6.3. Свойства случайных погрешностей

Каждый ряд случайных погрешностей измерений одной и той же величины обладает четырьмя основными свойствами:

1. Для данных условий измерения случайные погрешности не могут превосходить по абсолютной величине известного предела, зависящего от точности измерений

. (6.3)

2. Вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины, т.е. большие погрешности встречаются реже, чем малые

 (_i) убывает при _i  . (6.4)

3. Положительные случайные погрешности встречаются также часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные погрешности

 (+_i) =  (-_i). (6.5)

4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины стремится к нулю при увеличении числа измерений. Математически это свойство записывается следующим образом

. (6.6)

Здесь квадратные скобки означают знак суммы.

Это важное свойство случайных погрешностей называют свойством компенсации. Рассмотрим более подробно свойство компенсации, для чего в среднем арифметическом из числа случайных погрешностей будем последовательно увеличивать число измерений n. При этом в числителе будут преобладать малые по абсолютной величине погрешности (2 свойство). Кроме того, приблизительно половина слагаемых будет со знаком плюс, половина со знаком минус (3 свойство). Поэтому с увеличением знаменателя n числитель будет возрастать, но очень медленно. Знаменатель при последовательном увеличении возрастает как натуральный ряд чисел, т.е. довольно быстро. Если числитель возрастает очень медленно, а знаменатель быстро, то в пределе такое отношение стремится к нулю.

6.4. Среднее арифметическое результатов измерений. Вероятнейшие погрешности и их свойства

Ввиду неизвестности истинного значения измеряемой величины за ее численную характеристику можно принять среднее арифметическое.

Пусть l₁; l₂; l₃; l_n – равноточные измерения одной и той же величины, истинное значение которой X, тогда:

.

Почленно сложив и разделив равенства на число измерений, получим

. (6.7)

Величина есть арифметическая средина X, а

величина - ошибка арифметического среднего .

Тогда

или . (6.8)

При увеличении числа измерений n (при ) по четвертому свойству ошибка арифметического среднего  стремится к нулю ( ), а арифметическая средина - к истинному значению измеряемой величины ( ). Следовательно, при любом конечном числе измерений (n>1) среднее арифметическое из равноточных измерений является наиболее надежным результатом таких измерений.

Поэтому в практике арифметическая средина ряда измерений принимается за численную характеристику истинного значения измеряемой величины.

Уклонение измеренного результата l от его среднего арифметического называется вероятнейшей погрешностью v

. (6.9)

Вероятнейшие погрешности имеют два очень важных свойства:

1. Сумма вероятнейших погрешностей равна нулю

. (6.10)

2. Сумма квадратов вероятнейших погрешностей, вычисленных по среднему арифметическому, является минимально возможной суммой квадратов.

. (6.11)