книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

171

U)

~

U)

'

! (2)

— (2)

^dxok(0)J

dxlk(0)

\dxok(\)J

dxlk(\)

следуют

из того, что система

— 0,

или система (4.290),

является

системой

уравнений в

вариациях

для (4.279).

Далее,

производные

д**к

^

(і = 1, 2)

(как это видно из

дум

Ѵо)

(4.276),

если

второе уравнение в (4.276) записать в виде

(О (О

^(го> Уо'0= 0)

удовлетворяют

однородной

линейной

системе,

в точности

совпадающей с однородной системой,

отвечающей (4.287) и начальным

условиям

(О

дум

(<)

ôks

(4.298)

дуоз

(h)

(àks—символ

Кронекера). С другой

стороны,

в силу ли-

нейности

(4.287) система для д х ^ к

^

также

совпадает с

ду~и

(to)

условия

имеют вид

(0

дуікУ)

=

ô*„

(4.299)

(£)

t=t°

dyls

(

il)

е. совпадают с (4.298). Отсюда

следуют равенства

(I)

\ 0

(1)

/(2 )

\0

(2)

дхп

(0) \

_ дх1к

(0)

,

ох»/, (О \

_

ахлк(\)

(4.300)

О)

/

<і>

'

(2>

Kàyos(t0)J

dyls(t°0)

\dyos(t0)J

dyls{tî)

Наконец,

равенство

производных

/ (£)

N °

( £ )

дУоЛіо))

=

Э У і Л Я ) = ь

( 4 3 0 1 )

ауы

J

дуп

s

l .

172

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

очевидно в силу (4.277), (4.288), (4.289). Отсюда следует

совпадение выражений (4.293) и (4.294).

Для

сравнения

(4.295)

при y0

= yl,

t0 = t°0 и

(4.296)

/ (£)

\

о

(£)

остается сравнить

( дуоЛ^о) j

и

дуіЛ

. Имеем

=

- / , ( ф ( і Я ,

О ,

08, П).

(4.302)

Чтобы

вычислить d y i s ( ^ ,

перейдем в интегральных чле-

нах

в (4.288) и (4.289)

к переменному z,

используя

(4.285),

f

/ ( ^ ! . - ; ) - ; U U Î . ' : ) . » ; . 4 ) , Z - ,

J

J

F (z,

i/o, 'о)

О

г0

(4.303)

' W < 8 )

J

J

f ( z ,

y0,to)

0

z0

Отсюда

A L K )

bfflyS, ill

УІ tj)-f,(z0,yl,

tl)

. . . . . .

~

^ T =

^u„.yg,/S)

•

( 4 - 3 0 4 )

Это

выражение

отличается от (4.302).

Но оно разбивается

на

два

слагаемых,

второе

из

которых,

т.

е.

— fs (2о> Уо>

(zo> Уо> *о) °т і не зависит. При подстановке

(4.304)

в (4.296) эти вторые слагаемые дают

О)

(2)

\

àRij

dxlk(0)

ÔRlj

dxlk(\)

\ / x ( z „ , yl, tl)

ô)

Tu

+ Ц )

7!)

J /=- (z0, y8, /S) •

l

4 - d U

^*«(0)

dyls(tl)

dxlk(l)

dyls{ll)/

Учитывая

теперь,

что в силу

(4.301)

выражение

(4.294)

§ 151

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ

СЛОЙ

175

жается

опять

же через

пограничные

функции

меньших

(1)

номеров,

то зависимость

Qkf(x)(О

от zk

обусловлена только

наличием

члена

fz(z,

у°0,

t°0)Qkz

(т). Рассмотрим

о

7,(z,

УІ

t°0)Qkz(r)dx.

(4.311)

(1)

S

Qkz(x)

удовлетворяет линейной системе (см. (3.82) с уче­

том

замечания

2 § 11)

Wf

= Fz(l

уі

t%)Qkz + Gh(x) ( т < 0 )

(4.312)

(где

Gk

(т)

зависит

от пограничных

функций

меньших,

(О

чем k,

номеров

и от

Qky{x))

и начальным условиям (см.

(3.80))

(1)

(1)

QkZ(0) = zk—

zf c (/0 ).

zkzx<p(\Fz(z,

у*,

t°0)ds)

N0

/

и которую,

используя

(4.285),

можно записать

в

форме

4^(\FZ{Z,

у%, П)а8)

= гкехр(

J M » . f

g

£

) =

= zf t exp(lnF(z,

yl

t°)-\nF(zl

y»,

*•)) =

-<iVl'?r

(4-313)

(1)

r

(Zo. Уо, to)

Подставляя

(4.313) вместо

в выражение

(4.311),

Qkz(x)

176

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[гл. 4

получим

7

Г f

h

и"

mLil±y±Js>ïИг—

J

F(z0,

Уо,

г о ^

(1)

'S)

»('S-

^ ( г 0

,

г/о. 'о)

о

г о

_ 7

/(ф(у!1./,в),у8,<ов)-/(г!;,у!}, f8)

f (zS, yS,

О

откуда

следует, что интегральный член в (4.399) является

линейной

функцией

zk

с

коэффициентом, совпадающим

с

выражением (4.304) при і=

1. Аналогичный вывод имеет

место

для

(4.310)

и

(4.304)

при t = 2.

В силу всего сказанного разрешимость системы Rk+1 = 0

относительно yk+1,

zk следует из предыдущих

требований,

телем

— \/F(zl,

yl, tl) отличается

от А^ и, следовательно,

отличен от нуля. На этом можно

считать

формальное

построение

рядов (4.274),

(4.275)

законченным.

(«')

Обозначим через Xn(t,

p)(t =

l , 2) частичные

суммы

рядов

(4.274) и

(4.275)

и

пусть

Xn(t,

р)

при

0

Xn(t,

р)

при

* 8 < * <

1.

Введем

в рассмотрение

кривую

L 0 ,

состоящую

из трех

звеньев:

Ш

Ш

L 0

1

= {(z,

у,

t): z = z0 (0,

y = y,(t),

0 <

(J)

=

{(z,

У, t)

: Z = Z~(T),

— С О <

Т <

СО; у = у», t =

t°0\,

(2)_

L 0

3

=

{ ( 2 , У, t): z = z0{t),

y = y0(t),

1},

и присоединим

к I — V I

обычные требования

гладкости

правых

частей

(4.271) и функции R из (4.272).

V I I .

Пусть

F (z, у,

t) и

f (z,

у,

t) имеют

непрерывные

производные

до

(п-\-2)-го

порядка

включительно

в

некото-

§ 15]

ВНУТРЕННИЙ

ПОГРАНИЧНЫЙ

СЛОЙ

177

рой Ь-трубке кривой

L 0 ,

a

R(x(0,

р),

х{\,

р))

имеет

непрерывные

производные

до

(п + 2)

порядка

включительно

/ О )

(2)

\

в некоторой

окрестности

точки

\х0

(О, у°0, /J),

х0

(1,

z^)/•

Т е о р е м а

4.3.

При

выполнении

условий

I — V I I

най­

дутся

постоянные

р „ > О, Ô > 0 и

с >

0

такие, что

при

О <

р ^

р 0

в

Ь-трубке

кривой

L 0

существует

единствен­

ное

решение

X(t,

р)

задачи

(4.271),

(4.272),

и

имеет

место

неравенство

\\\X(t,

\x)—Xn(t,

p ) | | < c p n + 1

при 0 < * < 1 .

(4.314)

lim Y(t,

p) = y 0

( 0 = < (£)

[ Т о ( 0

при

/ о < / < 1 ,

а предельная

функция

для

2(/

ц)

имеет в точке

/• разрыв

первого

рода.

3.

Чтобы имело

место решение рассмотренного типа, правая часть

первого

уравнения

(4.271)

должна

быть

существенно

нелинейной

относительно

z (уравнение

F (г,

у,

t) = 0

относительно

г

должно

иметь

по

крайней

мере

два

корня).

4.

Рассмотренное

здесь

решение

может сосуществовать

с

реше­

нием, описанным в § 13.

5.

При

применении

теоремы

4.3

к конкретным системам

естест­

венно

возникает

вопрос,

какой

из

корней

уравнения F (г,

у,

t) = 0

(1)

(2)

принять

за

ф (у,

t),

а какой за

ф (у,

t).

В соответствии

с

рассмот­

что

оба

корня

определены в одной и той

же

области D

изменения

(у,

t), в которой для одного корня Fz (ф (у, t),

у,

t) > 0,

а для

другого

F г (ф (У,

t), у,

t) < О (некоторая окрестность точки (yl,

tl)

заведомо

(D

(2)

Ф (у, t), а второй

за ф (у,

t).

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

4.3 можно

провести

по

тому же

плану,

что и доказательство теоремы 4.1 в § 13,

рассматривая R

как

функцию

начального

значения

х°

при t =

taa. Однако, в

отличие

от

(4.27), асимптотическое

представление для А = D (R)/D

(х°) будет начинаться с члена

порядка

р. Это

тем не

менее

не помешает таким же даль­

нейшим

рассуждениям,

как в

§ 13, нужно только вместо

§ 15]

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

179

Краевые

условия

зададим в

виде

у (О,

р) =

0,

у(\,

р) =

0.

(4.320)

В ходе

рассмотрения

на

F(z,

у,

t) будут наложены не­

которые

условия,

которые

будем

нумеровать

I , I I , . . .

Кроме того,

ввиду

определенного сходства со случаем п. 2

некоторые детали

исследования

будут опущены.

I . Пусть

уравнение

F (z,

у,

t) — 0

имеет

три

корня

(О

t)(i=l,

2,

3),

каждый

из которых

определен

z = (f(y,

соответственно в области

(О

переменных

(y,t).

D пространства

Имея

в виду естественное обобщение случая, разобран­

пограничный

слой

появится на

правом конце и,

следова-

(1)

тельно,

корень

ср(г/,

t) должен быть устойчивым влево.

Точно

так же

(3)

будем использо­

корень ср (у, /), который

вать на участке

[t2,

1], должен быть устойчивым вправо.

(2)

На участке

[tlt

t2],

где будем использовать корень <р(у, t),

пограничный

слой

появится на обоих концах, и

поэтому

корень

(2)

ф(г/, t) должен быть условно устойчивым. Более

точная

формулировка

этих условий будет

дана ниже.

Как

и в п. 2, рассмотрим сначала вспомогательную

задачу

для (4.319), асимптотику решения которой будем

затем

подставлять

в

краевые

условия

(4.320),

причем

в качестве вспомогательной задачи в соответствии с пред­