6. Основы математической обработки результатов геодезических измерений

6.1. Общие сведения о погрешностях измерений

Инженерно-геодезические работы непременно сопровождаются различного рода измерениями на местности, которые позволяют определить относительное расположение точек земной поверхности. При этом различают линейные, угловые и высотные измерения.

В результате линейных измерений получают наклонные и горизонтальные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют мерные ленты, рулетки, проволоки и различные дальномеры.

Угловые измерения позволяют определить величины горизонтальных и вертикальных углов. Для выполнения таких измерений применяют угломерные инструменты: теодолиты, буссоли, эклиметры.

При высотных измерениях получают разности высот отдельных точек. Для производства этих измерений применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры и т.д.

Результатом любого измерения является число, которое определяет отношение измеряемой величины к единице измерения.

Измерения, которые дают результат непосредственно, называются прямыми (непосредственными), а измерения, по результатам которых, используя определенные функциональные зависимости, вычисляют другие величины, называются косвенными (посредственными).

Для того, чтобы выполнить любое измерение, должно быть наличие пяти необходимых условий:

1. Объект измерения – это то, что подлежит измерению.

2. Субъект измерения – это тот, кто производит измерения.

3. Мерный прибор – это то, чем выполняют измерения.

4. Метод измерений – это совокупность правил и действий при измерениях.

5. Внешняя среда, в которой производят измерение.

Если в процессе измерений сохраняются неизменными все пять необходимых условий, то такие измерения называются равноточными.

Если изменяется хотя бы одно из пяти условий измерений (например, наблюдатели были разной квалификации), то производимые измерения будут неравноточными.

Каждое из перечисленных необходимых условий в процессе измерений порождает целый ряд элементарных погрешностей, суммарное действие которых образует погрешность результата измерений. В связи с этим результат измерений никогда не совпадает с истинным значением измеряемой величины – любые измерения сопровождаются неизбежными погрешностями.

Изучение основных свойств и закономерностей этих погрешностей составляет предмет теории погрешностей, которая, в свою очередь, является разделом теории вероятностей и математической статистики.

Ниже будет дана классификация погрешностей измерений, рассмотрена точность равноточных и неравноточных измерений.

6.2. Классификация погрешностей измерений

В зависимости от природы возникновения погрешности различны и разделяются на три основных вида: грубые, систематические и случайные.

Грубые погрешности резко отклоняют результат измерения от истинного значения измеряемой величины из-за промахов и просчетов. Они недопустимы и выявляются путем повторных наблюдений или контрольных измерений. Поэтому контрольные измерения являются необходимыми для исключения грубых погрешностей.

Систематические погрешности имеют определенное направление и величину и входят в каждый результат измерений по строго определенному закону. Их подразделяют на постоянные, имеющие неизменные знак и величину, и переменные – изменяющие свою величину от одного измерения к другому по определенному закону. Источником систематических погрешностей являются неисправности в применяемых инструментах (например, неправильная длина мерного прибора, отклонение визирного луча от горизонтали при нивелировании и т.д.), ограниченная точность прибора или его износ, неправильный выбор метода измерений, физиологические особенности наблюдателя, внешние факторы и т.д.

К примеру, если линия измеряется лентой, длина которой увеличена по сравнению с номинальной за счет температуры на величину l_t , то систематическая погрешность l в длине линии будет l = l_t  n, где n – число лент.

Влияние систематических погрешностей на результаты измерений исключается путем тщательной поверки измерительных приборов, применением соответствующих методик измерений и введением поправок в результаты измерений.

Случайные погрешности носят случайный характер, и их возникновение не подчиняется определенным математическим законам. Их действие на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. При повторении измерений в одних и тех же условиях случайные погрешности будут различны по величине и по знаку.

Наибольший интерес представляют случайные погрешности, так как их влияние на результат измерений невозможно исключить подобно грубым или систематическим погрешностям. Поэтому в дальнейшем будем считать, что результаты измерений свободны от грубых и систематических погрешностей и содержат только лишь случайные погрешности.

Случайные погрешности подразделяются на абсолютные и относительные погрешности.

А бсолютная погрешность (рисунок 6.1) – это отклонение  полученного результата l от истинного значения величины X

 = l – X. (6.1)

Величину  еще называют истинной погрешностью.

Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине

. (6.2)

Абсолютная погрешность показывает точность результатов измерений, а относительная погрешность позволяет оценить эту точность с достаточной наглядностью.

Например, две линии длиной 100 и 200 м измерены с абсолютной погрешностью  =  2 см. Относительная погрешность данных измерений показывает, что второе измерение в два раза точнее.

.

При оценке точности линейных измерений и построений относительная погрешность записывается в виде дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе – число, показывающее, какую долю измеряемой величины должна составлять допустимая абсолютная погрешность. Точность всех линейных измерений в триангуляции, полигонометрии и теодолитных ходах всегда задается относительной погрешностью, которая приводится в соответствующих инструкциях и наставлениях по производству указанных видов геодезических работ.

Теоретические исследования и многолетний опыт измерений показывают, что случайные погрешности обладают свойствами, основанными на статистических закономерностях, при этом чем больше ряд измерений, тем ярче и отчетливее выступают закономерности случайных погрешностей.