6.6.5. Средняя квадратическая погрешность арифметической средины

Для определения средней квадратической погрешности арифметической средины рассмотрим ряд равноточных измерений одной величины l₁, l₂, l₃,…l_n , для которого среднее арифметическое равно .

Представим величину среднего арифметического в следующем виде

.

Тогда по формуле средней квадратической погрешности функции общего вида (6.22) получим

Так как в равноточном ряде измерений m₁ = m₂ = m₃ = … = m_n = m, и обозначив , будем иметь

. (6.23)

Таким образом, средняя квадратическая погрешность арифметической средины ряда равноточных измерений в раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

Используя формулу (6.23), можно определить число измерений, необходимое для достижения заданной точности, которое выразится

. (6.24)

Эту зависимость и используют для ослабления влияния случайных погрешностей измерений, но при этом нецелесообразно применять очень большое число измерений, так как для повышения точности в 2 раза необходимо 4 измерения, а для повышения точности в 4 раза уже 16 измерений.

6.7. Оценка точности неравноточных измерений

На практике очень часто выполняются неравноточные измерения. При вычислении наиболее достоверного значения из ряда неравноточных измерений одной и той же величины нельзя ограничиваться простым арифметическим средним, надо учесть степень надежности каждого результата измерений. Поэтому берется не просто среднее арифметическое, а весовое среднее арифметическое (средневзвешенное) или общая арифметическая средина.

6.7.1. Понятие о весе измеренных величин

Вес – это степень надежности результата измерения, степень влияния результата на весовое среднее арифметическое.

Чем больше вес, тем надежнее и точнее результат измерения.

Способ определения веса принимается такой, чтобы при более удовлетворяющем нас значении показателя вес последнего был больше, чем вес показателя менее нас удовлетворяющего.

За веса результатов измерений р_i принимают величину, обратную квадрату средней квадратической погрешности

, (6.25)

где с – любое число, являющееся коэффициентом пропорциональности;

m_i – средняя квадратическая погрешность измерения.

Иногда удобно в качестве весов брать число измерений в ряду, длину хода или число превышений, станций.

Для облегчения задачи отыскания весов обычно вес какого-либо результата принимают за единицу и относительно его вычисляют веса остальных неизвестных.

Обозначим через р вес одного результата измерения, а через Р - вес арифметического среднего из n таких измерений, тогда

или

Р = pn , (6.26)

где - средняя квадратическая погрешность арифметического среднего Р.

Таким образом, вес арифметической средины в n раз больше веса одного результата измерения.

Если полагать, что результат одного измерения имеет вес, равный единице, то вес арифметической средины будет равен числу результатов измерений, из которых она получена Р = n .