4.2.4. Вычисление координат сомкнутого теодолитного хода

С геометрической точки зрения сомкнутый теодолитный ход представляет собой замкнутый многоугольник и поэтому должен удовлетворять следующим двум условиям.

1. Сумма измеренных внутренних углов сомкнутого теодолитного хода _изм должна равняться теоретической _теор, т.е.

, (4.2)

где n - число внутренних углов.

2. Алгебраическая сумма вычисленных приращений координат сомкнутого теодолитного хода по каждой оси должна равняться нулю, т.е.

. (4.3)

Для обеспечения этих условий производится раздельное уравнивание (увязка) горизонтальных углов и приращений координат.

Увязка горизонтальных углов сомкнутого полигона

Увязку горизонтальных углов начинают с подсчета суммы измеренных углов и вычислением угловой невязки.

. (4.4)

Если условие (4.2) не соблюдается, то разность между суммой измеренных углов и теоретической суммой будет являться погрешностью измерений, которая называется угловой невязкой f_.

. (4.5)

Фактическую угловую невязку нужно сравнить с допустимым значением, т. е. определить является ли ее величина результатом влияния грубых ошибок, имеющихся в измерениях или вычислениях. Допустимые угловые невязки доп f_ в геодезии устанавливаются по особым правилам теории погрешности измерений в зависимости от точности прибора и числа измерений углов и определяются по формуле

, (4.6)

где m_ - средняя квадратическая ошибка измерения угла (точность прибора).

Для теодолита 2Т-30 m_β = 0,5;

n - число вершин полигона (число измерений углов).

Для теодолита 2Т-30 .

Должно выполняться условие

. (4.7)

Если фактическая угловая невязка превышает допустимую и не выполняется условие (4.7), то имеют место грубые ошибки в вычислениях в полевом журнале, а еще хуже - в полевых измерениях.

Фактическую угловую невязку, если она допустима, распределяют на все углы поровну в виде поправок , но с обратным знаком

. (4.8)

Однако фактическая невязка очень редко делится на п без остатка. Тогда возникает необходимость в одни углы вводить большие поправки, чем в другие. Так как углы, заключенные между короткими сторонами, измеряются с большей ошибкой из-за центрирования теодолита и установки вех, то в них и вводятся большие поправки.

Увязанные углы _испр получают с учетом поправок

. (4.9)

Для упрощения вычислений поправок в углы их вводят с округлением до десятых долей минуты или до целых минут.

Контролем вычислений будут служить:

- точное равенство суммы поправок в углы и невязки, взятой с обратным знаком

; (4.10)

- точное равенство суммы увязанных углов _испр и теоретической суммы углов _теор

. (4.11)

Вычисление дирекционных углов и румбов

сторон полигона

Для ориентирования сторон полигона и получения координат точек его вершин нужно знать дирекционные углы и румбы сторон полигона.

Вычисление дирекционных углов сторон полигона

Зная дирекционный угол одной стороны, можно вычислить дирекционные углы всех остальных сторон полигона (хода).

Вычисления начинают со стороны, дирекционный угол которой известен из привязки хода к пунктам геодезической сети, например дирекционный угол _1-2 стороны 1-2 (рисунок 4.7).

Дирекционный угол _2-3 последующей стороны 2-3 будет равен дирекционному углу предыдущей стороны _1-2 плюс 180⁰ и минус внутренний угол β₂ , т.е.

.

Дирекционные углы остальных линий полигона вычисляются аналогично.

Тогда для всех сторон полигона можно записать

. (4.12)

Таким образом, дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180⁰ и минус внутренний угол между этими сторонами (лежащий вправо по ходу).

Контролем вычислений служит получение исходного дирекционного угла _1-2 стороны 1-2.

Если при вычислениях дирекционный угол превышает 360⁰, то из его величины вычитают 360⁰, т.к. поворот линии на 360⁰ не меняет ее направления.

При вычислении значений тригонометрических функций дирекционных углов пользуются таблицами, которые составлены в пределах от 0 до 90⁰. Поэтому вычисленные дирекционные углы переводят в румбы.

Вычисление румбов сторон полигона

Так как румбом r является острый горизонтальный угол между ближайшим северным или южным исходным направлением меридиана и направлением данной линии, то вычисленные дирекционные углы переводят в румбы по определенным зависимостям (рисунок 4.8).

Если дирекционный угол до 90⁰, то линия идет на северо-восток. Тогда для I четверти СВ румб равен дирекционному углу

r₁ = ₁ . (4.13)

Если дирекционный угол от 90 до 180⁰, то линия идет на юго-восток. Тогда для II четверти ЮВ румб равен

r₂ = 180⁰ - ₂ . (4.14)

Если дирекционный угол от 180 до 270⁰, то линия идет на юго-запад. Тогда для III четверти ЮЗ румб равен

r₃ = ₃ - 180⁰ . (4.15)

Если дирекционный угол от 270 до 360⁰, то линия идет на северо-запад. Тогда для IV четверти СЗ румб равен

r₄ = 360⁰ - ₄ . (4.16)

Вычисление и увязка приращений координат

вершин сомкнутого полигона

Приращения координат Х и У вычисляются по формулам прямой геодезической задачи

.

При вычислениях горизонтальных проложений линий d учитывается наклон линии к горизонту. Если угол наклона линии менее 1⁰,5 , то поправка за ее наклон к горизонту не учитывается и горизонтальное проложение принимается равное длине линии на местности.

Горизонтальные проложения вычисляют по известным формулам или путем введения табличных поправок. Очень часто по наклонной местности проходит не вся линия, а только часть ее, поэтому только в эти длины линии вводятся поправки за наклон.

Наиболее быстро приращения координат вычисляются при помощи микрокалькуляторов и ЭВМ. Также для вычисления приращений координат могут применяться специальные таблицы, например, «Таблицы для вычисления прямоугольных координат» Ф. Гаусса.

Знаки приращений координат определяются по знаку «косинуса» или «синуса» дирекционного угла.

Если бы результаты измерения углов и линий полигона, а также построений их на плане были точными, то, нанося полигон по углам и линиям, от точки 1 (рисунок 4.9 а) пришли бы в точности в ту же точку 1. Спроецировав все линии полигона на оси координат и отметив на них положительные приращения координат по одну сторону оси, а отрицательные – по другую, наглядно видно, что по каждой оси суммы положительных и отрицательных приращений по абсолютной величине равны, т. е. выполняется условие (4.3).

В действительности же результаты измерений углов и линий имеют ошибки, вследствие которых суммы приращений по осям координат не равны нулю (рисунок 4.9 б)

. (4.17)

Уклонения от теоретической суммы приращений, т.е. от нуля, составляют невязки по соответствующим осям координат f_х и f_у, которые равны

; (4.18)

или

. (4.19)

Прежде чем распределить невязки, надо убедиться в их допустимости, судя не по каждой отдельной невязке f_x и f_y , а по невязке в периметре полигона – по абсолютной линейной невязке f_р (рисунок 4.10)

. (4.20)

Абсолютная линейная невязка f_p напрямую зависит от периметра полигона Р. Чем больше периметр, тем большую невязку следует в нем ожидать. Поэтому и допустимость невязки нужно определять в зависимости от периметра полигона, т. е. как относительную линейную невязку . Допустимая величина относительной линейной невязки в периметре теодолитного хода при средних условиях измерения линий штриховой лентой не должна превышать 1/1000…1/3000 длины хода (периметра полигона).

Таким образом, допустимость абсолютной линейной невязки выражается формулой

. (4.21)

Если условие (4.21) выполняется, то линейные невязки по осям координат f_x и f_y распределяются в виде поправок на все приращения по соответствующей оси с обратным знаком и пропорционально горизонтальным проложениям линий

. (4.22)

Тогда увязанные приращения координат Х_испр и У_испр с учетом поправок определятся по формулам

. (4.23)

Контролем вычислений будут служить:

- точное равенство сумм поправок в приращения координат по каждой оси и соответствующей невязки, взятой с обратным знаком

; (4.24)

- точное равенство сумм увязанных (Х_испр, У_испр) и теоретических (Х_теор, У_теор) приращений по каждой оси

. (4.25)

Вычисление координат вершин сомкнутого полигона

После увязки приращений по известным координатам одной из вершин полигона по формулам прямой геодезической задачи вычисляются координаты всех остальных точек полигона

. (4.26)

Таким образом, координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение на линию между этими точками.

Контролем вычисления координат служит то, что, последовательно вычисляя координаты точек полигона, должны получиться координаты исходной точки, так как сумма увязанных приращений равна нулю.

Все вычисления по обработке результатов полевых измерений теодолитной съемки сводятся в специальную таблицу, называемую ведомостью координат (таблица 4.4).