

можно

из

(4.8), (4.9)

определить

x0(t)

и,

кроме

того,

из

(3.43),

(3.124)

найти

П0 г(т)

(П0 і/(т) =

0).

I I I .

Пусть

(y0(t)tt)ÇD

при 0 < г < 1

(см. I).

IV. Пусть собственные значения Kt (t) матрицы Fz (t) = =^Fz(z0(t), y0 (t), t) удовлетворяют условию устойчивости вправо (см. замечание 2 § 11)

	Re%~i(t)<0			при		0 < ? <		1 , і = 1		М.	(4.18)
V.	Пусть	значение			zg принадлежит				области		влияния
точки	покоя	2 =					присоединенной системы				dz
				ф (t/J,		0)					=
= F(z,ylO)		(см. (2.24)).								k=l
Рассмотрим			теперь		уравнение			(4.15) для
		Rt	s	Rt	(x°) xx		+ R2	W ) \ (1) = 0.			(4.19)
Справа через R±			обозначена матрица производных от компо
нент R	по компонентам					х(0,	р), через R2 — матрица произ
водных	от компонент				R	по	компонентам		х(\,	p.);	R((x%)
(і = 1, 2) — краткое обозначение для /?; (х0 , х 0 ( 1 , х0))\х											= х 0

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

где ха (1, х0) — решение задачи (4.8), (4.9), взятое при t = 1. (Обычно мы в решении вырожденной системы не указы вали зависимости от начального значения, но здесь это существенно.)

В уравнении (4.19) в качестве неизвестных будем рас сматривать компоненты хг. Нетрудно видеть, что система (4.19) линейна по хх, поскольку система (4.10) для x1(t) линейна и г/, входит в начальное условие (4.11) также линейно. Убедимся, что определитель линейной системы (4.19) в точности совпадает с ДЦ. Действительно, матрица, отвечающая AJJ, имеет вид

	Ri№)	+ R,№)	дХпІІ'Хо)	(4.20)
(обозначения	Ri(x°0),	R2(x°0)—те	же, что в (4.19)),	а мат
рица системы	(4.19)	имеет вид

Ri W) + RAx°o)dXld(ï;Xl)-

die (I X )

Входящая в (4.20) матрица — 0 * ' 0

ох0

(4.21)

определяется систе-

мой, получающейся дифференцированием (4.8), или, как часто говорят, системой в вариациях, отвечающей (4.8). При этом, очевидно, х0 от z0 не зависит, т. е.

дх0	(t, х0) ' .= 0,	(4.22)
	дг0
dx0(t, х0) определяется	уравнениями
		(4.23)

и (см. (4.9)) начальными условиями, которые задаются лишь для неизвестных типа «г/»,

		&<Ш	= ЕЯ,	(4.24)
(Ет—единичная	(m хт)-матрица).
дх	(t	X )
Матрица —	,	входящая в (4.21),		определяется
			дх	(t X )

аналогичным образом из (4.10), (4.11): — ^ ' і ; = 0, а

§ 1 3 ]	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	С ОДНИМ	ПОГРАНИЧНЫМ	СЛОЕМ	87
		дх, (t, хЛ		,	,
система уравнении для		— — —	получается	дифференци

рованием (4.10) по ух и, очевидно, совпадает с (4.23).

Начальные

условия для

Х і

* ^

получаются

дифферен

цированием

(4.11)

тоже

ту!

(4.24).

Следова

совпадают

тельно,

dxt

(1,

хх)

дха

(1,

х„)

дхх

дх0

Таким образом, определитель системы (4.19) действи

тельно равен

AJ, а значит,

силу

I I она разрешима отно

сительно

хх.

Rk = 0 можно определить

хк.

Точно так же из системы

представляет собой линейное выражение относительно

хк{\)

(*») хк

(*•) xk

( 1 ) +

rk = 0,

(4.25)

котором

неоднородность

гк

зависит

лишь

от

х,

(і <

k).

Матрица

коэффициентов

при

системы

(4.25)

отли-

дх

X )

чается от

(4.21) тем, что

вместо

— ^ '

нее

входит

охк

Как и для £ = 0,1, d

\ « ' x

à J o ,

a д

\ [ і

Xk)оире-

агк

аук

деляются

системой

вариациях,

отвечающей

(4.12),

т. е. такой

же

системой, как (4.23), и

в силу

(4.13)

таким

же

начальным

условием,

как (4.24),

откуда

следует,

что

дхк

(1,

xk)

дх„ (1,

хр)

дхь

дха

Итак,

мы

можем последовательно

определить все пара

метры в

(4.6)

и все члены

разложения (4.7). Как оказы

вается, это разложение будет асимптотическим разложе

нием решения

задачи

(4.4),

(4.5),

которое

действительно

существует и в определенном смысле единственно.

Добавим

уже

перечисленным

требованиям

требова

ние

типа

I главы 3 в

отношении

порядка

дифференцируе

мое™ правых частей (4.4), а также

R(x(0,

L I ) ) ,

x(l,

L I )

V I . Пусть

F(z,y,t)

f{z,y,t)

имеют

непрерывные

производные до (п-\-2)-го

порядка включительно

некото-

сой

Ь-трубке

кривой

L„, a

R(x(0,\x),

х(\,\і))

обладает

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ.

непрерывными

производными

до

(м +

порядка

включи

тельно в окрестности

точки

(х°0,

xa(l,xl)).

Здесь L 0 — та же

самая

кривая,

которая встречалась

уже

в главах

2 и

которая

состоит

из

двух

звеньев:

L„

={(z,

у, t):

z =

z0 (0) +

no z (T),

т > 0 ;

у = у*;

/ = 0},

y,t):

z = z 0 (0,

У = УАІ),

0 < ^ < 1 } .

Обозначим,

как

главе 3, через

X„(t,

р) частичную

сумму разложения (4.7). Имеет место

Т е о р е м а

4.1. При выполнении условий

I — V I

найдутся

постоянные р 0

> 0 ,

ô >

0 « с >

О такие, что при 0 < р ^

р 0

в 8-трубке

кривой

Ь0

существует

единственное

решение

X(t,

р) задачи

(4.4),

(4.5),

имеет

место

неравенство

\\X{t,

p)—Х„ {t,

p) II < с р п +

при

О < t <

1. (4.26)

З а м е ч а н и я . 1. Если речь идет только о существовании и единственности решения, то достаточно положить в условии VI

п= 0.

2.Из (4.26) следует

lim

Y(t,

\i) =

y0(t)

при

0 < * < 1 ,

и -> о

т. е. построенное

решение

имеет

пограничный

слой

окрестности

/ = 0.

Совершенно

аналогичная теорема

имеет

место

для случая

пограничного

слоя

в окрестности

f = l ,

если

условии

(4.18) изме

нить знак

на

противоположный

во

всех

построениях

граничные

точки

t =

и t = \ поменять

ролями.

= 0,

При

наличии нескольких

корней

уравнения

F (г, у, t)

и также

при

наличии

нескольких

решений

уравнения

/ ? 0 = 0

(см.

(4.16)) могут существовать несколько решений ^указанного в теореме 4.1 типа (см. пример в конце п. 2), а также могут сосуществовать решения с левым и с правым пограничным слоем. Тем самым един ственность в целом для решения задачи (4.4), (4.5), вообще говоря, места не имеет.

2. Доказательство теоремы 4.1. Начнем с того, что получим ^некоторые нужные для этого доказательства соотношения.

Обозначим через x(t, р, х°) решение начальной задачи х(0, р, х°) = х° для системы (4.4). Исследуем R(x°, х(1, p, X0)) как функцию хй и р. Обозначим через А (х°, р)

§ 1 3 ]	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ОДНИМ ПОГРАНИЧНЫМ						СЛОЕМ	89
определитель		D(R)/D(x°).		Покажем,		что	имеет	место
асимптотическое представление
		А(х\	р) =	Д0 (х°) + О(ц),				(4.27)
где Д0	(л:0 )—определитель			D(R0)/D(x°),		который был вве
ден выше (см. (4.17)), но				только в данном			случае	аргу
мент обозначен через х° вместо					х0.
Элементами определителя А являются величины
Я Л * 0 ,	х(\, p.,	x«)) +	R2(x°,	х(\,	р., х°))дх(1'д£		* 0 ) ,	(4.28)
где обозначения R{ имеют				тот же смысл, что и в				(4.19).
Согласно результатам			главы 3 (см. § 1 1 , замечания					4 и 6)
	x (1, p., *°) = Jë0 (l,				*°) +	0(\|і),		(4.29)

где x0(ï, х°) — решение вырожденной системы (4.8), удов летворяющее условию у0 (0, х°) = у0. Что касается

дх (t и х°)

— — - ,	то эта матрица удовлетворяет				системе,	полу
чающейся дифференцированием (4.4) по х°:
ж Ш = Г Л		* .	У,	t)-^ + fy(z,	у, t ) & .	(4.30)
	дх	(0, il,	ха) _	р
Система	(4.30) — того же типа, что и исходная система
(4.4), но р, входит также и в правую часть (через x(t,						р., х°),

от которого зависят коэффициенты). Поэтому непосред ственно применить к (4.30) результаты глав 2 и 3 нельзя. Однако эту трудность можно обойти, рассматривая (4.30) в совокупности с (4.4). Нетрудно убедиться, что такая

объединенная система	удовлетворяет	всем	требованиям
глав 2 и 3. (Предлагаем	читателю в качестве		упражнения
проверить это утверждение.) Поэтому		согласно результа
там глав 2 и 3 имеет место представление
дх(і, ц, х°)	( дх \
дх°	~\дх°]о < в 1 + 0 ( \| і ) ,		(4.31)

где (J^e—решение

вырожденной системы, отвечающей

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 289 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ