1.12. Прямая и обратная геодезические задачи

При вычислительной обработке результатов полевых измерений, передаче координаты одной точки на другую, проектировании участков и объектов, перед переносом проекта в натуру и проч. возникает необходимость решать задачи на плоскости в проекции Гаусса. В практике геодезических вычислений наиболее часто встречаются решения прямой и обратной геодезических задач путем использования достаточно простых соотношений между координатами двух точек на плоскости, расстояниями и направлениями линий, соединяющих эти точки.

1.12.1. Прямая геодезическая задача

Прямой геодезической задачей называется способ определения координат какой-либо точки по известным координатам другой точки, дирекционному углу и расстоянию между ними.

Дано: Координаты начальной точки А (Х_А; У_А), измеренное расстояние D между точками А и В, дирекционный угол  линии АВ (рисунок 1.28).

Необходимо найти: Координаты точки В (Х_В; У_В).

Решение: Через точки А и В проведем линии, параллельные осям координат. Из образовавшихся построений искомые координаты точки В выразятся

. (1.13)

С ледовательно, решение задачи сводится к отысканию значений отрезков АС и СВ, которые являются катетами прямоугольного треугольника АВС и равны проекциям линии АВ на оси координат.

Обозначим проекции горизонтального проложения D (линия АВ) на оси Х и У соответственно Х = АС и У = СВ, которые называются приращениями координат.

Из соотношений прямоугольного треугольника АВС значения приращений координат будут

. (1.14)

Приращения координат Х и У могут быть положительными и отрицательными. Знак приращения определяется значением дирекционного угла линии АВ и зависит от знаков cos  и sin  . Для различных значений углов  знаки приращений координат представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3 - Знаки приращений координат

Приращения координат	Четверть окружности, в которую направлена линия
	I - СВ	II - ЮВ	III - ЮЗ	IV - СЗ
Х	+	–	–	+
У	+	+	–	–

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам

. (1.15)

Знак приращения в формулах (2.3) зависит от названия румба.

На основании формул (1.13) и (1.14 или 1.15), искомые координаты точки будут

. (1.16)

В соответствии с формулой (1.16) можно найти координаты любого числа точек по правилу: координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс соответствующее приращение.

1.12.2. Обратная геодезическая задача

Обратной геодезической задачей называется способ определения дирекционного угла и расстояния между двумя точками по известным их координатам.

Дано: Координаты точек А и В (Х_А; У_А и Х_В; У_В) (рисунок 1.28).

Необходимо найти: Расстояние D между точками А и В, дирекционный угол  линии АВ.

Решение: Искомые величины находят из соотношений прямоугольного треугольника АВС по формулам

. (1.17)

По величине tg  с помощью тригонометрических таблиц определяется значение только острого угла r - румба линии, который по величине меньше или равный 90°, отсчитывается от оси абсцисс и совпадает с дирекционным углом  только в первой четверти.

Дирекционный угол, как известно, изменяется от 0 до 360°. При переходе от румбов к дирекционным углам необходимо учитывать знаки приращений координат, которые определяют четверть нахождения искомого направления (таблица 1.4).

Таблица 1.4 - Формулы перехода от румба к дирекционному углу

с учетом знака приращения координат

Четверть круга	Знак приращения		Формулы перехода от румба к дирекционному углу
	Х	У
I II III IV	+ – – +	+ + – –	 = r  = 1800 – r  = 1800 + r  = 3600 – r