6.6.2. Средняя квадратическая погрешность измерений неизвестной величины. Формула Бесселя

Формула средней квадратической погрешности Гаусса применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Эти случаи в практике весьма редки. Как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую средину .

Получим формулу для вычислений средней квадратической погрешности результатов измерений неизвестной величины при помощи арифметической средины.

Пусть имеется ряд одинаково точных измерений l₁, l₂, l₃,…l_n, для которого истинные  и вероятнейшие v погрешности соответственно будут

; и .

Если из истинных погрешностей почленно вычесть вероятнейшие погрешности, а малую величину обозначить через  , то можно написать n равенств вида

. (6.16)

Возведя обе части равенств (6.16) в квадрат и почленно сложив, получим

.

Учитывая, что сумма вероятнейших погрешностей равна нулю [v] = 0 (1 свойство вероятнейших погрешностей), и, разделив обе части полученного равенства на n, будем иметь

. (6.17)

Если сложить левые и правые части равенств (6.16) и затем возвести их в квадрат, а также учитывая, что [v] = 0, то малая величина  выразится

. (6.18)

Подставив (6.18) в (6.17) и, в соответствии с принятыми обозначениями в формуле Гаусса, заменив через m², будем иметь

. (6.19)

Извлекая корень квадратный, получим среднюю квадратическую погрешность результатов измерений неизвестной величины - формулу Бесселя

. (6.20)

Формула Бесселя имеет большое практическое значение.

6.6.3. Средняя квадратическая погрешность двойных измерений

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды – в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле

, (6.21)

где d – разность двукратно измеренных величин;

n – число разностей в двойных измерениях.

6.6.4. Средняя квадратическая погрешность функции независимо измеренных величин

В практике геодезических работ часто возникает необходимость найти среднюю квадратическую погрешность функции, если известны средние квадратические погрешности ее аргументов, и наоборот.

Пусть некая определяемая величина F связана с измеряемыми величинами X, Y, Z, …, U зависимостью , где x, y, z, …, и – независимые аргументы, полученные из наблюдений или проектного расчета со средними квадратическими погрешностями соответственно m_x, m_y, m_z, …, m_и. Требуется найти среднюю квадратическую погрешность функции m_F .

Предположим, что аргументы функции x, y, z, …, и измерены n раз и получено n погрешностей x_i, y_i, z_i, …, и_i. Тогда, если функция непрерывна и имеет конечные частные производные, для каждой серии измерений можно записать строку Тейлора

.

Возведя в квадрат правые и левые части равенства, просуммировав их и разделив на n, получим

Учитывая, что

, , , …, ;

, , , …, ,

окончательно получим выражение средней квадратической погрешности

. (6.22)

Таким образом, средняя квадратическая погрешность функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженной на их средние квадратические погрешности.

В соответствии с формулой средней квадратической погрешности функции общего вида, вычисляя частные производные и подставляя полученные значения в данную формулу, можно получить средние квадратические погрешности наиболее часто встречающихся функций в геодезии. Расчетные формулы средней квадратической погрешности наиболее часто встречающихся функций измеренных величин приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1 - Средние квадратические погрешности функций

измеренных величин

№ п/п	Вид функции	Расчетная формула средней квадратической погрешности
1
2
3
4
5
6
7		; При mx = my = mz = … = mи = m,
8		; При mx = my = … = mи = m, k1 = k2 = … = kn = k