книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

101

Так

как матрица А имеет часть собственных

значений

с положительными действительными

частями,

то

точка

покоя

£ = 0 системы (4.59) не является устойчивой по

Ляпунову. Однако, как будет видно

ниже, в <ВМ

суще­

ствует

линейное подпространство Sk

размерности

k

(k —

точка

покоя £ = 0 системы

(4.59) будет

асимптотически

устойчивой по Ляпунову при г — > - о о . é)k

естественно на­

зывать

устойчивым

подпространством.

Если выполняется

(4.58), то будем говорить, что точка

покоя

£ = 0 системы

(4.59)

является условно устойчивой.

рассматривается

не на всем

пространстве

а

только

на некотором подпространстве <gk.

Убедимся в

существовании

устойчивого подпростран­

ства ê k

и посмотрим, какой вид принимает (4.59) на этом

подпространстве. Сделаем

в (4.59) замену

переменных

(4.60)

где матрица В приводит матрицу А к

блочно-диагональ-

ному виду

причем

С + имеет

собственные

значения

Xlt

%k, а С~

имеет собственные значения Я,А + 1 ,

. . . , %м . Такая матрица

В

заведомо существует, например,

матрица,

приводящая

А

к жордановой

форме. Система

(4.59)

принимает

вид

(4.61)

(4.62)

В силу

свойства

матрицы

С точка

покоя

Tjj = 0

системы

(4.61)

будет

асимптотически

устойчивой

яри

т — > - о о ,

а точка

покоя

г|2

= 0 системы (4.62) асимптотически

устой­

чивой при X—>• —

с о .

Рассмотрим множество траекторий системы (4.61),

(4.62) ,

удовлетворяющих

начальному

условию

п2 (0) = 0

102

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

("Оі (0) произвольно).

Тогда

г|2 (т)==0. Этому

множеству

траекторий

в

переменных

£ будет

отвечать искомое <£к.

Полагая в

(4.60)

т)3 = 0

и

пользуясь формулой (4.54),

получим

Ei =

ß u % .

S, = ß,i% .

(4.63)

Предположим,

что

D e t ß n ^ 0 .

(4.64)

Тогда, исключая в (4.63) r\lt

получим уравнение <Вк в пере­

менных £:

Ъ = ВлваЬ.

(4.65)

Подставляя

это в

(4.59),

получим

для £х уравнение

ï

=

И п +

Л А і В Д

С і ^ ^ С і -

(4-66)

Убедимся,

что

матрицы

Л

и С + связаны следующим со­

отношением:

Ä = BNC+B^.

(4.67)

ства

йі = Впу\1

с учетом (4.61) имеем

^

= В11^

= В11С*ц1^В11С*В^.

(4-68)

Сравнивая (4.66) и

(4.68), получим

(4.67). Соотношение

(4.67) можно

также

получить непосредственно из равен­

ства

АВ = ВС

(оно следует из В~ІАВ

= С), приравнивая

следует, что А имеет те же собственные

значения,

что

и С+, т. е. Àj, . . . ,

Кк.

Полученный

результат сформулируем в виде леммы.

Л е м м а

4.1.

Система

(4.59)

при

условиях (4.58),

(4.64)

имеет

интегральное

многообразие

вида

(4.65),

на

котором система

(4.59)

принимает

вид

(4.66),

причем

А

имеет

собственные

значения

Kt

%k.

З а м е ч а н и я .

1.

Аналогичную

лемму можно

сформулировать

относительно интегрального

многообразия,

отвечающего

. . .

. . Д д і ,

при условии

Det

Вгіф0.

2.

В двумерном

случае {Хг < 0,

%2 > 0)

эти многообразия пред­

ставляют собой сепаратрисы седла (0,

0).

§ H i

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

103

Заметим,

что 5 f в

рассматриваемом случае

играет

совершенно

аналогичную

роль (при т—»--y-co), что

и об­

покоя (см. п. 2 § 7). Структуру

S+

в

целом мы не рас­

сматриваем, так же как и структуру

области влияния.

Существование S+ в некоторой достаточно малой окрест-

ности

£ = 0 доказано, например,

в

[37]. (Напомним, что

для

асимптотически устойчивой

точки

покоя существова­

вости.)

Аналогичное

замечание можно

сделать

и относи­

тельно

S~.

Геометрически

S +

и S -

представляют собой не гипер­

плоскости, как это

было

в линейном

случае,

а, вообще

говоря,

некоторые

гиперповерхности в

пространстве

SM,

проходящие через

начало

координат.

(4.57), будучи

автономной,

имеет M — 1 первых

интегра­

лов вида

t M P ,

=

(<'=!

М-\).

(4.69)

tM) = ct{ult

. . . . ик_})

(t = l ,

M - l ) .

Исключим из этих уравнений

«!,

ик_1.

Тогда оста­

нется M — k уравнений

вида

ÇM ) =

0

(/ =

£ + 1

М),

104

кРАЁВЫЕ

ЗАДАЧИ

[гл. 4

Предположим,

что эта система разрешима

относительно

I

м ,

т.

е.

£' =

Ф ' ( £ \

...Л")

(i = k+\,

M),

или, применяя

обозначения

(4.52),

£2 = Ф 2 ( У -

(4.70)

По самому построению (4.70) является тождеством

вдоль траектории. Поэтому

^

— -щ^'~^г

и л

и

F 1 ( Ç ( T ) ) = H ( £ 1

( x ) ) F i a ( T ) ) .

(4.71)

Здесь Fx

и F2 —А- и (М—/г)-мерные

блоки

вектор-

столбца F (см. (4.52)), Н(1,1) = Щ^. Поскольку

поверх­

тождественно по £г

^

=

M S О

(4.72)

(С (Çj) означает,

что вместо

£2

подставлено Ф 2

(^)).

Подставляя (4.70) в правые части (4.57),

получим

Ф

=

(4.73)

^

= F 2

№ ) ) .

(4.74)

Определим £,і

(т) системой

(4.73), а £2 (т) через ^ (т) по

относительно

S+.

1°. Пусть

S+ в некоторой

области G+ изменения Z,\

представимо

в виде

£2

= Ф 2 ( У .

(4.75)

Если рассматривать

(4.57)

на многообразии

S+, то,

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ

СЛУЧАЙ

105

Система (4.59) является системой линейного прибли­

жения для (4.57). Соотношение (4.65)

будет

линейным

приближением

для

(4.75), система (4.66) — линейным

при­

ближением для (4.73). Отсюда

следует,

что точка

£і = 0

для

(4.73) будет асимптотически устойчивой

и, как в лем­

ме 3.1

(см. п.

3 §

10) для П0 г(т),

для

£j (т) справедлива

экспоненциальная

оценка

типа

(3.58),

если

^ ( 0 ) g G + .

Такая

же

оценка

для

£2 (т)

следует

из

(4.75),

если

С,(0) =

Ф,(£1 (0)).

предположение,

аналогичное

Г

Введем

теперь для 5

для

S+.

2°.

Пусть

S~

в

некоторой

области

G~

изменения

£,2

представимо

в

виде

£і = Фі(£,)-

(4-76)

Отсюда

следует

для

£2 уравнение, аналогичное (4.73),

и

экспоненциальная

оценка для £2 (т) и ^ (т) при т—>- — оо,

если

£ 2 (0)gG~,

t,x

(0) = Фі (£2

(0)). Полученные

результаты

сформулируем

в виде

леммы.

Л е м м а

4.2. Если

начальная

точка

£(0) для

системы

(4.57)

принадлежит

S+, то имеет место

нершенство

||Цт) | К

с ехр (—хт)

при

т > 0 .

(4.77)

Если

начальная

точка

1,(0) принадлежит

S~,

то

H £ (т) И ^ с е х р

(хт)

при

т - ^ 0 .

Точку

£ = 0

для

системы

(4.57) будем

называть, как

и для

линейной

системы

(4.59),

условно

устойчивой

точ­

кой

покоя.

Рассмотрим теперь систему в вариациях для (4.73),

(4.74)

и

(4.75):

^

Л

А

+ Л А ,

(4.78)

^

= F 2 1 A 1

+ F2 2 A2 ,

(4.79)

Д2 = ЯА1 .

(4.80)

Здесь

через

Alt

А2 обозначены блоки неизвестной

вектор-

функции

Д, через F/ ; -— блоки матрицы Fv

Fif

берутся

от

аргументов £ (£t

(т)),

где £д (т) — 0 при т —• о о .

Убедимся, что (4.79) является следствием (4.78) и

(4.80)

(в

полной

аналогии

ç

тем, что (4.74) — следствие

^ = « ^ + f

а , - Я ^ . + ( ^ л ) 4 , -

!W(F„ +

F „ H ) + ( g F 1

) ]

А„

(4.81)

где

/дН

с \

означает

матрицу с

к

элементамиV / „ —у-niг •

д Н І

І

Дифференцируя

теперь

тождество

(4.72)

по

компонен

там

£1 ;

получим

F21 + F22H

= H (Fn + F12H) + (~

Ft

В

силу

этого правая часть (4.81) принимает вид F2lAt

- j

+ F22HA1,

что

совпадает

с правой

частью

(4.79).

Таким

образом,

(4.79)

действительно

является следствием

(4.78)

и

(4.80).

Если

(т) определить

уравнением

=

Fu

A i + F12HA,

^ FAlAu

(4.82)

a

A2

(т)

через

At (т)

И З (4.80),

то в

силу только что

ска­

Это

решение можно подчинить начальному условию

А1 (0) = А», А2 (0) = Я(С1 (0))А»,

(4.83)

где

A4 произвольно. Таким образом, мы получили

реше­

(4.73), то Fbt в пределе при т—>- о о совпадает с матрицей

А

из

системы (4.66), являющейся линейным приближением

для (4.73) в окрестности точки £ j = 0, т. е. F A , (£ (£х ( о о ) ) )

=

=

^д, (£ (0)) = А.

Поэтому,

опираясь на

результаты п.

3

§

10 (однородная

система,

отвечающая

(3.74), является

системой в вариациях для

(3.43), и для ее решения спра­

для

А1(х),

а в силу (4.80) и для

А2 (т). Полученный ре­

зультат сформулируем в виде леммы.

Л е м м а

4.3.

Решение

системы

(4.78), (4.79) с началь­

ными

условиями

(4.83) удовлетворяет

неравенству

II А (т) Ц ^ с е х р

(—хт)

при

т ^ 0 .

§ H ]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ

СЛУЧАЙ

107

В системе (4.78), (4.79) блоки

F ц

зависят

от £j (т),

которое

стремится к

нулю при т—->-оо.

В пределе ( т = о о )

матрица

F^ (£ (£х (т)))

обращается в

матрицу А, введенную

пример, [50]),

что

фундаментальная

система

решений

(ф. с. р.) (4.78), (4.79) состоит из k векторов, стремящихся

экспоненциально

к

нулю при т — ю о ,

и M—k

векторов,

имеет

ф. с. р. из k векторов,

которые

экспоненциально

убывают. Таким

образом,

ф. с. р. (4.82)

совместно с (4.80)

дает те

векторы

ф. с. р. (4.78),

(4.79),

которые экспонен­

циально

убывают при т—>оо.

Убедимся теперь, что если начальные значения не

удовлетворяют

(4.83),

то

решение

(4.78),

(4.79) не может

стремиться к нулю при

т — » - о о .

Допустим, что оно стре­

мится

к нулю. Тогда

оно представляет

собой линейную

Л е м м а

4.4.

Если

начальные

значения

для

системы

(4.78),

(4.79)

не

удовлетворяют

условию

(4.83),

то реше­

ние (4.78), (4.79) не может стремиться к нулю при

т—• со.

С л е д с т в и е .

Не существует

нетривиального

решения

системы

(4.78),

(4.79),

стремящегося

к

нулю при

т - ^ с о

и удовлетворяющего

условию

Д ^ О ^ О .

Действительно,

пусть такое решение существует. Тогда

обязательно

Д2 (0)^=0,

так

как

иначе

решение

было бы

тривиальным. Но если

Д2

(0)^=0, то (4.83)

не выполнено

и согласно лемме 4.4 решение не может стремиться

к нулю

при

т — > •

со.

В дальнейшем нам придется иметь

дело с неоднород­

ной

системой

типа

(4.78),

(4.79)

^

= F c

(Ç

(т))) Д +

tp (т),

(4.84)

где

H і|з(т) H <!сехр (—ит)

при

т ^ 0 .

Л е м м а

4.5.

Существует

единственное

решение Д (т)

системы

(4.84), стремящееся

к

нулю

при

г—>-со и

удовле­

творяющее условию

А1(0) = А\. Для

этого

решения

имеет

место

неравенство

IIА ( т ) | | < с е х р ( — х т )

при

т > 0 .

(4.85)

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[гл. 4

Построим сначала частное решение (4.84), стремящееся

к нулю

при

т — < - о о . Сделаем

в

(4.84)

замену переменных

A ^ ô j ,

А2 = Н81

+ Ь2.

(4.86)

Подставляя

(4.86) в

(4.84),

получим

=

F A

A +

F12b2

+

(т),

^

=

F A i ô t

+ гр2 ( т ) - Я ^ 1

(т),

(4.87)

где

F A l

определено

в (4.82), a

F A ,

=

F22—Я/*"м.

Выше,

рассматривая

систему

(4.82),

мы видели,

что

предельное

значение FA,

при

т — > - оо

равно /^,( £ (0)) —

= Л = ВпС+В^і.

Оказывается,

предельным

значением

FÀT

при т -—»• со является матрица F

А,

(£ (0)) = À = ( C ß " 1 ^ ) - 1 X

X С" (-ß_1)22>

имеющая

в

силу

свойства

матрицы

С~ соб­

ственные

значения

с

положительными

действительными

частями. Существование ( ( ß -

1 ^ ) - 1

при

условии

(4.64)

легко

усмотреть

из

(4.55),

если положить

там А = В, так

как

при этом

H =

((В~1)22)~1.

У п р а ж н е н и е .

Убедиться

в

справедливости

равенства

FA,

« (0)) =

Ä.

Обозначим

через

Ф (т) и W (т) фундаментальные

мат­

рицы

однородных

систем

аФ/ах = / д , Ф ,

d4!jdx =

Fд,1?'.

место

аналогичное неравенство

I I Y C O ^ - ^ I K c e x p t — x ( s — т ) ) при

0 < T < S .

(4.88)

Из

второго

уравнения (4.87), используя условие

б2(т)—>-0 при т ->- о о и фундаментальную матрицу

^ ( т ) ,

получим

ч

Ô, (т) =

5 Y (т)

(s) [гр2 (s)-H^

(s)} ds.

ряющее условию 6^(0) = 0,

в виде

х

Ô, (т) = J Ф (т) ф-і

(s) [Fu6t (s) + (s)] ds.

о

системы (4.84).

Чтобы

получить

решение, о

котором

говорится

в лемме

4.5, нужно

к построенному

частному

решению

удовлетворяющее

условиям

М 0 )

= А;,

А1 (0) =

Я( £ 1 (0)) А;.

Это решение согласно

лемме 4.3

также удовлетворяет

Единственность

решения

следует

из

следствия к

лемме 4.4.

Утверждения,

аналогичные

леммам

4.3,

4.4

и 4.5,

имеют место и для

S~.

В заключение заметим, что принятая здесь в целях

большей

простоты

изложения

аналитическая форма опи­

сания S +

и S~ (см. требования

1° и 2°)

является

неко­

более

общее описание S+,

S~

и

прочих

объектов

этого

раздела, носящее геометрический

характер.

4. Постановка краевой задачи. Рассматриваемая си­

стема уравнений по-прежнему

имеет вид (3.18)

vft

= F{z, у, t), $=Г(г,у,

0

( 0 < / < 1 ) ,

(4.89)

где z

и F — М-мерные, а у

и

f—m-мерные

вектор-функ­

гх (0, ц) = г°,

z2 (1,

ц) = г\,

(4.90)

у{0,р)

= у*.

(4.91)